第四章 因式分解 期末单元复习题（2）2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学 第四章 因式分解 期末单元复习题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．18x2y＝2x•3x•3y B．2x﹣8＝2（x﹣4） C．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 D．x2﹣2x+3＝x（x﹣2）+3 2．对多项式am2﹣4a分解因式，正确的选项是（　　） A．a（m2﹣4） B．a（m+2）（m﹣2） C．（m+2a）（m﹣2a） D．a（m+2）（2﹣m） 3．对任意整数m，（2m﹣1）2﹣25都能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 4．以下因式分解正确的是（　　） A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B．x3+x＝x（x2+1） C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3 D．x2﹣2x﹣8＝（x+4）（x﹣2） 5．下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+2a﹣1 C．x3+x2+x D．a2﹣6a+9 6．已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（　　） A．57 B．120 C．﹣39 D．﹣150 7．若a，b，c是三角形三边的长，则代数式（a2﹣2ab+b2）﹣c2的值（　　） A．大于零 B．小于零 C．大于或等于零 D．小于或等于零 8．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2﹣b2 B．a2+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣b2﹣1 9．已知a，b，c是△ABC的三边，且ab﹣ac+bc﹣c2＝0，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 10．已知a、b、c皆为正整数，且a、b两数的最大公因数与最小公倍数分别为11与88．关于a、b、c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如下： 甲：a、b、c三数的最大公因式可能比11大 乙：a、b、c三数的最小公倍数可能比88小 对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（　　） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2x2与4xy的公因式是 　 　 ． 12．分解因式：m2n﹣mn2＝　 　 ． 13．若6m2﹣4m＝2m（ 　 　 ），则括号内应填的代数式是 　 　 ． 14．若x、y是整数，且xy+3x＝2y+7，则x+y的值为 　 　 ． 15．对正整数n，规定n!＝n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1．记S＝1!×2!x…×24!，若正整数k，使得S×k为完全平方数，则k的最小值为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．分解因式： （1）a2+ab+2a； （2）（2m+n）2﹣（m+n）2． 17．因式分解： （1）9x2﹣4y2； （2）a3﹣4a2+4a． 18．（1）分解因式：3xy2+6xy+3x； （2）分解因式：a2（a﹣b）+b2（b﹣a）； （3）利用因式分解计算：762﹣32×76+162． 19．已知：x2+5x﹣990＝0，请求出x3+7x2﹣980x+35的值． 20．△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|+|a+b+1|； （2）若a+b为整数，c为整数，且满足（a+b+1）﹣2c+8＝64，求△ABC的周长． 21．若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为5＝32﹣22，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：M＝x2+2xy也是“优美数”．∵M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”，（x+y）与y是M的一个平方是分解． （1）判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解：如果不是，请说明理由． （2）设两个连续正奇数为2n﹣1和2n+1（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． （3）已知N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+2），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 　 　 ． 22．阅读与思考． 下面是小欣关于“智慧优数”的研究性学习报告的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 解密“智慧优数” 概念理解： 如果一个正整数m能表示为另外两个不相邻的正整数a，b的平方差，即m＝a2﹣b2，其中a＞b，则称这个正整数m是一个“智慧优数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个“智慧优数”．我们可以逆用平方差公式来研究“智慧优数”，即m＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 特例构造： 根据定义，可从不相邻的两个正整数a，b（a＞b）入手，不重不漏地构造“智慧优数”，思路如下： 当b＝1时，a的值依次可取3，4，5，6，……，分别计算（a+b）（a﹣b）的值，即可求得一组“智慧优数”； 当b＝2时，a的值依次可取4，5，6，7，……，分别计算（a+b）（a﹣b）的值，即可求得一组“智慧优数”； 当b＝3，4，5，……时，重复上述步骤，即可得到更多的“智慧优数”． 规律剖析： 在特例构造的过程中可以发现，由两个不相邻的正整数a，b（a＞b）构造出的“智慧优数”m与这两个正整数的差之间存在特定的关系，分类讨论如下： 情况一：当a与b的差是偶数时，由a与b构造出的“智慧优数“m能被4整除． 理由如下：设a﹣b＝2n（n为正整数），则a＝b+2n， 则“智慧优数“m＝（b+2n）2﹣b2 …… 所以，当a与b的差是偶数时，由a与b构造出的“智慧优数”m能被4整除． 情况二：当a与b的差是奇数时，在由a与b构造“智慧优数”m的过程中，可得出下列结论： A．m一定是奇数 B．a与b均为奇数 C．m一定是a与b差的奇数倍 …… 任务： （1）请根据“特例构造”中的思路，直接写出一个小于16的“智慧优数”； （2）请将“规律剖析”中情况一的说理过程补充完整； （3）“规律剖析”中情况二所得的结论，所有正确的结论为　 　 （填结论的序号）； （4）按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为　 　 ． 23．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：x2﹣12x+2020的最小值． 解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2020， ＝（x﹣6）2+1984， ∵（x﹣6）2≥0， ∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，最小值为0． ∴（x﹣6）2+1984≥1984， ∴当（x﹣6）2＝0时，（x﹣6）2+1984的值最小，最小值为1984， ∴代数式：x2﹣12x+2020的最小值是1984． 例如：分解因式：x2﹣120x+3456， 解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456， ＝（x﹣60）2﹣144， ＝（x﹣60）2﹣122， ＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）， ＝（x﹣48）（x﹣72）． （1）分解因式x2﹣46x+520； （2）若y＝﹣x2+2x+1313，求y的最大值． 24．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．如图1，可以表示为公式①：（x+y）2＝x2+2xy+y2． （1）观察下列图形，将它们与下列公式对应起来．（填写对应公式的序号） 公式②：（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy 公式③：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） 公式④：（x﹣p）（x﹣q）＝x2﹣（p+q）x+pq 图2对应公式 　 　 ，图3对应公式 　 　 ，图4对应公式 　 　 （填序号）； （2）如图3，若p＝2，q＝4，且空白部分的面积为48，求大正方形的边长x的值． 为了解决这个问题，小敏将阴影部分平移至如图5所示位置，则空白部分的面积可表示为（x﹣2）（x﹣4），小敏运用“整体思想”，设x﹣2＝a，x﹣4＝b，结合公式①，则可计算出a+b的值，从而求出边长x．请根据材料，帮助小敏完成后续的解答过程： （3）如图6，若p＝q，空白部分的面积为121，且正方形ABCD与正方形EFGH的面积之和为173，求正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差． 25．阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：am+an+bn+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b），这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）ab﹣ac+bc﹣b2＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2）＝a（b﹣c）+b（c﹣b）＝　 　 ． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①m2+5n﹣mn﹣5m＝　 　 ． ②x2﹣2x+1﹣y2＝　 　 ． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B D D B C A B 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．2x． 12．m2n﹣mn2＝mn（m﹣n）． 13．3m﹣2． 14．1或﹣3． 15．924． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）a2+ab+2a ＝a（a+b+2）； （2）（2m+n）2﹣（m+n）2 ＝[（2m+n）+（m+n）][（2m+n）﹣（m+n）] ＝（2m+n+m+n）（2m+n﹣m﹣n） ＝m（3m+2n）． 17．解：（1）9x2﹣4y2＝（3x+2y）（3x﹣2y）； （2）a3﹣4a2+4a ＝a（a2﹣4a+4） ＝a（a﹣2）2． 18．解：（1）3xy2+6xy+3x ＝3x（y2+2y+1） ＝3x（y+1）2； （2）a2（a﹣b）+b2（b﹣a） ＝a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b） ＝（a﹣b）（a2﹣b2） ＝（a﹣b）（a﹣b）（a+b） ＝（a﹣b）2（a+b）； （3）762﹣32×76+162 ＝762﹣2×16×76+162 ＝（76﹣16）2 ＝602 ＝3600． 19．解：∵x2+5x﹣990＝0， ∴x2+5x＝990， 原式＝x（x2+5x）+2x2﹣980x+35 ＝990x+2x2﹣980x+35 ＝2x2+10x+35 ＝2（x2+5x）+35 ＝2×990+35 ＝1980+35 ＝2015． 20．解：（1）∵△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+1＞0， ∴|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|+|a+b+1| ＝a+b+c+（a﹣b﹣c）+（a+b+1） ＝a+b+c+a﹣b﹣c+a+b+1 ＝3a+b+1； （2）∵a+b为整数，c为整数，a，b，c为△ABC的三边长， ∴a+b＞c≥1， ∴a+b+1＞2， ∵（a+b+1）﹣2c+8＝64，82＝64或43＝64或641＝64， ∴或或， 当﹣2c+8＝3时，c＝2.5不符合题意，舍去， 当﹣2c+8＝2时，c＝3，符合题意， 当﹣2c+8＝1时，c＝3.5不符合题意，舍去， ∴， 即， ∴△ABC的周长为a+b+c＝7+3＝10． 21．解：（1）27是“优美数”， ∵142﹣132＝（14+13）×（14﹣13）＝27×1＝27， 62﹣32＝（6+3）×（6﹣3）＝9×3＝27， ∴27是“优美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣（4n2﹣4n+1） ＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1 ＝8n， ∵8n能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）N＝x2﹣y2+6x﹣10y+k ＝（x2+6x+9）﹣（y2+10y+25）+k+16 ＝（x+3）2﹣（y+5）2+k+16， ∴当 k+16＝0时，N＝（x+3）2﹣（y+5）2为“优美数”，此时k＝﹣16， 故当k＝﹣16时，N为“优美数”． 22．解：（1）∵8＝32﹣12，12＝42﹣22，15＝42﹣12， ∴一个小于16的“智慧优数”可以是8或12或15； （2）情况一：当a与b的差是偶数时，由a与b构造出的“智慧优数”m能被4整除， 理由如下：设a﹣b＝2n（n为正整数），则 a＝b+2n， 则“智慧优数”m＝（b+2n）2﹣b2＝（2n+2b）•2n＝4n（n+b）， ∴当a与b的差是偶数时，由a与b构造出的“智慧优数”m能被4整除； （3）情况二：当a与b的差是奇数时，在由a与b构造“智慧优数”m的过程中， 设a﹣b＝2n+1（n为正整数），则 a＝b+2n+1， 则“智慧优数”m＝（b+2n+1）2﹣b2＝（b+2n+1+b）（b+2n+1﹣b）＝（2b+2n+1）（2n+1）＝（2b+2n+1）（a﹣b）， ∵2b+2n+1，2n+1都是奇数， ∴（2b+2n+1）（2n+1）是奇数， ∴m一定是奇数，m一定是a与b差的奇数倍， 故答案为：AC； （4）∵8＝32﹣12，12＝42﹣22，15＝42﹣12，16＝52﹣32，20＝62﹣42， ∴按从小到大顺序排列的第5个“智慧优数”为20， 故答案为：20． 23．解：（1）x2﹣46x+520 ＝x2﹣46x+232﹣232+520， ＝（x﹣23）2﹣9 ＝（x﹣23+3）（x﹣23﹣3） ＝（x﹣20）（x﹣26）； （2）y＝﹣x2+2x+1313 ＝﹣x2+2x﹣1+1314 ＝﹣（x2﹣2x+1）+1314 ＝﹣（x﹣1）2+1314， ∵﹣（x﹣1）2≤0， ∴y的最大值为1314 24．解：（1）由题意知，图2对应公式x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），图3对应公式（x﹣p）（x﹣q）＝x2﹣（p+q）x+pq，图4对应公式（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy， 故答案为：③，④，②； （2）设a＝x﹣2，b＝x﹣4， ∴a+b＝x﹣2+x﹣4＝2x﹣6，a﹣b＝x﹣2﹣（x﹣4）＝2， 由题意知，（x﹣2）（x﹣4）＝48， ∴ab＝48， 由公式①，可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，即（a+b）2＝22+4×48， ∴（a+b）2＝196， ∴a+b＝14或a+b＝﹣14， ∴2x﹣6＝14或2x﹣6＝﹣14， 解得，x＝10或x＝﹣4（舍去）， ∴大正方形的边长x的值为10； （3）由题意知，，， ∴x﹣p＝11或x﹣p＝﹣11（舍去）， ∴（x﹣p）2﹣（x2+p2）＝121﹣173，整理得 2px＝52， ∴（x+p）2＝x2+2px+p2＝225， ∴x+p＝15或x+p＝﹣15（舍去）， ∴， ∴正方形ABCD与正方形EFGH的面积之差为165． 25．解：（1）ab﹣ac+bc﹣b2 ＝（ab﹣ac）+（bc﹣b2） ＝a（b﹣c）﹣b（b﹣c） ＝（b﹣c）（a﹣b）， 故答案为：（b﹣c）（a﹣b）； （2）①m2+5n﹣mn﹣5m ＝m2﹣mn+5n﹣5m ＝m（m﹣n）+5（n﹣m） ＝m（m﹣n）﹣5（m﹣n） ＝（m﹣n）（m﹣5）； ②x2﹣2x+1﹣y2 ＝（x2﹣2x+1）﹣y2 ＝（x﹣1）2﹣y2 ＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵a2+2b2+c2＝2b（a+c）， ∴a2+2b2+c2﹣2ba﹣2bc＝0， ∴a2﹣2ba+b2+c2﹣2bc+b2＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0， ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形是等边三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$