第4章 图形的相似 单元测试2025-2026学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．在一幅比例尺是的地图上，用　　厘米表示60千米． A．0.06 B．6 C．0.6 D．60 2．如图，△△，若，，则△与△的相似比是　　 A． B． C． D． 3．若△，相似比为，则与△的面积的比为　　 A． B． C． D． 4．若，则的值　　 A． B． C． D． 5．如图，梯形中，，若，，，则等于　　 A． B． C． D． 6．如图，能使△△成立的条件是　　 A． B． C． D． 7．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是　　 A． B． C． D． 8．如图，，分别截两直线于六点．若，，则　　 A．12 B． C．20 D． 9．如图，在平行四边形中，为上一点，，联结、、，且、交于点，则等于　　 A． B． C． D． 10．如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，平分交于点，则△的面积为　　 A． B． C． D． 11．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为　　 A．5 B． C． D． 12．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是　　 ①△为等边三角形； ②； ③四边形是菱形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 13．已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为 　　． 14．已知，则的值为 　　． 15．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为　　 ． 16．若，则的值为 　　 ． 17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 　　 ． 三．解答题（共5小题） 18．如图，是正方形的对角线，点、分别在边、上，，延长到，且，联结、． （1）求证：； （2）延长交于点，联结，求证：． 19．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分． （1）写出一个与△相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． （2）已知，求的长． 20．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，联结、并延长，分别与边、交于点、． （1）求证：； （2）如果，求证：． 21．如图，在△中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在线段上，且，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：． 22．如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接、、． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点为边上的一点，连接，交于点，连接，． ①求证：△△； ②求的长．（提示：过点作于点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版九年级上 第4章 图形的相似 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．在一幅比例尺是的地图上，用　　厘米表示60千米． A．0.06 B．6 C．0.6 D．60 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式，根据比例的基本性质即可求得结果． 【解答】解：60千米， 设用厘米表示60千米，则： ， 解得． 故选：． 2．如图，△△，若，，则△与△的相似比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解． 【解答】解：△△， △与△的相似比为． 故选：． 3．若△，相似比为，则与△的面积的比为　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解． 【解答】解：△，相似比为，、 与△的面积的比． 故选：． 4．若，则的值　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质将式子化成含有的形式，再代入的值计算即可． 【解答】解：， ． 故选：． 5．如图，梯形中，，若，，，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】过作交于，交于，根据平行四边形的性质先求出，从而得到，的长，再根据平行线分线段成比例定理可求出的值． 【解答】解：过作交于，交于． 则， ，， ， ， ． 故选：． 6．如图，能使△△成立的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定求解即可． 【解答】解：由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△△，故选项符合题意； 、、选项均不能判定△△，故不符合题意； 故选：． 7．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】由，利用平行线分线段成比例，即可求出的长． 【解答】解：， ，即， ． 故选：． 8．如图，，分别截两直线于六点．若，，则　　 A．12 B． C．20 D． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故选：． 9．如图，在平行四边形中，为上一点，，联结、、，且、交于点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先根据已知条件得出△△，进而可得，，，由此可得答案． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， △△， ， ，， ． 故选：． 10．如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，，连接，将△绕点逆时针旋转得到△，平分交于点，则△的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】由旋转可证明△△，故，设，则，，在△中，由勾股定理可得：，解得．．故△的面积△的面积． 【解答】解：将△绕点逆时针旋转得到△， ，，， 又平分， ， 在△和△中， ， △△， 故，设， 则，， 在△中，由勾股定理可得：， 解得． 故△的面积△的面积． 故选：． 11．如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为　　 A．5 B． C． D． 【分析】过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，，先利用勾股定理可得，再求出，则，证出△△，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上，则，然后根据求解即可得． 【解答】解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，， ，，， ， ， ， ， 三角形面积始终为2，， ，即， 又， ， ，即， ， △△， ， 又， 如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角）， ， 又（当且仅当等号成立）， 的最大值为， 故选：． 12．如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连结交于点，连结、．若，，则下列结论中正确结论的个数是　　 ①△为等边三角形； ②； ③四边形是菱形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据矩形的性质可得，先证明△△，再证明△是等边三角形，即可判断①选项；由△和△是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明△△，可知，设，根据含角的直角三角形的性质，可得，根据，，可得，进一步即可判断④选项． 【解答】解：为的中点， ， ， △是等边三角形， ， 在△和△中， ， △△， ，， 在等边△中，， ， ， ， ， ， ， △是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分， 如图，连接， 由条件可知，，三点在同一直线上， 在线段的垂直平分线上， ， ， △是等边三角形， 故①符合题意； 由①得△和△是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故③符合题意； △是等边三角形， ， ， △是等边三角形， ， ， ，即故②符合题意； 在△和△中， ， △△， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ，， ， ， ， ， 故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为 　4　． 【分析】根据成比例线段的定义得到，据此代值计算即可． 【解答】解：，，，是成比例线段， ， ，，， ， 故答案为：4． 14．已知，则的值为 　　． 【分析】设，，代入所求式子中化简求解即可． 【解答】解：由，可设，， 则． 故答案为：． 15．如图，在△中，，，，平分，交于点，点为边上一点，连接，交于点，当时，的长为　　 ． 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，先利用角平分线的性质和三角形面积公式求得，再证明△△，求得，最后利用△△即可解答． 【解答】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点， 在直角三角形中，，，， 由勾股定理得：， 平分，， ， 根据三角形面积公式可得， 即， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， △△， ， ， 同理可得△△， ， ， 故答案为：． 16．若，则的值为 　4或　 ． 【分析】由条件推出，当时，得到，当时，求出，即可得到答案． 【解答】解：， ，，， ， 当时，， 当时， ， 的值为4或． 故答案为：4或． 17．如图，在正方形中，点，点分别在边，上（点不与点，重合），且．连接，交于点，连接，交于点．若，则 　　 ． 【分析】证明△△，得，，再证明，推导出，则，，再推导出，再证明△△，得到，，设，利用勾股定理计算，得到问题的答案． 【解答】解：四边形是正方形， ，，， ， △△， ，， 连接，则垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ，， 设，则， ，， ，， ， 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．如图，是正方形的对角线，点、分别在边、上，，延长到，且，联结、． （1）求证：； （2）延长交于点，联结，求证：． 【分析】（1）由正方形的性质得，，则，，由，推导出，则，可证明，，即可根据“”证明△△，则； （2）延长交于点，联结，由，得，而，所以，则，所以，则，再证明△△，得，所以，则． 【解答】证明：（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ． （2）延长交于点，联结， ， ， 由（1）得△△， ， ， ， ， ， ， ，， △△， ， ， ． 19．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，平分． （1）写出一个与△相似（不全等）的三角形，并证明你的结论． （2）已知，求的长． 【分析】（1）由不全等很容易得到△△； （2）根据相似比即可得解． 【解答】解：（1）△．证明如下： 平分． ， 而， △△． （2）设． △△， ， ， 解得（负值舍去）， ． 20．已知：如图，四边形是菱形，是对角线上一点，联结、并延长，分别与边、交于点、． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【分析】（1）由菱形的性质得，垂直平分，推导出，，而，即可根据“”证明△△，则； （2）设交于点，则，由，，得，可证明，则，再证明，则，由，，证明△△，则，即可证明． 【解答】证明：（1）四边形是菱形， ，垂直平分， ， 点在上， ， ， 在△和△中， ， △△， ． （2）设交于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， △△， ， ， ． 21．如图，在△中，点、分别在边、上，连接、交于点，点在线段上，且，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：． 【分析】（1）由题意得，可知，进而可得，证得△△，可知，得，即可证明结论； （2）连接交于点，由平行四边形的性质可知，再证△△，得，即，由，即，可得，结合等腰三角形的性质可知，可知四边形是菱形，即可证得结论． 【解答】证明：（1）， ， ， 又， ， ， △△， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）得四边形是平行四边形，，且，如图，连接交于点， ，△△， ，即， ，即， ， ， 即：， 四边形是菱形， ． 22．如图，在菱形中，，，点是边的中点，连接、、． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点为边上的一点，连接，交于点，连接，． ①求证：△△； ②求的长．（提示：过点作于点． 【分析】（1）只要证明是等边△的高即可解决问题； （2）①由△△，可得，推出，又，即可推出△△； ②求出的长即可解决问题． 【解答】（1）解：四边形是菱形， ， ， △是等边三角形， ， ， ． （2）①证明： ， ， 又， △△， ， ， ， △△， ②解：作于． △△， ， ， ， 在△中，，， 在△中，， ， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$