辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期6月月考数学模拟试题（2）

辽宁省普通高中2024-2025学年下学期6月月考调研试题（2） 高一数学 参考答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D D B C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 1．A 【分析】首先根据得到，即可得到答案． 【详解】由，可得，即． 故“”是“的必要不充分条件． 故选：A 2．A 【分析】先设出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求出，然后将与代入已知等式，根据复数相等的条件求出的实部与虚部，最后确定在复平面内所对应的点所在的象限． 【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知． 将，代入可得： 根据平方差公式，可得，则上式可化为： 因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组． 由，解得． 将代入，可得，解得， 由，，可得，在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限． 故选：A． 3．D 【分析】利用向量的模化简不等式，得出和的关系，即可得出的形状． 【详解】由题意，在中，令，过A作于D．    ∵对任意，， ∴， 令，代入上式，得， 即，也即． 从而有． ∴． ∴为直角三角形， 故选：D． 4．D 【分析】通过已知的侧面积与底面积的比例关系求出高与底面半径的关系，再结合体积公式求出底面半径和高，最后利用勾股定理求出母线长． 【详解】由，得，即， 又由，得，即． 解得，所以母线． 故选：D． 5．B 【分析】根据三角形面积公式以及余弦定理，结合同角三角函数关系，整理化简即可求得结果． 【详解】因为，即， 即，， 又，即， ，解得（舍），． 故选：B． 6．C 【分析】利用同角三角函数关系，二倍角公式，诱导公式，化简得到答案． 【详解】 ． 故选：C 7．C 【分析】根据题意设，， 与的夹角为，利用三角形面积公式，结合向量数量积求法，得到，根据的取值范围即可求解． 【详解】设，，所以， 因为，所以，所以可设，， 与的夹角为， 若，， 则知，， 即，，， 则当最大时，最大，即最小，即此时， 当且仅当时成立． 故选：C 8．B 【分析】根据图象平移写出解析式，根据正弦型函数的性质及图象依次判断各项的正误． 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得， 所以函数与的周期都为，A正确； 函数的对称中心为，函数的对称中心为， 当且时，对称中心可以相同，B不正确； 记，所以，， 要使在上至少可取到两次最大值1，则，即，C正确； 图象与直线右边最近三个交点横坐标为和， 左边最近两个交点横坐标为和，, 因为与在上恰好有两个交点， 故或（无解）或（无解）， 故， 故选：B 9．AC 【分析】根据函数的周期判断A；根据正切函数的性质求解判断BCD． 【详解】的最小正周期，则，故A正确； 由，得， 所以的定义域为，故B错误； 由，解得， 所以的对称中心为，故C正确； 当时，得，从而无意义， 因此区间不可能是的单调递增区间，故D错误， 故选：AC． 10．BC 【分析】选项A，求出方程的解即可；选项B，化简复数，求解即可；选项C，直接求出模长即可；选项D，根据实系数一元二次方程根的情况，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】对于A，方程可化为，所以或，所以和，选项A错误； 对于B，复数，虚部是5，选项B正确； 对于C，复数满足，所以,故，即，所以，选项C正确； 对于D，若是方程的一个根，则也是方程的根， 所以，解得或，选项D错误． 故选：BC． 11．ACD 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积． 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以． 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确． 故选：ACD． 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（答案不唯一） 【分析】利用正弦定理可得答案． 【详解】设，由正弦定理得， 即， 当时，即，因为三角形中大边对大角，此时有唯一解，三角形恰有一解， 当时，，即，三角形恰有一解， 故边长可以为，或． 故答案为：（答案不唯一）． 13． 【分析】连接，，分别取，，，的中点，，，，连接，，二者相交于点，连接，，证明点为多面体的外接球球心，再根据球的表面积公式即可得解． 【详解】连接，，分别取，，，的中点，，，， 连接，，二者相交于点，连接，， 则为和的中点，且，且， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故，，，四点共面， 在中，因为，， 所以，且， 又平面与平面之间的距离为， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 同理可求得， 易知为正方形的中心，故， 所以点为多面体的外接球球心，且该球的半径， 故该外接球的表面积． 故答案为：． 14． 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值． 【详解】 设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了平面向量数量积的最值问题，难度较大，解答本题的关键在于通过条件得到，然后建立平面直角坐标系，结合坐标运算求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1）3 （2） （3） 【分析】（1）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （2）根据齐次式及同角的三角函数基本关系式求解即可； （3）根据同角的三角函数基本关系式求出，，进而求解即可； 【详解】（1）由，为第三象限角， 则． （2）由，为第三象限角， 则． （3）由，则， 因为，则，即， 则， 又为第三象限角，所以， 则． 16．（本小题满分15分） （1）证明见解析 （2） 【分析】（1）如图，连接BD，根据题意可得DE⊥CD，利用线面垂直的性质和判定定理可得DE⊥平面，进而即可证明面面垂直； （2）结合（1）和线面垂直的性质和判定定理可得平面，取的中点G，连接GF，进而可得平面，求出、、，利用三棱锥的体积公式计算即可． 【详解】（1）如图，连接BD． 在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以为正三角形， 因为E为AB的中点，所以DE⊥AB． 因为AB//CD，所以DE⊥CD． 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 而，且，平面， 所以DE⊥平面．又因为平面DEF， 所以平面DEF⊥平面． （2）由（1）知． 因为平面ABCD，平面ABCD，所以． 而，且，平面，所以平面． 如图，取的中点G，连接GF． 因为F为的中点，所以，所以平面． 由条件知，，，， 所以三棱锥的体积． 17．（本小题满分15分） （1），． （2） （3） 【分析】（1）根据周期公式可解得，从而得出解析式，结合正弦函数的单调性即可求得增区间； （2）根据伸缩平移变换可得的解析式，结合为对称中心，从而求得的最小值； （3）在（2）的条件下结合，利用三角函数的图象性质，数形结合即可得解． 【详解】（1）因为，所以，所以 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 当时，即时，函数单调递减． 故函数的单调递增区间为：． （2）由题意，的图象向右平移个单位， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 可得的图象， 依题意，，解得， 因，则当时，此时的最小值为． （3）当取最小值时，， 当时，， 此时， 因恰有两个实数根，故与的图象有两个交点， 结合图象可知，即，  ． 18．（本小题满分17分） （1） （2） （3） 【分析】（1）用向量表示,再根据已知条件求即可； （2）由（1）可知，通过向量运算得，两边同时平方，由向量的数量积运算即可； （3）根据角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果． 【详解】（1）因为,, 所以, 即, 所以, 所以． （2）由（1）可知， 所以, 设,且为等边三角形， 所以， 即， 故， 且， 所以当时，， 所以． （3）因为平分, 所以由角平分线定理得,即, 故, 设，，的内切圆半径分别为, 在中,则，解得， 因为, 所以, 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 又因为, , 所以， 令，则， 因为，所以， 则，故，， 即，故, 所以与的内切圆半径之比的范围为． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理、向量模的运算以及通过余弦定理、面积公式解三角形，第三问解题的关键由角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果，计算比较复杂． 19．（本小题满分17分） （1）， （2）①证明见解析；②证明见解析 （3） 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①实向量，，根据条件，即可得证； ②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证； （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，， 而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有，则， 结合，得，解得； 所以，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期6月月考调研试题（2） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量的数量积与三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的 （     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于 （     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，若对任意，，则一定为 （     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为 （     ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．在△中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，△的面积为S，若，则的值是 （     ） A． B． C． D． 6．已知，则 （     ） A． B． C． D． 7．向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则 （     ） A． B．6 C．12 D．16 8．已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法错误的是 （     ） A．函数与有相同的周期 B．函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同 C．若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则 D．若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是 （      ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 10．在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是 （      ） A．关于x的方程的解为 B．复数的虚部是5 C．若复数z满足，则 D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则， 11．在中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且，则下列说法正确的是 （      ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，若恰有一解，则边长可以为 ．（只需写出一个满足条件的数） 13．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是边长为1的正方形，， 且，，，，若平面与平面之间的距离为，则该多面体外接球的表面积为 ． 14．已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，为第三象限角，求： （1）； （2）； （3）． 16．（本小题满分15分） 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点． （1）求证：平面平面； （2）若，求三棱锥的体积． 17．（本小题满分15分） 已知函数，,的最小正周期是 （1）求函数的解析式，并求函数在上的单调增区间； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象．已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形． （1）若，，求线段的长度; （2）若，求线段的最大值; （3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围． 19．（本小题满分17分） 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． （1）设，，求复向量与的模； （2）已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； （3）当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 答案第1页，共2页 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高一数学答题卡 第 1页（共 6页） 高一数学答题卡 第 2页（共 6页） 高一数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期期 6月月考调研试题（2） 高一数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考员 用 2B 铅笔填涂右侧 缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 由监考员负责粘贴 三、填空题：每小题 5分，共 15分． 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 高一数学答题卡 第 4页（共 6页） 高一数学答题卡 第 5页（共 6页） 高一数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 18题） 19．（本小题满分 17分） （续 19题） ·监制 机密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期6月月考调研试题（2） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 命题范围：【（人教B版）必修三、必修四】三角函数、向量的数量积与三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“”是“”的 （     ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于 （     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，若对任意，，则一定为 （     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 4．已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为 （     ） A．5 B．6 C．8 D．10 5．在△中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，△的面积为S，若，则的值是 （     ） A． B． C． D． 6．已知，则 （     ） A． B． C． D． 7．向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则 （     ） A． B．6 C．12 D．16 8．已知函数的图象向右平移个单位长度得的图象，则下列关于函数和的说法错误的是 （     ） A．函数与有相同的周期 B．函数的图象与函数的图象的对称中心一定不同 C．若函数的图象在上至少可取到两次最大值1，则 D．若函数的图象与直线在上恰有两个交点，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．A、B是函数与直线的两个交点，则下列说法正确的是 （      ） A． B．的定义域为 C．的对称中心为 D．在区间上单调递增 10．在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是 （      ） A．关于x的方程的解为 B．复数的虚部是5 C．若复数z满足，则 D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则， 11．在中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，且，则下列说法正确的是 （      ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，，，若恰有一解，则边长可以为 ．（只需写出一个满足条件的数） 13．如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，四边形是边长为1的正方形，， 且，，，，若平面与平面之间的距离为，则该多面体外接球的表面积为 ． 14．已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，为第三象限角，求： （1）； （2）； （3）． 16．（本小题满分15分） 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点． （1）求证：平面平面； （2）若，求三棱锥的体积． 17．（本小题满分15分） 已知函数，,的最小正周期是 （1）求函数的解析式，并求函数在上的单调增区间； （2）将图象上的所有点向右平移个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象．已知图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）的条件下，当取最小值时，若对，关于的方程恰有两个实数根，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形． （1）若，，求线段的长度; （2）若，求线段的最大值; （3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围． 19．（本小题满分17分） 我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． （1）设，，求复向量与的模； （2）已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； （3）当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 辽宁鸿飞 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 辽宁鸿飞 学科网（北京）股份有限公司 $$