期末专题01 三角形的证明（知识梳理+7大题型+2种易错+2种解题秘籍）讲义-2024-2025学年下学期八年级期末试题调研与押题预测（北师大版，山西地区适用）

期末专题01 三角形的证明 等腰三角形的性质定理及其推论 1.性质定理 等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”) 特别提醒 适用条件:必须在同一个三角形中,。作用:是证明角相等的常用方法,应用它证角相等时可省去三角形全等的证明,因而更简便 2. 推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简写成“三线合一”) 3. 对称性等腰三角形是轴对称图形,顶角的平分线(或底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴 4.等腰三角形中特殊线段的性质 (1)等腰三角形两底角的平分线相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等: (3)等腰三角形两腰上的高线相等 等边三角形的性质定理 1. 等边三角形内角的性质定理等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于 . 2.等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等: (2)等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴,分别为三边的垂直平分线: (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合,且长度相等 特别解读 等边三角形是特殊的等腰三角形,所以:1.任意两边都可以作为腰:2.任意一个角都可以作为顶角:3.任意一边上都“三线合一” 等腰三角形的判定定理 1.判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 特别提醒 “等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法,在证明过程中,经常通过计算三角形各角的度数,或利用角的关系得到角相等,从而得到所对的边相等 2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同相同点:使用的前提都是“在同一个三角形中”不同点:由三角形的两边相等,得到它们所对的角相等是等腰三角形的性质;由三角形的两角相等,得到它是等腰三角形,是等腰三角形的判定 直角三角形角的性质定理与判定定理 1.直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余.几何语言:在 中, 2.直角三角形角的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言:在 中,∵ ,∴ ,即 为直角三角形. 特别解读 1.直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角和定理2.在直角三角形中,若已知两个锐角之间的关系可结合两个锐角互余求出每个锐角的度数 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 数学表达式:如图,在Rt 中,则 . 特别提醒 勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系只有在直角三角形中才可以使用勾股定理,已知直角三角形的任意两边,利用勾股定理可以求出第三边 2.勾股定理的变形公式 3.基太思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来,即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来,它是数形结合思想的典范 勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 2.利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”:找出三角形三边中的最长边:(2)“算”:计算其他两边的平方和与最长边的平方:(3)“判”:若两者相等,则这个三角形是直角三角形,否则不是 定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 区别 (1)勾股定理是以"一个三角形是直角三角形"为条件,进而得到这个直角三角形三边长的关系,即 为斜边长); (2)勾股定理是根据直角三角形探求边的关系,体现了由形到数的转化 (1)勾股定理的逆定理是以 "一个三角形的三边长,b, c满足 "为条件,进而得到这个三角形为直角三角形; (2)勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状,体现了由数到形的转化 联系 勾股定理和勾股定理的逆定理的条件和结论相反勾股定理是直角三角形的性质,而其逆定理是直角三角形的判定,勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关 特别提醒 只是一种表现形式,满足 或 的也是直角三角形,只是这时 或 为斜边。 2.若最长边的平方比两短边的平方和大,则该三角形为钝角三角形;若最长边的平方比两短边的平方和小,则该三角形为锐角三角形. 线段垂直平分线的性质定理 1.性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 条件:点在线段的垂直平分线上 结论:这个点到线段两个端点的距离相等 2.线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别联系:两者都可以直接得到两条线段相等区别:前者指的是点到点的距离,后者指的是点到直线的距离. 特别解读 1.线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离2.用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等,不必再用三角形全等来证明,因此它为证明线段相等提供了新方法 线段垂直平分线的判定定理 1.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上: 条件:点到线段两个端点距离相等 结论:点在线段的垂直平分线上. 2.几何语言 如图 ∴ 点 在线段 B C的垂直平分线上. 特别解读 1.用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分线上,思路有两种: 一是作垂直,证平分;二是取中点,证垂直2.用判定定理证明线段的垂直平分线,必须证明两个点在线段的垂直平分线上。 角平分线的性质定理 1.性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的性质的两个必要条件:(1)点在角平分线上; (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 2.几何语言 如图 , ∵O P 平分 于点 , 于点 . 特别提醒 1.角平分线的性质是由两个条件(角平分线,垂线)得到一个结论(线段相等)2.利用角平分线的性质证明线段相等时,证明的线段是“垂直于角两边的线段”,而不是“垂直于角平分线的线段” 题型一、等腰三角形的定义 1.(22-23八年级下 山西朔州 期末)如图,在中,,,,点在上,,则的长为( ) A. B. C. D. 2.(22-23八年级下 山西运城 期末)如图,在折线段中,可绕点旋转,,,线段上有一动点,将线段分成两部分,旋转,,当三条线段,,首尾顺次相连构成等腰三角形时,的长为( ) A.3 B.2或3 C.2或4 D.2或3或4 3.(23-24八年级下 山西吕梁 期末)如图,平面直角坐标系中,一次函数的图象与y轴交于点A,点B是第二象限一次函数的图象上一点,且,点C的坐标为. (1)求A,B的坐标; (2)若点D是线段上一点,且三角形的面积是三角形的一半,求的面积和点D的坐标; (3)在(2)的条件下,x轴是否存在一点P,使得为等腰三角形.若存在,请求出点P的坐标.若不存在,请说明理由. 题型二、等腰三角形的性质和判定 4.(23-24八年级下 山西临汾 期末)如图,在中,,点是边上任意一点,过点分别作的平行线,交于点,交于点,则四边形的周长是( ) A.32 B.24 C.16 D.8 5.(23-24八年级下 山西忻州 期末)如图,在中,,等边的顶点在线段上,顶点在的延长线上.若,则 . 6.(22-23八年级下 山西运城 期末)如图所示的是一款航模机翼部分示意图,已知,,,,请计算该机翼(四边形的周长.(结果保留根号) 题型三、等边对等角 7.(22-23八年级下 山西运城 期末)若等腰三角形的一个角是80 ,则此等腰三角形的顶角为( ) A.80 B.20 C.80 或20 D.40 8.(22-23八年级下 山西运城 期末)如图,在中,,BD平分交AC于点D.若,则的大小为( ) A.66 B.70 C.72 D.75 9.(22-23八年级下 山西朔州 期末)已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角度数为( ) A.75 B.90 C.105 D.120 或20 题型四、等边三角形的性质 10.(22-23八年级下 山西运城 期末)如图,,等边的顶点,分别在,上,若,则的大小为( ) A. B. C. D. 11.(22-23八年级下 山西太原 期中)如图,已知是等边三角形,中线,交于点,则的度数为( ) A. B. C. D. 12.(22-23八年级下 山西临汾 期末)综合与实践 特例感知: 如图1,在等边三角形中,是延长线上一点,且,以为边作等边三角形,连接,分别过点作,过点作,交于点,连接与交于点. (1)试判断和的数量关系,并说明理由. (2)猜想论证:将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2,则(1)中和的数量关系是否仍然成立?请说明理由. (3)拓展延伸:将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度,当时,请直接写出的值. 题型五、含30度角的直角三角形 13.(22-23八年级下 山西运城 期末)综合与探究 在数学综合与实践课上,老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动. (1)将三角形较长的直角边靠在一起,拼成了如图所示的三角形,则是等边三角形,理由是_; (2)实验小组将图中的以点为旋转中心,按逆时针旋转(),旋转后得到,如图所示,与相交于点,连接. ①求的大小(用含有的式子来表示); ②当时,求证:垂直平分. 14.(22-23八年级下 山西运城 期末)在中,,,则的面积为 . 15.(22-23八年级上 山西吕梁 期末)综合与实践 问题情境: 在数学课上,老师给出了如下情境:如图1,是等边三角形,点F是边的中点,点D在直线上运动,连接,以为边向右侧作等边三角形,连接,直线与直线交于点M.试探究线段与的数量关系及的大小. (1)初步探究: 如图1,当点D在线段上时,请直接写出: ①与的数量关系 ; ② (2)深入探究: 如图2,当点D在线段的延长线上时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由; (3)拓展延伸: 如图3,当点D在线段的延长线上时,若,,求出的长度. 题型六、线段垂直平分线的性质 16.(23-24八年级下 山西运城 期末)如图,在中,,,分别以、为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧相交于两点,过两点作直线,分别交于两点,已知厘米,则 厘米. 17.(23-24八年级下 山西晋中 期末)如图,中,,边的垂直平分线l交于点D,连接,若,则的大小为( ) A. B. C. D. 18.(21-22八年级下 山西太原 期末)综合与实践: 已知,等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,∠BAC=36 .现要将其剪成三张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形(不能有剩余).下面是小文借助尺规解决这一问题的过程,请阅读后完成相应任务. 作法:如图1所示, ①分别作AB,AC的垂直平分线,交于点P; ②连接PA,PB,PC. 结论:沿线段PA,PB,PC剪开,即可得到三个等腰三角形, 理由:∵点P在线段AB的垂直平分线上, ∴_(依据). 同理,PA=PC. ∴PA=PB=PC. ∴ PAB、 PBC、 PAC都是等腰三角形 任务: (1)上述过程中,横线上的结论为_,括号中的依据为_. (2)受小文的启发,同学们想到另一种思路:如图2,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D,交AB于点E.在此基础上构造两条线段(以图中标有字母的点为端点)作为裁剪线,也可解决问题!请在图2中画出一种裁剪方案,直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数. (3)如图3,等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,∠BAC=108 ,请从A,B两题中任选一题作答、我选择_题. A.请在图3中设计出一种裁剪方案,将该三角形纸片分成三个等腰三角形(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,说明裁剪线). B.请在图3中设计出一种裁剪方案,将该三角形纸片分成四个等腰三角形,且四个三角形互不全等(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法,说明裁剪线). 题型七、角平分线的性质定理 19.(23-24八年级下 山西太原 期末)在中,,平分交于点D.若,,则点D到的距离为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 20.(22-23八年级下 山西太原 期末)如图,平分,点在上,,则点到的距离为( ) A.9 B.5 C.4 D.3 21.(22-23八年级下 山西临汾 期末)如图,平分是上一点,过点分别作于点交于点.若,则的长为 . 【例1】如图,已知,,,,和交于点,则下列结论:①;②;③;④平分.其中正确的有( ) A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合(SAS)、其他模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-“手拉手”模型,熟记相关模型的构成及结论是解题关键.证即可判断①②;在上截取,证即可判断③;根据可推出平分,无法推出平分,即可判断④. 【详解】解:∵, ∴ 即: ∵,, ∴ ∴,故①正确; ∵, ∴ ∵ ∴ ∴,故②正确; 在上截取,如图所示: ∵, ∴ ∴是等边三角形 ∴, ∵,, ∴是等边三角形 ∴, ∴, ∴ ∴ ∴,故③正确; ∵, ∴, ∴点到边的距离相等, ∴平分 若平分,则有 ∴ ∴ 根据条件,无法推出,故④错误; 故选:C. 【例2】如图,在中,,点为的中点,点E在上且,若,则的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理;在中,,点为的中点,得出,设,则,在中,勾股定理即可求解. 【详解】解:∵在中,,点为的中点, ∴, 设,则, 在中,, 即, 解得:, 故选:B. 等边三角形的判定方法 1.若已知三边关系,一般选用定义判定; 2.若已知三角关系,一般选用判定定理 1判定;3.若已知该三角形是等腰三角形,一般选用判定定理2判定 作图题的一般思路 1.假设所求作的图形已作出,画出草图:2.在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的交点字母; 3.从草图中找出可作的基本图形,确定作图顺序;4.按确定的顺序作出所求作的图形 1.如图,老李家有一块草坪,家里想整理它,需要知道其面积,老李测量了草坪各边得知:米,米,米,米,且.则这块草坪的面积是( ) A. B. C. D. 2.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,下列三角形的顶点都在格点上,则下列三角形中是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 3.如图,在中,,边的垂直平分线交于点D,交于点E,边的垂直平分线交于点F,交于点G,连接,.则的度数( ) A. B. C. D. 4.如图,,垂直平分线段于点,的平分线交于点,连接,则等于( ) A. B. C. D. 二、填空题 5.已知 ABC中.AB=AC=5.BC=2.如图.将线段AC绕点C顺时针旋转,点A的对应点为D.当∠ACD=90 时,连接BD,则线段BD的长为 . 6.如图1是某超市自动扶梯,如图2是其示意图,大厅两层之间的距离,自动扶梯的倾斜角为30 .若自动扶梯运行速度米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒. 7.已知,在中,,点是的中点,于点,连接请从下面A,B两题中任选一题作答.我选择 . A.如图1,若,则线段的长为 . B.如图2,若,,则线段的长为 . 三、解答题 8.综合与探究 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B,点C在y轴上,平分. (1)求点A、B的坐标; (2)求线段的长; (3)在平面直角坐标系中是否存在点D,使得是以为直角边的等腰直角三角形,若存在,请直接写出点D的坐标,若不存在,请说明理由. 9.如图直线与x轴、y轴分别交于点C、B,与直线交于点A. (1)求点A的坐标; (2)如果在y轴上存在一点P,使是以为底边的等腰三角形,则点P的坐标是_; (3)点Q在线段上,使的面积等于6,求点Q的坐标. 10.在校园内有一块四边形形状的草坪如图所示,我们把它记作四边形,数学兴趣小组的同学想知道它的面积,身边只有一把卷尺,同学们量得,,,.当同学们不知道该如何求面积时,组长有意提议量量的长度,他们量得,问题得到了解决.你知道他们是如何解决问题的吗?请接着完成任务。 1 / 26 学科网(北京)股份有限公司 $$ 期末专题01 三角形的证明 等腰三角形的性质定理及其推论 1.性质定理 等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”） 特别提醒 适用条件:必须在同一个三角形中，。作用:是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便 2. 推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(简写成“三线合一”) 3. 对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线(或底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴· 4.等腰三角形中特殊线段的性质 (1)等腰三角形两底角的平分线相等(2)等腰三角形两腰上的中线相等: (3)等腰三角形两腰上的高线相等 等边三角形的性质定理 1． 等边三角形内角的性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 ． 2.等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等: (2)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线: (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 特别解读 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以:1.任意两边都可以作为腰:2.任意一个角都可以作为顶角:3.任意一边上都“三线合一” 等腰三角形的判定定理 1.判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”) 特别提醒 “等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等 2． 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同相同点:使用的前提都是“在同一个三角形中”不同点:由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等是等腰三角形的性质;由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定 直角三角形角的性质定理与判定定理 1．直角三角形角的性质定理 直角三角形的两个锐角互余．几何语言：在 中， 2．直角三角形角的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：在 中，∵ ，∴ ，即 为直角三角形． 特别解读 1.直角三角形角的性质定理和判定定理的理论依据是三角形内角和定理2.在直角三角形中，若已知两个锐角之间的关系可结合两个锐角互余求出每个锐角的度数 1.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 数学表达式：如图，在Rt 中，则 ． 特别提醒 勾股定理揭示的是直角三角形三边的平方关系只有在直角三角形中才可以使用勾股定理，已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可以求出第三边 2．勾股定理的变形公式 3.基太思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2.利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”:找出三角形三边中的最长边:(2)“算”:计算其他两边的平方和与最长边的平方:(3)“判”:若两者相等，则这个三角形是直角三角形,否则不是 定理 勾股定理 勾股定理的逆定理 区别 （1）勾股定理是以＂一个三角形是直角三角形＂为条件，进而得到这个直角三角形三边长的关系，即 为斜边长）； （2）勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由形到数的转化 （1）勾股定理的逆定理是以 ＂一个三角形的三边长，b, c满足 ＂为条件，进而得到这个三角形为直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化 联系 勾股定理和勾股定理的逆定理的条件和结论相反勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关 特别提醒 只是一种表现形式，满足 或 的也是直角三角形，只是这时 或 为斜边。 2．若最长边的平方比两短边的平方和大，则该三角形为钝角三角形；若最长边的平方比两短边的平方和小，则该三角形为锐角三角形． 线段垂直平分线的性质定理 1.性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 条件:点在线段的垂直平分线上 结论:这个点到线段两个端点的距离相等 2.线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别联系:两者都可以直接得到两条线段相等区别:前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的距离. 特别解读 1.线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离2.用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法 线段垂直平分线的判定定理 1.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上: 条件:点到线段两个端点距离相等 结论:点在线段的垂直平分线上. 2．几何语言 如图 ∴ 点 在线段 B C的垂直平分线上． 特别解读 1.用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种: 一是作垂直，证平分;二是取中点，证垂直2.用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在线段的垂直平分线上。 角平分线的性质定理 1.性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线的性质的两个必要条件:(1)点在角平分线上; (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度 2．几何语言 如图 ， ∵O P 平分 于点 ， 于点 ． 特别提醒 1.角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等)2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段” 题型一、等腰三角形的定义 1．（22-23八年级下·山西朔州·期末）如图，在中，，，，点在上，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】在中，根据勾股定理可求得，再根据对角对等边可得，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 2．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在折线段中，可绕点旋转，，，线段上有一动点，将线段分成两部分，旋转，，当三条线段，，首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长为（    ）    A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解． 【详解】解：当时， ， ， 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形， 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数的图象上一点，且，点C的坐标为． (1)求A，B的坐标； (2)若点D是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半，求的面积和点D的坐标； (3)在（2）的条件下，x轴是否存在一点P，使得为等腰三角形．若存在，请求出点P的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为： (2)的面积是12；点的坐标为 (3)或或或或 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】（1）先求点A的坐标，根据三角形面积公式可知：，可得的横坐标为：，因为点是第二象限一次函数的图象上一点，可得的坐标； （2）根据可得面积；利用三角形中线的性质：将面积分为相等的两部分，反之，可知：D是的中点，利用中点坐标公式或构建直角三角形得点的坐标； （3）分为三种情况分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是第二象限一次函数的图象上一点， ∴的横坐标为：， 则， ∴点的坐标为：； （2）解：如图，过点作轴，过点作轴于点，交于点， ∵点的坐标为， ， ， ∵点是线段上一点，且三角形的面积是三角形的一半， ∴点是的中点， ∴点的坐标为：； （3）解：设， ∵，， ∴， ∵为等腰三角形， 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得：或， 则或； 当时，，解得： 则； 综上，或或或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积、等腰三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式，第三问有难度，利用分类讨论的思想，与方程相结合，是解决问题的关键． 题型二、等腰三角形的性质和判定 4．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，点是边上任意一点，过点分别作的平行线，交于点，交于点，则四边形的周长是（    ） A．32 B．24 C．16 D．8 【答案】A 【知识点】两直线平行同位角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，根据题意可得都是等腰三角形，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长， ， 故选：A ． 5．（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，在中，，等边的顶点在线段上，顶点在的延长线上．若，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算；如图，过点作于点，则．证明，再进一步解答即可； 【详解】解：如图，过点作于点，则． ， ， ， ． 在中，，， ， 为等边三角形， ． 在中，． ； 故答案为： 6．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图所示的是一款航模机翼部分示意图，已知，，，，请计算该机翼（四边形的周长．（结果保留根号）    【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【详解】连接，先证明是等边三角形，求出，再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，最后相加即可． 【解答】解：连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 该机翼（四边形的周长．    【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键． 题型三、等边对等角 7．（22-23八年级下·山西运城·期末）若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（    ） A．80° B．20° C．80°或20° D．40° 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】可分两种情况：当角为顶角时；当角为底角时，结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理分别求解即可． 【详解】解：当角为顶角时，则等腰三角形的顶角为； 当角为底角时，等腰三角形的顶角为， 即此等腰三角形的顶角为或． 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 8．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，BD平分交AC于点D．若，则的大小为（    ） A．66° B．70° C．72° D．75° 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角 【分析】根据等边对等角，可得∠ABD=∠A，根据角平分线的性质，∠ABD=∠CBD=，根据三角形内角和为180°列等式，将其它角都代换成计算即可． 【详解】∵BD=AD ∴∠ABD=∠A ∵BD平分 ∴∠ABD=∠CBD=， ∴∠A= ∵， ∴ ∴ 故选 C． 【点睛】本题考查三角形，掌握角平分线、等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键． 9．（22-23八年级下·山西朔州·期末）已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A．75° B．90° C．105° D．120°或20° 【答案】D 【知识点】等边对等角 【分析】设两内角的度数为x、4x，分两种情况，列出方程，即可求解． 【详解】解：设两内角的度数为x、4x， 当等腰三角形的顶角为x时，x＋4x＋4x＝180°，x＝20°； 当等腰三角形的顶角为4x时，4x＋x＋x＝180°，x＝30°，4x＝120°； 因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论的方法是解题的关键． 题型四、等边三角形的性质 10．（22-23八年级下·山西运城·期末）如图，，等边的顶点，分别在，上，若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】由是等边三角形，得到，求出，由平行线的性质得到． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 故选：C．    【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，关键是由平行线的性质得到． 11．（22-23八年级下·山西太原·期中）如图，已知是等边三角形，中线，交于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】首先利用等边三角形的性质可以求出、，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， 中线，交于点， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 12．（22-23八年级下·山西临汾·期末）综合与实践 特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．        (1)试判断和的数量关系，并说明理由． (2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由． (3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中和的数量关系仍然成立，理由见解析 (3)的值为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）延长，交于点，根据等边三角形的性质和证明，进而利用全等三角形的性质解答即可； （3）利用（2）中的结论解答即可． 【详解】（1）解：， 理由：和都是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：仍然成立， 理由：如图，延长，交于点，   ，和都是等边三角形， ， ， ， ，， ， 同（1）可知，， ， ； （3）解：当时，如图，   ， 由（2）可知，， ， ， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 题型五、含30度角的直角三角形 13．（22-23八年级下·山西运城·期末）综合与探究 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“两个含角的完全相同的直角三角形拼摆”为主题开展教学活动．    (1)将三角形较长的直角边靠在一起，拼成了如图所示的三角形，则是等边三角形，理由是______； (2)实验小组将图中的以点为旋转中心，按逆时针旋转（），旋转后得到，如图所示，与相交于点，连接． ①求的大小（用含有的式子来表示）； ②当时，求证：垂直平分． 【答案】(1)有两个角等于的三角形是等边三角形 (2)①；②见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定 【分析】（1）可求，从而可得，即可求解； （2）①连接，可证，可得，可求，由，即可求解；②设与的交点为，可求，从而可证，可证，即可求证． 【详解】（1）解：和都是含有角的直角三角形， ， ， 有两个角等于的三角形是等边三角形， 是等边三角形． 故答案为：有两个角等于的三角形是等边三角形； （2）①解：如图，连接，    由旋转得：， ， 又， ， ， ， 在和中 ， ()， ， 由旋转得：， ； ②证明：如图，设与的交点为，    ， ， 又， ， ， 在中，， ， 又， ， 垂直平分． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，线段垂直平分线的定义，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 14．（22-23八年级下·山西运城·期末）在中，，，则的面积为 ． 【答案】9 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形 【分析】据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：过C作交的延长线于D，    ∵， ∴， ∴， ∵，是边上的高， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 15．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师给出了如下情境：如图1，是等边三角形，点F是边的中点，点D在直线上运动，连接，以为边向右侧作等边三角形，连接，直线与直线交于点M．试探究线段与的数量关系及的大小． (1)初步探究： 如图1，当点D在线段上时，请直接写出： ①与的数量关系 ； ② ° (2)深入探究： 如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； (3)拓展延伸： 如图3，当点D在线段的延长线上时，若，，求出的长度． 【答案】(1)①，②60 (2)成立，证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】（1）由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （2）由题意易证，则有，然后问题可求解； （3）由题意易证，则有，然后可得 ，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵和是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∴； 故答案为：； ②∵点F是边的中点，是等边三角形， ∴， 由①可知， ∴， ∴， ∴； 故答案为60； （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形，F是的中点 ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型六、线段垂直平分线的性质 16．（23-24八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，分别交于两点，已知厘米，则 厘米． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】连接，求出，由线段垂直平分线的性质结合等边对等角得出，从而得出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ∵中，，， ∴， 由作图可得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 17．（23-24八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，边的垂直平分线l交于点D，连接，若，则的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质．利用线段垂直平分线的性质得到，再由三角形外角的性质得到，根据等边对等角即可得到结论． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D． ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 18．（21-22八年级下·山西太原·期末）综合与实践： 已知，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程，请阅读后完成相应任务． 作法：如图1所示， ①分别作AB，AC的垂直平分线，交于点P； ②连接PA，PB，PC． 结论：沿线段PA，PB，PC剪开，即可得到三个等腰三角形， 理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴_____（依据）． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形 任务： (1)上述过程中，横线上的结论为_____，括号中的依据为_____． (2)受小文的启发，同学们想到另一种思路：如图2，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点D，交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线，也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案，直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数． (3)如图3，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，请从A，B两题中任选一题作答、我选择_____题． A．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）． B．请在图3中设计出一种裁剪方案，将该三角形纸片分成四个等腰三角形，且四个三角形互不全等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，说明裁剪线）． 【答案】(1)PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 (2)△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°，或△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144° (3)A：作图见解析（方法不唯一）；或B：作图见解析（方法不唯一） 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）读懂推理过程即可完成； （2）连接BD、CE，由作法及三角形内角和即可求得各等腰三角形顶角的度数；或连接DE、CE，由作法及三角形内角和即可求得各等腰三角形顶角的度数； （3）选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交，连接点A与这两个交点即可得到三个等腰三角形； 选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，在等腰△ABD中，利用图1或图2中的裁剪方法即可得到所要求的四个等腰三角形． 【详解】（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB． 同理，PA＝PC． ∴PA＝PB＝PC． ∴△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形． 故答案为：PA=PB；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 （2）如图，连接BD、DE，由作法知，BC=BD=BE，则△BCD、△BDE是等腰三角形， ∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵BC=BD， ∴∠BDC=∠ACB=72°， ∴∠DBC=36°， ∴∠EBD=∠ABC−∠DBC=36°， ∵BD=BE， ∴∠BED=∠BDE =72°， ∴∠AED=180°−∠BED=108°， ∴∠EDA=180°−∠BAC−∠AED=36°， ∴AE=DE， 即△ADE是等腰三角形． 综上，△ADE的顶角为108°，△BDE的顶角为36°，△BDC的顶角为36°； 如图，连接DE、CE，则BC=BE， ∴△BCE是等腰三角形，且顶角为72°，∠BEC=∠BCE=54°， ∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°， 连接BD，由上一种裁剪方法知，BD平分∠ABC， 则△BCD≌△BED（SAS）， ∴CD=DE， 即△DCE是等腰三角形，且顶角∠EDC=180°−2×18°=144°， ∴∠ADE=180°−∠EDC=36°=∠BAC， ∴AE=DE， 即△AED是等腰三角形，且顶角；    综上，△ADE的顶角为108°，△BCE的顶角为72°，△DCE的顶角为144°． （3）选A：分别以B、C为圆心，AB长为半径画弧，两弧与BC相交于点D、E，连接AD、AE  则△ABD、△ACE、△ADE三个三角形都是等腰三角形，如下图所示； 裁剪线段为AD、AE； 选B：以B为圆心，AB长为半径画弧，与BC相交于D，连接AD，对于等腰△ABD，按照图1中的裁剪方法，即可得到四个等腰三角形：△ACD、△ADE、△DEF、△BEF，其中裁剪线为AD、DE、EF．    【点睛】本题考查了尺规作图、线段的垂直平分线性质定理、等腰三角形的判定与性质，掌握线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质是关键． 题型七、角平分线的性质定理 19．（23-24八年级下·山西太原·期末）在中，，平分交于点D．若，，则点D到的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于E，根据题意求出，根据角平分线的性质求出，得到答案． 【详解】解：过点D作于E， ∵，， ∴， ∵平分，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴，即点D到线段的距离为3， 故选：A． 20．（22-23八年级下·山西太原·期末）如图，平分，点在上，，则点到的距离为(　　)    A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】先根据勾股定理求出，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过P作于点N， 又∵平分，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 故选：D．    【点睛】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质作出辅助线是解题的关键． 21．（22-23八年级下·山西临汾·期末）如图，平分是上一点，过点分别作于点交于点．若，则的长为 ．    【答案】3 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】作交于，由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，由三角形外角的定义可得，由含有角的直角三角形的性质可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于，   ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的定义、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质、平行线的性质、三角形外角的定义、含有角的直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【例1】如图，已知，，，，和交于点，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的有（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、其他模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-“手拉手”模型，熟记相关模型的构成及结论是解题关键．证即可判断①②；在上截取，证即可判断③；根据可推出平分，无法推出平分，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴ 即： ∵，， ∴ ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，故②正确；     在上截取，如图所示： ∵， ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∵，， ∴是等边三角形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴点到边的距离相等， ∴平分 若平分，则有 ∴ ∴ 根据条件，无法推出，故④错误； 故选：C． 【例2】如图，在中，，点为的中点，点E在上且，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；在中，，点为的中点，得出，设，则，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，点为的中点， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 故选：B． 等边三角形的判定方法 1.若已知三边关系，一般选用定义判定; 2.若已知三角关系，一般选用判定定理 1判定;3.若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定 作图题的一般思路 1.假设所求作的图形已作出，画出草图:2.在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的交点字母; 3.从草图中找出可作的基本图形，确定作图顺序;4.按确定的顺序作出所求作的图形 1．如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，下列三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】A、，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； B、，，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； C、，，，三角形是直角三角形，故该选项正确，符合题意； D、，，，则三角形不是直角三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理并熟练运用是解题的关键． 4．如图，，垂直平分线段于点，的平分线交于点，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直角三角形的性质可得∠ABD的度数，然后由BE平分可求得∠EBC的度数，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得答案. 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴∠ADB=90°，EB=EC， ∵， ∴∠ABD=50°， ∵BE是的平分线， ∴∠EBC=∠ABD=25°， ∵EB=EC，∴∠C=∠EBC=25°. 故选A. 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的概念、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，知识点虽多但难度不大，属于基础题型. 二、填空题 5．已知△ABC中．AB＝AC＝5．BC＝2．如图．将线段AC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为D．当∠ACD＝90°时，连接BD，则线段BD的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过A作AE⊥BC于E、过D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则可证明△AEC≌△CFD，由勾股定理即可求得BD的长． 【详解】过A作AE⊥BC于E、过D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图所示， ∵AB=AC=5，AE⊥BC， ∴， 由勾股定理得：； ∵DC是由AC旋转90°得到， ∴AC=DC，∠ACE+∠DCF=90°， ∵∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠DCF， ∵∠AEC=∠CFD=90°， ∴△AEC≌△CFD， ∴，， 在Rt△BDF中，， 由勾股定理得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是关键． 6．如图1是某超市自动扶梯，如图2是其示意图，大厅两层之间的距离，自动扶梯的倾斜角为30°．若自动扶梯运行速度米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 秒． 【答案】24 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】先计算出扶梯的长度，根据扶梯的运行速度即可得到运行时间． 【详解】解：∵自动扶梯的倾斜角为30°，， ∴扶梯的长度为，， ∴设顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为， ∴， ∴秒， 故答案为：24． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半． 7．已知，在中，，点是的中点，于点，连接请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择 ． A．如图1，若，则线段的长为 ． B．如图2，若，，则线段的长为 ．    【答案】 A或B 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）选A或B，根据条件分别求解即可； （2）由A中条件知是等腰直角三角形，从而，进而得到是等腰直角三角形，则，进而，过作于，如图所示，由等腰直角三角形性质得到，在中，利用勾股定理即可得到线段的长为； （3）过作于，连接，如图所示，在中由勾股定理得到，由等面积可得得，根据中点性质，在中，由勾股定理得，再由等面积可得得，在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，从而，在中由勾股定理得． 【详解】解：（1）选A或B； （2）选A：过作于，如图所示：    在中，，如图1，，则是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点， ， ， 是等腰直角三角形，则， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故答案为：； （3）选B：过作于，连接，如图所示：    在中，，如图2，，，则由勾股定理可得， 由等面积可得，即，解得， 点是的中点， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 由等面积可得，即，解得， 在中，，，，则由勾股定理可得， 在中，，，，则由勾股定理可得， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理求线段长及等腰直角三角形的判定与性质等，数形结合，熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 三、解答题 8．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，平分． (1)求点A、B的坐标； (2)求线段的长； (3)在平面直角坐标系中是否存在点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为、B的坐标为； (2)； (3)点D的坐标为或或或． 【知识点】等腰三角形的定义、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）令，求得；令，求得；即可求解； （2）证明，设，则，，利用勾股定理列方程求解即可； （3）分四种情况讨论．如图，作轴于点F，证明，可求点D的坐标；其他也同样画出图形，作出辅助线，同法求解即可． 【详解】（1）解：令，则，解得； 令，则； ∴点A的坐标为、B的坐标为； （2）解：过点C作于点E， ∵点A的坐标为、B的坐标为， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴； （3）解：如图，作轴于点F， 由题意得，， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； 同理，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为； ∴点D的坐标为或或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了求一次函数图象与坐标轴的交点，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． 9．如图直线与x轴、y轴分别交于点C、B，与直线交于点A． (1)求点A的坐标； (2)如果在y轴上存在一点P，使是以为底边的等腰三角形，则点P的坐标是____； (3)点Q在线段上，使的面积等于6，求点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】一次函数与几何综合、求直线围成的图形面积、已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了交点的求法，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等． （1）联立方程组，即可求得； （2）设P点坐标是，即可得到，的长，根据是以为底边的等腰三角形，即，可列出方程，解方程即可求得； （3）设点Q的坐标是，过点Q作轴于点D，则，根据列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解方程组得， ∴点A的坐标为 （2）设P点坐标是， ∵，， ∴， ∵是以为底边的等腰三角形，， ∴， 即， ∴， 解得， ∴P点坐标是． 故答案为： （3）∵直线与x轴、y轴分别交于点C、B， ∴，， ∴， 设点Q的坐标是，过点Q作轴于点D，如图， 则， ∴， ∴，即， ∴， 把代入，得， ∴Q的坐标是． 10．在校园内有一块四边形形状的草坪如图所示，我们把它记作四边形，数学兴趣小组的同学想知道它的面积，身边只有一把卷尺，同学们量得，，，．当同学们不知道该如何求面积时，组长有意提议量量的长度，他们量得，问题得到了解决．你知道他们是如何解决问题的吗？请接着完成任务。 【答案】平方米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形的面积，能运用勾股定理的逆定理判定三角形的形状是解题的关键． 【详解】连接， ， 是直角三角形, , 又∵， 是直角三角形， ， (平方米)． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$