精品解析：广西柳州市柳州高级中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

柳州高中2024级高一下二月开学考 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将集合化简，再由集合的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， ，， 则，所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定为 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据含全称量词的命题的否定规则即得. 【详解】根据含全称量词的命题的否定规则，改变量词，否定结论即得：命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除BD,根据时的函数值可排除C. 【详解】由于， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，此时可排除BD， 又时，，故排除C, 故选：A 4. 下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过该幂函数为奇函数排除A、B，由定义域可排除C，再分析D可得答案. 【详解】由于幂函数为奇函数，而AB选项的解析式非奇函数，故可排除， 对于C，为奇函数，但是，故可排除， 对于D，为奇函数，且经过两点，满足题意， 故选：D. 5. 化简 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角的三角函数关系式化简计算即得. 【详解】因， 故选：B. 6. 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及换底公式计算即得. 【详解】 . 故选：C. 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的性质和分界点的函数值大小关系即可得到不等式组即可求解. 【详解】因为函数是增函数， 函数的图象开口向下，对称轴为， 所以要使函数在上单调递增， 则，解得， 因此的取值范围是. 故选：B. 8. 记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ） A. 方程有三个根 B. 的单调减区间为和 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】A 【解析】 【分析】由的定义作出函数图象，结合图象依次判断各个选项即可. 【详解】由的定义作出函数图象，如图， 由图象可知： 对于A，的图象与直线有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确； 对于B，的单调递减区间为和，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，无最小值，D错误. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的或未作答的得0分. 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成角度为 B. 化成的形式是 C. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D. 在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据弧度制与角度制的转化判断A、B；由正负角的概念判断C；根据弧长公式判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，,故B错误； 对于C，分针拨慢20分钟，则分针逆时针旋转，即分针转过的角的弧度数为，故C错误； 对于D，由弧长公式可得半径为2，弧长为的弧所对圆心角为，故D正确； 故选：AD. 10. （多选）下列结论恒为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量加法和减法计算公式，即可判断. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 已知，，则 D. 已知，若，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解AB，利用整体法，结合不等式的性质求解C，利用作差法即可求解D. 【详解】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）恒过定点__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的图象经过定点求解. 【详解】因为当且时，，所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 13. 函数的部分图象如图所示，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象，判断函数周期，最值，求出参数 【详解】函数图象可知最大值为2，则， ，化简可知，解得， 函数图象经过，代入可知，得，又，则， 可知函数解析式为. 故答案为: . 14. 已知函数在上恰有两个零点，则____________，______________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 当时，， ∴ ， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，，若，则， 所以 ，即； 令， 所以在上的对称轴为， 所以由函数的图象性质可知， ∴ 故答案为：；. 四、解答题：第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分. 15. 已知，计算 （1）； （2）； （3） 【答案】（1）2 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数商的关系即可求解； （2）利用同角三角函数的平方关系和商的关系将弦化为正切即可求解； （3）利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的商的关系即可求解. 【小问1详解】 由题意有，所以，解得； 【小问2详解】 【小问3详解】 16. 已知为锐角，为钝角，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和角公式即可代入求解， （2）根据余弦的差角公式即可求解. 【小问1详解】 由于为锐角，为钝角，且， 所以， 所以， 【小问2详解】 ， 由于为锐角，为钝角，所以， 因此，故， 所以， 故 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期，对称中心及单调递增区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，写出函数和的解析式；且当，求的最值. 【答案】（1） 最小正周期，对称中心为，.  单调递增区间为，. （2） ，.   最大值，最小值. 【解析】 【分析】（1）对于函数，先利用三角函数公式化简，再根据三角函数的性质求最小正周期、对称中心和单调递增区间. （2）对于图象变换，根据平移和伸缩的规律得到和的解析式，最后根据的取值范围求的最值. 【小问1详解】 已知. 根据二倍角公式，则. 所以. 进一步整理得. 再根据辅助角公式，所以.  对于，，所以最小正周期.  令，，解得，. 所以的对称中心为，.  令，. 先解不等式，得，即，. 再解不等式，得，即，. 所以的单调递增区间为，. 【小问2详解】 将函数的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.  将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），根据“横坐标伸缩”的原则，的系数变为原来的倍，得到.   当时，，则. 当，即时，取得最大值，此时取得最大值. 当，即时，取得最小值，此时取得最小值. 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算； （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值； （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. 【小问2详解】 设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 19. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）证明：，并求函数的解析式； （2）判断函数的单调性（不需要用定义法证明），并解关于不等式：； （3）设，对于，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为①，则， 又为上的偶函数，为上的奇函数，则有②， 由①-②得到，所以 由①+②得到，所以. （2）单调递增，； （3） 【解析】 【分析】（1）由奇偶函数的定义化简得，结合已知条件解方程得到结果； （2）通过解析式得出函数的单调性，再结合一元二次不等式计算求解； （3）由单调性求出在，通过与的关系，分别写出函数在的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组后解得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在上单调递增. 因为，所以， 所以，，所以或， 所以解集为； 【小问3详解】 ， 因为，所以，所以， 因为对任意的，总存在，使得， 所以， ， 令，， 因为令在单调递增，故， 则，, 所以当时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州高中2024级高一下二月开学考 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点的是 （ ） A. B. C. D. 5. 化简 （ ） A. B. C. D. 6. 式子（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ） A. 方程有三个根 B. 的单调减区间为和 C. 的最大值为 D. 的最小值为 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的或未作答的得0分. 9. 以下说法正确的有（ ） A. 化成角度为 B. 化成的形式是 C. 将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 D. 在半径为2的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为 10. （多选）下列结论恒为零向量的是（ ） A. B. C. D. 11. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 已知，，则 D. 已知，若，，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数（且）恒过定点__________． 13. 函数的部分图象如图所示，则_____________. 14. 已知函数在上恰有两个零点，则____________，______________. 四、解答题：第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分. 15. 已知，计算 （1）； （2）； （3） 16. 已知为锐角，为钝角，且. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期，对称中心及单调递增区间； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，写出函数和的解析式；且当，求的最值. 18. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 19. 已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. （1）证明：，并求函数的解析式； （2）判断函数的单调性（不需要用定义法证明），并解关于不等式：； （3）设，对于，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $