2025年广东省中考数学二轮复习专项练习：一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 基础达标 一、选择题 1.用配方法解方程x2-4x+2=0,下列配方正确的是(　　). A.(x-2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x-2)2=-2 D.(x-2)2=6 2.若关于x的方程x2+mx-1=0的两根互为相反数,则m的值为(　　). A.0 B.2 C.1 D.-2 3.定义新运算“※”:对于实数m,n,p,q,有[m,p]※[q,n]=mn+pq,其中等式右边是加法和乘法运算,例如,[2,3]※[4,5]=2×5+3×4=22.若关于x的方程[x2+1,x]※[5-2k,k]=0有两个实数根,则k的取值范围是(　　). A.k<且k≠0 B.k≤ C.k≤且k≠0 D.k≥ 二、填空题 4.一元二次方程(1+3x)(x-3)=2x2+1化为一般形式为　　　　　　　　　.  5.若关于x的方程kx2-4x-=0有实数根,则k的取值范围是　　　　　.  6.已知关于x的一元二次方程x2-4mx+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2,则m的值为　　　　　.  三、解答题 7.选用合适的方法解下列方程: (1)x2+3x-2=0; (2)x2+2x-5=0. 8.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2. (1)求实数k的取值范围; (2)若x1,x2满足=16+x1x2,求实数k的值. 能力提升 一、选择题 1.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c满足 a+b+c=0,则方程必有一根是(　　). A.1 B.-1 C.0 D.±1 2.某等腰三角形的边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为(　　). A.9 B.10 C.9或10 D.8或10 3.关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α,β,且α2+β 2=12,那么m的值为(　　). A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4 二、填空题 4.设x1,x2是关于x的一元二次方程x2-mx-6=0的两个根,且x1+x2=1,则x1=　　　　　,x2=　　　　　.  5.若m,n是方程x2+x-1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为　　　　　.  6.某产品每件的生产成本为50元,原定销售价格为65元,经市场预测,从明年开始,第一季度销售价格将下降10%,第二季度又将回升5%.若要使半年以后每件的销售利润不变,设每个季度平均降低成本的百分率为x,根据题意可列方程为　 .  三、解答题 7.已知关于x的一元二次方程x2=2(1-m)x-m2的两实数根分别为x1,x2. (1)求m的取值范围; (2)设y=x1+x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出y的最小值. 8.某科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700 kg的目标,第三阶段实现水稻亩产量1 008 kg的目标(1亩≈666.7 m2). (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率; (2)按照(1)中亩产量增长率,该科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200 kg,请通过计算说明他们的目标能否实现. 基础达标 1.A　2.A　3.C　4.x2-8x-4=0　5.k≥-6　6.1 7.解 (1)∵Δ=32-4×1×(-2)=17, ∴x=, ∴x1=,x2=. (2)移项,得x2+2x=5.配方,得(x+1)2=6. 开平方,得x+1=±. 故x1=-1+,x2=-1-. 8.解 (1)因为关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,所以Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,解得k≤,即实数k的取值范围为k≤. (2)因为关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,所以x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1. 因为=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2, 所以(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1), 即k2-4k-12=0. 解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去). 所以实数k的值为-2. 能力提升 1.A　2.B　3.A　4.3　-2(顺序不唯一)　5.0 6.65×(1-10%)×(1+5%)-50(1-x)2=65-50 7.解 (1)将原方程整理为x2+2(m-1)x+m2=0. 由原方程有两个实数根,可知Δ=[2(m-1)]2-4m2=-8m+4≥0,故m≤. (2)因为x1,x2为关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两实数根,所以y=x1+x2=-2m+2,且m≤.因为y随m的增大而减小,所以当m=时,y取得最小值1. 8.解 (1)设亩产量的平均增长率为x, 依题意,得700(1+x)2=1 008, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:亩产量的平均增长率为20%. (2)1 008×(1+20%)=1 209.6(kg). ∵1 209.6>1 200, ∴他们的目标能实现. 学科网（北京）股份有限公司 $$