精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

2025年5月高二下学期数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 10 2. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 函数有且只有一个零点充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 下列结论中，正确的有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 若，且，则C，D相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 10. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 -1 C. 的最小值为 12 D. 的最小值为 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点到平面的距离为 C. 过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 12. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ） A. 坐标为 B. 当时， C. 若，则 D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知，且，则最小值是________． 14. 在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为__________. 15. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________. 16. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则______，的数学期望______.（用表示） 四、解答题（共70分） 17. 设数列的前项和为，已知，数列是以为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18. 已知数列的首项为，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 19. 在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立. （1）当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率； （2）若规定每轮游戏只要连续不断出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值. 20. 如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面； （2）若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 21. 为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0010 0.001 3.841 6.635 10.828 22. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）设函数，证明：有且只有一个零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月高二下学期数学期中考试试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及模长计算公式即可求解． 【详解】， 则， 故选：C． 2. 若复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，所以，因此复数的虚部为. 故选：C. 3. 函数有且只有一个零点的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解． 【详解】因为时，，可知函数图象过点， 所以函数有且只有一个零点 函数没有零点 函数的图象与直线无交点． 当时，， 由图可知，函数 的图象与直线无交点或． 即函数有且只有一个零点的充要条件是或． 故选：D． 4. 若随机变量，且，则的最小值为（ ） A B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由题设，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为1. 故选：C 5. 已知椭圆E：，点，若直线（）与椭圆E交于A，B两点，则的周长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线所过定点，再利用椭圆的定义求出三角形周长. 【详解】椭圆E：的长半轴长，半焦距， 则点为椭圆的左焦点，其右焦点为， 而直线恒过定点， 所以的周长为. 故选：D 6. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱和圆锥的侧面积公式可求得，再利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，高， 因为圆柱和圆锥的侧面积相等，所以， 即，故， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 7. 已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围. 【详解】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心， 点在上，连接，连接并延长交于点， 则.设该球半径为，则. 由，可得， 故. 中，，解得. 因为点为的中点，所以， 在中，，所以， 设球心到过点的截面圆的距离为，可知， 截面圆半径， 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 8. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选名不同的裁判员（一名主裁判，一名助理裁判，一名助理裁判，一名第四裁判），其中高一共个班，每个班各一名体育委员，共个女生，个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果． 【分析】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法，再从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判以及第四裁判， 注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为， 第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数： 先从名女生中选出一名担任主裁判，有种选法； 再从名男生中选出一名担任第四裁判，有种选法； 最后从剩下人中选出人分别担任不同的助理裁判，有种选法， 故四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为， 因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判的条件下， 第四裁判员是男生的概率为， 故选：A. 二、多选题（每题5分，共20分） 9. 下列结论中，正确有（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B. 若随机变量，则 C. 若，且，则C，D相互独立 D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】BC 【解析】 【分析】由分位数的计算方法即可判断A；由正态分布曲线的对称性即可判断B；根据条件概率公式及对立事件即可判断C；根据独立性检验即可判断D选项． 【详解】对于A，先排序：1,2,4,5,6,8,9，，第五位数据6，故A错误； 对于B，， 则，故B正确； 对于C，， 由条件概率公式得，得到，即C，D相互独立，故选项C正确； 对于D，没有充分证据推断X与Y有关联，故D错误． 故选：BC． 10. 已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 -1 C. 的最小值为 12 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，令，得到，结合函数单调性，可判定A正确；由，得到，结合二次函数的性质，可得判定B正确；化简，利用基本不等式，可得判定C不正确；由，得到，可判定D正确. 【详解】由，可得， 对于A中，令，则且， 可得，则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确； 对于D中，由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点到平面的距离为 C. 过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助空间向量分析计算可判断A，B；作出过与平面平行的正方体截面，计算其面积判断C；求出直线PQ被正方体的外接球所截弦长即可计算作答. 【详解】A，在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量，则， 令，得， 设棱上点，，则， 若平面，则有， 解得，与矛盾， 即在棱上不存在点M，使得平面，A不正确； B，点到平面的距离h，因， 则，B正确； C，取AD，CD的中点E，F，连接， 则，即确定一个平面，如图， 依题意，，，即四边形是平行四边形，， 平面，平面，于是得平面， 显然，平面，平面，于是得平面， 而，平面，因此，平面平面， 即梯形是过与平面平行的正方体的截面， 而， 则此等腰梯形的高， 所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确； D，过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时， 该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦， 由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心， 令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP， 则，而，而球半径， 则这个小圆半径，此圆面积为，D正确. 故选：BCD 12. 已知抛物线的焦点为，准线为与轴的交点为，过的直线与分别交于两点，则以下选项正确的是（ ） A. 坐标为 B. 当时， C. 若，则 D. 过点作与垂直的直线与交于两点，则四边形面积的最小值为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线方程得出焦点坐标即可判断A；设，设直线，与抛物线方程联立得出和，进而得出和，根据得出，列方程求解即可判断B；由得出，代入即可判断C；设，设直线，表示出四边形面积，根据基本不等式即可判断D． 【详解】对于A，抛物线：，焦点坐标，故A正确； 对于B，设， 由题意知，直线斜率不为零，设直线， ， 可推出：， ， 所以，解得， 所以，故B正确； 对于C，， 因为， 所以，，故C错误； 对于D，设，设直线，同理推出， ， 当且仅当时等号成立，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题（每题5分，共20分） 13. 已知，且，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 所以． 当且仅当时，即，即时，取等号． 故答案为： 14. 在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为__________. 【答案】， 【解析】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可得到，将化简后代入即可得出答案. 【详解】记由个数构成递增的等比数列为， 则，，则，即 所以， 即 故答案为：，. 15. 已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项和为290，所有偶数项和为261，则该数列的项数为__________. 【答案】19 【解析】 【分析】根据等差数列等差中项的性质，结合等差数列求和可得解. 【详解】设等差数列的前项和为，项数为， 则， ， 两式相除得，解得， 则项数为. 故答案为：19 16. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则______，的数学期望______.（用表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可. 【详解】经过第一次操作得：，， 经过第二次操作得：；. 根据全概率公式可知：， ， 两式相加可得， 则：，时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为：①；②. 【点睛】方法点睛：由全概率公式来得到递推关系，再利用数列思想求解即可. 四、解答题（共70分） 17. 设数列的前项和为，已知，数列是以为公差的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（2）求出，从而利用等差数列通项公式求出，再利用求出答案； （2）通过裂项相消法求，并证明. 【小问1详解】 因为，则， 因为数列是以为公差的等差数列. 所以，可得， 当时，， 又因为适合上式，因此. 【小问2详解】 由（1）可得：， 故 18. 已知数列的首项为，且满足． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由递推公式变形得，利用等比数列的定义即可证明是等比数列. （2）由（1）得，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求和即可 【小问1详解】 证明： 数列满足，即， ， 即， 又， , 数列表示首项为，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知， ， ， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得； 综上可得， 19. 在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为，且，每次掷游戏币的结果相互独立. （1）当时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率； （2）若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6次. ①甲在一轮游戏中恰好投掷了5次游戏结束的概率为，求的表达式； ②设甲在一轮游戏中投掷次数为，求的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率的关系求事件的概率. （2）①明确投掷5次游戏结束的具体情况，可求得其概率； ②明确的可能取值，求出对应概率，得到的分布列，求其期望，再结合导数与函数的单调性，求的最大值. 【小问1详解】 设事件表示第次正面向上，其中.且，， 设事件：“至少出现一次正面向上”. 【小问2详解】 ①设事件：“恰好投掷了5次游戏结束”，则. 故 . 所以. ②由题意知， ， ， . . 则. 令，， 当时，，即在上单调递减，故， 因此，的最大值为. 20. 如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面； （2）若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值，再利用余弦值求正弦值即可. 【小问1详解】 取的中点为，连接，则， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故， 因平面，所以平面， 而平面，故，而， 故以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 故， 故平面与平面夹角的正弦值为. 21. 为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群（数量较大）进行试验，从该试验种群中随机抽查了80只，得到如下的样本数据（单位：只）： 发病 没发病 合计 使用药物 10 30 40 没使用药物 25 15 40 合计 35 45 80 （1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？ （2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物使用药物，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，证明：，并利用表中数据求出值． （3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中使用药物的只数为，求随机变量的分布列，数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关； （2）证明过程见解析；； （3）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）求得卡方值，与临界值进行比较即可； （2）利用条件概率的概率公式、对立事件的概率公式、以及全概率公式进行化简，再利用表中数据求出，即可； （3）先求出频率，则服从二项分布，按照二项分布列出其分布列，并求其期望即可. 【小问1详解】 提出零假设该药物与预防该疾病无关， 根据表格得出，， 由此推断不成立， 则能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为该药物与预防该疾病有关. 【小问2详解】 由条件可得， 由表中数据可知，，，则. 【小问3详解】 样本中没发病的动物有只，其中使用药物的有只， 则使用药物且没发病的频率为， 将频率视作概率，则， 则，， ，， 则的分布列为： 期望. 22. 已知函数，. （1）求函数的值域； （2）设函数，证明：有且只有一个零点，且. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，首先判断的奇偶性，再利用换元法求出函数在时的取值范围，结合偶函数的性质得解. （2）结合零点的存在性定理分类讨论可证有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 则， 所以为偶函数， 当时， 令，则，令，， ，又，， 所以， 即当时，根据偶函数关于轴对称，所以当时， 综上可得. 【小问2详解】 因为， 当时，函数与函数均在上单调递增， 故在上单调递增， 又，， 故存在唯一零点， 当时，，，故， 当时，，，故， 故当时，无零点， 综上所述，有且只有一个零点，且该零点； 由上可知，且有， 则， 即， 由函数在区间上单调递增， 故. 【点睛】关键点睛：本题二问关键在于借助零点的存在性定理判定有且只有一个零点，借助零点得到，将转化为，结合函数单调性，得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $