精品解析：浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一下学期5月期中联考数学试题

2024学年第二学期台金七校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：永康外国语学校 审题学校：黄岩中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过解一元二次不等式求得集合，再进行交集运算可得结果. 【详解】集合，， 则 故选：A. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法，可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】 ，，. 故选：C. 4. 最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据梯形中位线定理，结合圆台体积公式进行求解即可. 【详解】如图所示，可求得器皿中雪表面的半径为， 所以平地降雪厚度的近似值为. 故选：C 5. 已知平面，直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由面面平行性质和线面垂直定义即可判断A；由线面平行判定定理和面面平行性质即可判断B；由面面垂直性质即可判断C；由线面位置关系特征即可判断D. 【详解】对于A，若，则，又，则，故A正确； 对于B，因为直线，直线，若，则 若，则或，故B错误； 对于C，若，，则，或l与m异面，或l与m 相交，故C错误； 对于D，若，，则或与重合或与相交，故D错误． 故选:. 6. 如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质，可得每个角的正切值，由正切函数的和角公式，明确角的取值范围，可得答案. 【详解】由题意易得，，，， 故，， 所以， 因为，所以， 同理， 所以， 故选：B. 7. 已知，则下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由方程与函数的关系，可得点的对称关系，从而可得等量关系，可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以a，b分别是，与图象交点的横坐标， 因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称， 所以两交点，关于直线对称， 所以，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 若成立，再结合，可得，与矛盾，故D错误. 故选：D. 8. 已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意作正四面体的图，利用棱长表示体高以及底面三角形外接圆的半径，根据勾股定理求得正四面体外接球的半径，由正方体的内切球，可得答案. 【详解】如图，设正四面体的棱长为， 过A作底面BCD，连接并延长交CD于E， 则，， 设正四面体的外接球的半径为r，则， ，解得， 要使正四面体可以在棱长为2的正方体内任意转动， 则，得. 正四面体的棱长的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，则向量在向量上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由坐标表示的模长公式计算模长即可判断A；由向量垂直的坐标表示即可判断B；根据投影向量定义直接计算即可判断C；根据向量夹角与数量积关系即可计算求解判断D. 【详解】选项由题，A正确， 选项若，则，解得，B错误， 选项当时，，，， 则投影向量为，C正确， 选项若向量与向量夹角为钝角，则且与不共线， 得，共线时，故且， D错误， 故选： AC 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足条件的三角形有两个 B. 若，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则的面积最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理求得，结合正弦函数的值域是可判断A不正确；由，结合两角和差正切公式及诱导公式得到，再根据条件可判断B正确；利用三角形为锐角三角形结合诱导公式可判断C正确；由已知，，根据余弦定理和三角形得面积公式得到，进而利用二次函数求得可判断D正确. 【详解】A选项：根据正弦定理，可得， 代入，，，可得， 因为正弦函数的值域是，所以不存在这样的角B，满足条件的三角形个数为0，A选项错误； B 选项：因为，所以，， 根据两角和的正切公式， 则， 移项可得， 即， 已知，所以， 因为A，B，，若，则，，， 所以A，B，C都为锐角，为锐角三角形，B选项正确； C选项，因为是锐角三角形，所以， 又A，，所以， 所以，所以， 同理，， 所以，C选项正确. D 选项：已知，，根据余弦定理， 的面积， 因为， 则 令，则，其对称轴为， 当时，， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 11. 如图1，矩形，已知，为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点是线段上（不含端点）的动点，则下列正确的是（ ） A. 当为线段中点时，平面 B. 当为线段中点时，过点的截面交于点，则 C. 在翻折过程中，存在一个位置使得 D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先证明面面平行，再推出线面平行；对于B，利用两平面交线得到交点，根据中位线性质可得比例关系；对于C，利用反证法借助线面垂直的判定定理及性质定理推出矛盾；对于D，通过展开平面图求空间线段长度和最值，. 【详解】 A.取中点，连接. 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. 在矩形中，，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确. B.由题意得，平面，，由平面，得平面， 延长交于点，连接，则平面平面， 所以，故. 由，，得分别为的中点， 若为的中点，则， 所以，即，故B正确. C.假设，取中点，连接， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，显然不成立，假设错误，故C错误. D.当时，把与展开在一个平面上. 展开后，的最小值为线段AC的长度. 在矩形ABCD中，，， 因为，所以，则，，. 因为，，所以， 所以在中，. 因为，所以，故， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以. 如图，在展开后的平面四边形中，是等腰三角形，， 则，则， 所以. 在中，由余弦定理得，， 所以，当三点共线时，等号成立， 故最小值为，D正确. 故选：ABD. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】还原原图，计算面积即可. 【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形， ，可得，． 还原原图形如图： 则， 则， 故答案为：. 13. 已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】向量，且与的夹角为， 则， . 故答案为：6 14. 已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设正四面体顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心.在正三角形BCD中，根据正三角形中心的性质，可求得当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小.此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角，进而通过计算可求得结果 【详解】设正四面体的顶点A在平面BCD上的射影为O，则O是正三角形BCD的中心. 因为正三角形BCD的边长为，则. 当直线a与DO平行时为D与正三角形BCD中心O的连线，直线a与直线DA所成角最小. 此时就是直线a与直线DA所成的角或其补角， 在直角三角形ABO中，，， 由勾股定理可得 在直角三角形ADO中，，， 则直线a与直线DA所成角的正弦值最小为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（，i为虚数单位），是纯虚数. （1）求复数z； （2）若复数是关于x的方程的根，求实数m和n的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由复数除法运算先化简，再由纯虚数定义即可求解； （2）先由（1）求出复数，法一：由题意将复数代入方程即可求解参数；法二：由复数根与系数关系得到方程的另一根，再由韦达定理即可求参数. 【小问1详解】 因， 所以， 又由是纯虚数，可得，解得，所以． 【小问2详解】 法一：因为是方程的根， 所以，即， 可得解得． 法二：是方程的根， 所以另一根 由韦达定理可得：． 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且． （1）求角A； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得建立方程，整理化简，可得答案； （2）由三角形面积计算，根据余弦定理结合基本不等式，可得答案. 【小问1详解】 因为，且平分， 所以， 因为，所以， 整理得， 因为，所以， 故，即， 因为，所以，得． 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 则，当且仅当时，等号成立， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 17. 已知函数． （1）解方程； （2）若恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）或． （2）． 【解析】 【分析】（1）令，将方程转换成一元二次方程即可求解； （2）先将不等式等价转化为，再结合基本不等式求出即可得解. 【小问1详解】 即 令，则或或． 【小问2详解】 ， ， 故，即， 又，当且仅当即时等号成立， 所以. 18. 如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面平面ABCD，，，． （1）证明：平面平面； （2）当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE； （3）当时，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质可得线线平行，根据线面平行的判定以及面面平行判定，可得答案； （2）由异面直线的夹角的定义，确定其平面角，根据正切函数的差角公式、余弦定理以及空间向量的夹角计算，结合图象，可得答案； （3）根据二面角的平面角定义，可得线面角，根据等体积法求得点面距，由锐角三角函数，可得答案. 【小问1详解】 由为矩形可得：， 因为平面，平面，所以平面， 又，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面. 【小问2详解】 如图，取中点，连接，由且，则四边形为平行四边形， 则， 所以即为异面直线与所成角的平面角；设， 法一：（正切和差公式） 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，因为平面，所以， ，当且仅当时取等． 法二：（余弦定理） ，当且仅当时取等． 法三：（空间对棱向量夹角公式） 易知，， 则 ， 易知，，，， ， 当且仅当时取等． 【小问3详解】 过点作， 易知平面与平面所成角为直线与平面所成角，设为， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，由，则， 由，，， 则中边上的高为， 设点到面的距离为， 由，， 即，故． 19. 向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； （1）证明：； （2）如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． （3）有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 【答案】（1）证明见解析； （2），几何意义为以向量构成的平行六面体的体积； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义式以及同角三角函数的平方式，结合题意，可得答案； （2）根据叉乘积的定义以及点面距的向量公式，结合平行六面体的体积公式，可得答案； （3）由（2）可得向量运算的几何意义，求得三棱锥的体积，根据图象以及（1）的等式，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 左边由定义可得：， 右边左边． 故等式得证. 【小问2详解】 设，由定义可得底面的面积为：， 又因为同时与垂直向量，故为底面的法向量， 则平行六面体的体高为：， 所以平行六面体的体积为：， 又因，故点在底面的投影为的重心，易得， 所以． 所以，，其几何意义为以向量构成的平行六面体的体积． 【小问3详解】 如图，设正四面体的棱长为，其中 设，且平面与交于，与交于， 故有，又由（2）可得： ， ， 同理， 由（1）可得：， 所以， ， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期台金七校联盟期中联考 高一年级数学学科试题 命题学校：永康外国语学校 审题学校：黄岩中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（i虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 最早测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数据如图（注意：单位），则平地降雪厚度的近似值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，直线，直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 6. 如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则下列不正确是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一件工艺品由外层一个封闭的大正方体，内层一个正四面体构成，已知外层正方体的棱长为2，在该大正方体内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体可在大正方体内任意转动，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则下列正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 当时，则向量在向量上的投影向量为 D. 若向量与向量夹角为钝角，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则满足条件的三角形有两个 B. 若，则为锐角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则的面积最大值为3 11. 如图1，矩形，已知，为中点，现将沿翻折后得到如图2的四棱锥，点是线段上（不含端点）的动点，则下列正确的是（ ） A. 当为线段中点时，平面 B. 当为线段中点时，过点的截面交于点，则 C. 在翻折过程中，存在一个位置使得 D. 当时，最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________． 13. 已知向量，且向量与向量的夹角为，则_______． 14. 已知正四面体A-BCD的棱长为2，在平面BCD内有一动直线a，求直线a与直线DA所成角的正弦值最小为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（，i为虚数单位），是纯虚数. （1）求复数z； （2）若复数是关于x的方程的根，求实数m和n的值. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D且． （1）求角A； （2）若，求面积的最大值． 17. 已知函数． （1）解方程； （2）若恒成立，求m的取值范围． 18. 如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为直角梯形，四边形ADEF为矩形，且平面平面ABCD，，，． （1）证明：平面平面； （2）当异面直线BF与CE所成角取最大时，求DE； （3）当时，求二面角的正弦值． 19. 向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）； （1）证明：； （2）如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义． （3）有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $