微专题05：竖直平面内的圆周运动和圆周运动中的临界问题 专项训练-2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

圆周运动中的临界问题 需要掌握的内容 常见的两种临界极值问题 (1)与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 (2)与弹力有关的临界极值问题 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。 （基础篇） 经典习题 对点训练1　水平面内圆周运动的临界问题 1.（单选）如图所示，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO′的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为(　　) A. B. C. D.2 2.(多选)如图所示，A、B两个相同的茶杯放在餐桌上的自动转盘上，一个杯中装满水，另一个是空杯。A离转轴的距离为r，B离转轴的距离为2r，转盘在电动机的带动下以周期T匀速转动，A、B两杯与转盘保持相对静止，均可看作质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.动摩擦因数至少为 B.装满水的杯子受到的摩擦力一定较大 C.若增大转动的角速度，空杯一定先滑动 D.若增大转动的角速度，茶杯B一定先滑动 3.（单选）如图所示，三角形为一光滑锥体的正视图，母线与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则(　　) A.小球受重力、支持力、拉力和向心力 B.当ω＝2.5 rad/s时，小球对锥体的压力为零 C.当ω＝ rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零 D.当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用 4.如图甲所示，质量相等的物块A、B放在水平圆盘上，A、B和圆盘圆心O在同一直线上，让圆盘绕过圆心O的竖直轴匀速转动，当A刚要滑动时，转动的角速度为ω1，当B刚要滑动时，转动的角速度为ω2；若A、B在圆盘上的位置不变，用细线将A、B连接，细线刚好伸直，如图乙所示，让圆盘匀速转动，当A、B一起刚要滑动时，转动的角速度为ω3，两物块与盘面间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列关系正确的是(　　) A.ω1>ω3>ω2 B.ω1<ω3<ω2 C.ω1<ω2 D.ω1<ω3 5.(多选)如图所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l，细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水平圆台缓慢加速运动(　　) A.当圆台的角速度ω＝时，细绳中无张力 B.当圆台的角速度ω＝时，细绳中有张力 C.当圆台的角速度ω＝时，圆台对木箱无支持力 D.当圆台的角速度ω＝时，圆台对木箱有支持力 对点训练2　竖直面内圆周运动的临界问题 两种模型对比 物理情景 轻绳模型 轻杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 受力 特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上 受力 示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界 特征 FT＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 FN＝mg 过最高点 的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 6.(多选)一水平放置的木板上放有砝码,砝码与木板间的动摩擦因数为μ,让木板在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动。假如运动中木板始终保持水平,砝码始终与木板相对静止,若最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则砝码 (　 　) A.在轨道最高点和最低点时,所受的摩擦力一定等于0 B.在最高点和最低点,对木板的压力之差可能等于0 C.在运动过程中所受的合力始终不变 D.做匀速圆周运动的速率不可能大于 7.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是(　　) A.0 B.mg C.3mg D.5mg 8.(单选)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一段圆弧雪道的半径不应小于(　　) A. B. C. D. 9.如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小 为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为(取g＝10 m/s2)(　　) A.2 m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s 10. (单选)如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确的是(　　) A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B.当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力为15 N C.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 11.(单选)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　) A.管道的半径为bg B.小球质量为 C.小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力 D.小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 　 12. 如图所示，有一根长L＝4 m的轻杆两端各固定一个质量均为m＝1 kg的小球，O点为一穿过轻杆的转轴，且位于轻杆的中点。在外界作用力的影响下转轴带动轻杆与小球做ω＝4 rad/s的竖直平面上的匀速圆周运动。某一时刻轻杆沿竖直方向，且A球在上方。 (1)求该时刻B球线速度大小和向心加速度； (2)求该时刻A球对轻杆的作用力； (3)若A球质量可改变，要使该时刻转轴不受轻杆的作用力，A球质量应为多少？ 对点训练3　倾斜面上圆周运动的临界问题 物体在倾斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力。 在转动过程中，转动越快，物体最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时，有μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R。 13.(单选)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，每面上有一质量为m的小物体与圆盘始终保持相对静止，盘面与水平面的夹角为30°，重力加速度大小为g，已知物体在最高点受到的摩擦力的大小为mg，则物体在最低点受到的摩擦力的大小为(　　) A.mg B.mg C.2mg D.mg 14.（单选）如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r＝1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60°，重力加速度g取10 m/s2，则ω的最小值是(　　) A.1 rad/s B. rad/s C. rad/s D.5 rad/s 15.(单选)如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，小球在A点最小速度为(　　) A.4 m/s B.2 m/s C.2 m/s D.2 m/s （综合提升练篇） 16.如图所示,相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时,物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是 ( ) 17.如图(a)所示,质量均为1 kg的物体A和B放置在圆盘上,与圆盘间的动摩擦因数分别为μA和μB。用两根不可伸长的细绳将物体A、B和圆盘转轴相连，物体A、B与转轴的距离分别为rA和rB。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘绕转轴转动的角速度ω缓慢增大时,转轴与物体A之间的细绳拉力T1、A与B之间的细绳拉力T2随如图(b)所示。取g=10 m/m2,则下列正确的是 ( ) A.μA=0.25　　　　 B.μB=0.1 C.rA=1.5 m D.rB=2.5 m 18.如图(a)所示,倾斜圆盘与水平面的夹角为,它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动,在國盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系,轴沿水平方向,y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止,其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy,的关系如图(b)所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为( ) A. B. C. D. 19.(多选)如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A.小球一定受a绳的拉力作用 B.小球所受a绳的拉力随角速度的增大而增大 C.当角速度ω>时，b绳将出现弹力 D.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化 20.如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑圆轨道水平相切于O点。O点在水平地面上，可视为质点的小球从O点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点A，从A点飞出后落在圆轨道上的B点，不计空气阻力，g取10 m/s2，则B点与O点的高度差为(　　) A. B. C. D. 21.如图甲所示，质量为的小球（视为质点）用轻质细线悬挂于点在竖直面内做圆周运动，小球以不同的角速度通过最高点时，细线的拉力与其角速度的平方的关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．时，小球在最高点的角速度大小为 B．当地的重力加速度大小为 C．细线的长度为 D.当时，的大小为，方向竖直向上 22.如图甲所示表面光滑的圆锥体固定在水平面上，锥面与竖直轴线之间的夹角为（大小未知），长度为的轻质细线一端固定在锥体的顶点，另一端连接在可视为质点的小球上，观让小球绕着轴线做匀速圆周运动，细线的拉力与小球角速度的平方间的关系如图乙所示，重力加速度为，小球离开斜面后，细线与轴线间的夹角为，根据图乙所提供的信息，下列说法正确的是（　　） A．与成正比 B．当小球角速度大于时，与成反比 C．锥面与竖直轴线间夹角的余弦值为 D.小球的质量为 23.如图所示，餐桌中心是一个半径r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数μ1＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数μ2＝0.225，餐桌离地高度h＝0.8 m。设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。 (1)为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？ (2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，餐桌半径R的最小值为多大？ (3)若餐桌半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？ 24.直角支架由水平杆和竖直杆组成，整个装置可以为轴转动，现有一可视为质点的小环套在杆上，位于距点处的点，如图甲所示。当装置以角速度匀速转动时，小环恰好能在点随装置一起匀速转动。重力加速度，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 （1）求小环与杆间的动摩擦因数； （2）如图乙所示，小环仍在点，现在下方用轻质细线与小球（可视为质点）连接。另一水平轻质细线的两端分别连接与杆上的点，各段细线均伸直，间细线与竖直方向的夹角，已知小环的质量，小球的质量、间细线长。（以下情况中始终在点） ①当装置匀速转动的角速度为，小环受到杆对它的摩擦力大小变为零，求角速度的大小和间细线上拉力的大小； ②当装置以不同的角速度匀速转动时，小环受到的摩擦力大小为。请写出小环与杆发生相对滑动前的大小与间的关系式。 参考答案 1.答案　B 解析：硬币做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，有f＝mω2r ，又f≤fm＝μFN＝μmg，联立可得mω2r≤μmg，解得ω≤，即圆盘转动的最大角速度为，故选项B正确。 2.答案　AD 解析：对于B茶杯，根据摩擦力提供向心力f＝μmg≥，可得动摩擦因数至少为，故A正确；杯子受到的摩擦力等于杯子做圆周运动所需的向心力，不清楚哪个杯子装满了水，无法比较两杯子的向心力大小，故B错误；杯子刚要滑动时，对茶杯A，有μmg＝mrω2，对茶杯B，有μmg＝mω·2r，可得茶杯A、B发生滑动的最小角速度分别为ω1＝，ω2＝，若增大转动的角速度，茶杯B一定先滑动，故C错误，D正确。 3.答案　C 解析：向心力是效果力，不能说小球受向心力，A错误；转速较小时，小球紧贴锥体，则FTcosθ＋FNsinθ＝mg，FTsinθ－FNcosθ＝mω2lsinθ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当角速度ω达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtanθ＝mωlsinθ，解得ω0＝ rad/s，B错误，C正确；当ω＝2 rad/s时，小球已经离开斜面，小球受重力和拉力的作用，D错误。 4.答案　A 解析：设物块到圆心的距离为r，当物块刚要滑动时，最大静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律有μmg＝mω2r，可得ω＝，故当A刚要滑动时，转动的角速度为ω1＝，当B刚要滑动时，转动的角速度为ω2＝；若用细线将A、B连接，当它们一起刚要滑动时，最大静摩擦力和拉力合力提供向心力，对B物块由牛顿第二定律有μmg＋T＝mωrB，对A物块有μmg－T＝mωrA，联立解得ω3＝，因为rA<<rB，所以可得ω1>ω3>ω2，故A正确。 另解　当A、B用细线连在一起时，可以把A、B看成一个整体，整体的质量是2m，整体重心在原来A、B的中点处。由牛顿第二定律有μmg＝mω2r，可得ω＝，此临界角速度与物体的质量无关，只与离转轴的远近有关。离转轴越远临界角速度越小，因为rA<rAB重心<rB，所以ω1>ω3>ω2，故A正确。 5.答案　ABC 解析：细绳中恰好无张力时，静摩擦力达到最大，由静摩擦力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得ω＝，可得当ω≤时绳子无张力，ω>时绳子有张力，故A、B正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝，即当ω≥时，圆台对木箱无支持力，故C正确，D错误。 6.AD 7.答案　C 解析：小球恰好通过最高点时，只受到重力作用，重力完全充当向心力，有mg＝m，当小球到达最高点速率为2v时，有FN＋mg＝m，联立解得小球受到轨道的支持力大小为FN＝3mg，根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为3mg，故C正确。 8.答案　D 解析：运动员从a到c根据动能定理有mgh＝mv，在c点有FNc－mg＝m，FNc≤ kmg，联立有Rc≥，故选项D正确。 9.答案　B 解析：对A球，合外力提供向心力，设圆管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对圆管的力竖直向下为28 N，设B球对圆管的力为FB′，由圆管受力平衡可得FB′＋28 N＋m管g＝0，解得FB′＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，圆管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故B正确。 10.答案　D 解析：设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误。 11.答案　B 解析：由题图乙可知，当v2＝b时，FN＝0，有mg＝m，解得R＝，故A错误；当v2＝0时，FN＝mg＝a，有m＝，故B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，故C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误。 12.答案　(1)8 m/s　32 m/s2，方向竖直向上　 (2)22 N，方向竖直向上　(3) kg 解析　(1)B球的线速度大小vB＝＝8 m/s，B球的向心加速度大小anB＝＝32 m/s2，方向竖直向上。 (2)对A球，在最高点时，有mg＋FN＝mω2 代入数据得FN＝22 N 由牛顿第三定律知，A球对轻杆的作用力FN′＝FN＝22 N，方向竖直向上。 (3)对A球，有mAg＋FNA＝mAω2 对B球，有FNB－mg＝mω2 若轻杆不受转轴的作用力，有FNA＝FNB 联立解得mA＝ kg。 13.答案　D 解析：当物体在最高点时，物体受到的摩擦力方向沿半径方向背离圆心时，对物体有mgsin 30°－f1＝mω2R，此种情况下，当物体在最低点时，对物体f2－mgsin 30°＝mω2R，解得f2＝mg；当物体在最高点时，物体受到的摩擦力方向沿半径方向指向圆心时，对物体有mgsin 30°＋f1＝mω2R，此种情况下，当物体在最低点时，对物体f2－mgsin 30°＝mω2R，解得f2＝mg，故D正确。 14.答案　C 解析：对小物体受力分析如图所示，由牛顿第二定律有mgcos 60°＋FN＝mω2r，f＝mgsin 60°≤μFN，解得ω≥ rad/s，故A、B、D错误，C正确。 15.B 解析　由题意可知，小球恰好过A点时的速度最小，即小球过A点时绳子上的拉力恰好为零，此时小球做圆周运动的向心力完全由小球重力沿斜面向下的分力来提供，由牛顿第二定律有mgsin 30°＝m，解得vmin＝2 m/s，故B正确。 16.D 17.C 18.D 19.答案　AC 解析　对小球受力分析，在竖直方向有mg＝Tasin θ，可知小球一定受a绳的拉力作用，且小球所受a绳的拉力随角速度的增大保持不变，故A正确，B错误；当b绳刚要绷紧出现弹力时，水平方向根据牛顿第二定律，有Tacos θ＝mω2l，联立解得ω＝，即当角速度ω>时，b绳将出现弹力，故C正确；由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。 20.答案　A 解析　由题意知小球刚好能通过半圆的最高点A，则有mg＝m，得vA＝。小球从A点做平抛运动，有x＝vAt，y＝gt2，又x2＋y2＝R2，代入解得t2＝，则B点与O点的高度差为hBO＝R－y＝，故A正确。 21.【答案】C 【解析】由乙图可知，当细线的拉力刚好为0时，，解得小球的角速度，此速度为小球能通过最高点的最小角速度，错误： 由牛顿第二定律与向心力公式可得，即，则乙图的纵截距，解得错误；乙图的斜率，解得正确。 22.【答案】BC 【解析】当与不成正比，当与成正比，错误； 当，小球离开斜面，对小球受力分析，与重力合力沿水平方向充当向心力，则有，可得，则与成正比，即与成反比，正确； 当，小球离开斜面，对小球受力分析，沿水平方向的分力充当向心力，则有，可得，乙图的斜率，解得，当，小球静止在锥面上，由三力平衡可得，综合解得正确，错误。 23.答案　(1)2 rad/s　(2)2.5 m　(3)2.1 m 解析：(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大，当静摩擦力最大时，小物体即将离开圆盘，此时圆盘的角速度达到最大，有 fm＝μ1mg＝mω2r 解得ω＝2 rad/s。 (2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值。设物体在餐桌上滑动的位移为s，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，有a＝ 又f＝μ2mg 解得a＝μ2g＝2.25 m/s2 物体在餐桌上滑动的初速度v0＝ωr＝3 m/s 由运动学公式0－v＝－2as可得s＝2 m 由几何关系可得餐桌半径的最小值 R＝＝2.5 m。 (3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v 由题意可得v2－v＝－2as′ 由于餐桌半径R′＝r，所以s′＝r＝1.5 m 解得v＝1.5 m/s 设物体做平抛运动的时间为t，则h＝gt2 解得t＝＝0.4 s 物体做平抛运动的水平位移s＝vt＝0.6 m 所以，水平距离L＝s′＋s＝2.1 m。 24.【答案】（1）；（2）①，② 【解析】（1）由题意可知，此时由小环所受的最大静摩擦力提供向心力，则有 代入数据解得 （2）①设、间细线拉力为，对有 小球圆周运动的半径为 对有 联立以上各式，代入数据解得 ②系统竖直方向合力为0，故杆对的支持力 环所受的最大静摩擦力大小为 所以当，小环受到的摩擦力方向向左，有 整理可得 设角速度为时，小环受到方向向右的最大静摩擦力，则 解得 则当，有 整理可得 当 20 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$