串讲02 向量的数量积与解三角形（考点串讲）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

高一数学下学期·期末大串讲 串讲02 向量的数量积与解三角形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 考点透视 清单01 平面向量基本概念  考点透视 清单02 平面向量线性运算  考点透视 清单02 平面向量线性运算  考点透视 清单03 平面向量共线定理  考点透视 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示  清单05平面向量数量积   考点透视 清单06 极化恒等式法求数量积最值（范围）  考点透视 清单07 向量的模   清单08 向量的夹角  清单09向量投影   考点透视 清单10解三角形   考点透视 清单11 三角形面积  考点透视 清单12三角形中线   考点透视 清单13 角平分线  题型剖析 【考点题型一】平面向量基本概念 【答案】D 题型剖析 【考点题型二】平面向量线性运算 【答案】D 题型剖析 【考点题型三】平面向量共线定理 【答案】B 题型剖析 【考点题型三】平面向量共线定理 题型剖析 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示 题型剖析 【考点题型五】平面向量数量积 【答案】C 题型剖析 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围） 题型剖析 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围） 题型剖析 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围） 题型剖析 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围） 题型剖析 【考点题型七】向量的模 题型剖析 【考点题型七】向量的模 题型剖析 【考点题型七】向量的模 题型剖析 【考点题型七】向量的模 题型剖析 【考点题型七】向量的模 题型剖析 【考点题型七】向量的模 题型剖析 【考点题型八】向量的夹角 【答案】C 题型剖析 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数 【答案】C 题型剖析 【考点题型十】投影向量 题型剖析 【考点题型十一】解三角形 【答案】A 题型剖析 【考点题型十二】判断三角形的形状 【答案】D 【考点题型十三】边角互化的应用 题型剖析 题型剖析 【考点题型十四】判断三角形的个数 【答案】C 题型剖析 【考点题型五】三角形周长（定值） 题型剖析 【考点题型五】三角形周长（定值） 题型剖析 【考点题型十六】三角形面积（定值） 题型剖析 【考点题型十六】三角形面积（定值） 题型剖析 【考点题型十七】正余弦定理的应用 题型剖析 【考点题型十七】正余弦定理的应用 题型剖析 【考点题型十八】三角形中线 题型剖析 【考点题型十八】三角形中线 题型剖析 【考点题型十九】三角形角平分线 题型剖析 【考点题型十九】三角形角平分线 题型剖析 【考点题型二十】三角形周长问题（最值范围） 题型剖析 【考点题型二十】三角形周长问题（最值范围） 题型剖析 【考点题型二十一】三角形面积问题（最值，范围） 题型剖析 【考点题型二十一】三角形面积问题（最值，范围） 题型剖析 【考点题型二十一】三角形面积问题（最值，范围） 题型剖析 【考点题型二十二】新定义题 题型剖析 【考点题型二十二】新定义题 题型剖析 【考点题型二十二】新定义题 【答案】C 【答案】CD 押题预测 【答案】B 押题预测 【答案】C 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知非零向量， （1）． （2） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 已知非零向量，是与的夹角，则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）在中，内角，所对的边分别是,则： ； （2）余弦定理的推论 ； ； （3）在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 在中，设是的中点角,,所对的边分别为，， （1）中线向量化（记忆核心技巧，结论不用记忆） 核心技巧： 结论： （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 在中有：; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）等面积法 核心技巧 （2）邻角互补法 核心技巧： 在中有：; 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D，对于向量与向量，它们的大小是相等的，只是方向相反．根据向量模的定义，向量的模与向量的模是相等的，所以D正确， 【例1】（24-25高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量与向量的模相等 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，故A错误； 对于B，当时，因为零向量与任意向量平行，所以对于任意向量和，都有且，但此时与不一定平行，故B错误； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小，即，不能得出，故C错误； 【例题2】.（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【详解】平行四边形中， 由，，得， 所以. 故选：D 【例3】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 【变式3-1】.（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则 ． 【详解】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3 【例4】（24-25高一下·天津河北·期中）已知向量，，，其中． (1)求及向量，夹角的余弦值； (2)若向量与向量垂直，求实数k的值； (3)若向量，且向量与向量平行，求实数k的值． 【详解】（1）由已知，得，，． 所以向量，夹角的余弦值为． （2）由已知，得， ， 又向量与向量垂直，所以， 即，解得． （3）由已知，得， 又向量与向量平行，， 所以， 整理可得，解得． 【例5】（河南省名校大联考2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题）已知在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 则， 所以， 所以当且仅当时，取得最小值. 故选：C. 【例6-1】（24-25高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； 【详解】（1）. 由极化恒等式可得：. (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 【例7】（陕西省榆林市多校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题）已知平面向量与的夹角为，且，. (1)求向量的模； 【详解】（1），且，，. ，. (2)若，求实数的值； （2）， ， ，，，，解得 (3)设为实数，求的最小值. （3）， 当时，取得最小值为. 【变式7-1】.（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量，， (1)若与夹角为，求； 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以． (2)若，求的坐标； （2）设，则， 由得，即，解得或， 所以或． (3)若与夹角为，求取最小值时的值． （3）因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值． 【例题8】.（23-24高一下·云南玉溪·期中）已知平面向量满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以，所以， 所以，而，所以， 即向量与的夹角为. 故选：C. 【例题9】.（24-25高一下·重庆万州·期中）已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 因为向量，的夹角是锐角，所以 解得且，所以的取值范围是. 故选：C. 【例10】（24-25高一下·山东淄博·期中）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影向量的大小是 ． 【答案】 【详解】依题意得，， 所以， 所以向量在向量方向上的投影是. 故答案为：. 【例11】（24-25高一下·天津南开·期中）在中，，则最大角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】在中，， ∴角A即为的最大角. 由正弦定理可得， 不妨设， 由余弦定理可得. 故选：A. 【例12】（24-25高一下·浙江·期中）在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【详解】因为， 所以由余弦定理，整理化简得. 所以即，或即， 所以三角形ABC的形状为等腰或直角三角形. 故选：D 【例13】（24-25高一下·江苏·期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若，则a的取值范围是 . 【详解】， 由正弦定理得，，化简得，， 即， 当且仅当时等号成立， ，又，， 的取值范围是. 故答案为：. 【例14】（24-25高一下·安徽滁州·期中）已知的内角所对的边分别为，若满足条件的有两个，则的值可能为（    ） A．7 B． C．9 D．10 【详解】在中，由正弦定理，得， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且，即， 于是得，解得，显然9适合题意， 故选：C. 【例15】（安徽省智学大联考皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）在中，分别为角的对边，向量，，且. (1)求角； 【详解】（1）因为， 所以． 因为， 所以， 整理可得． 因为， 所以， 从而，即有. 又，所以. (2)若角的平分线交于点，，，求的周长． （2）在，角A的平分线交于点，， 由三角形内角平分线定理可知：. 设，则. 由（1）知，， 由余弦定理可得：， 整理可得. 又，，， 即， 解得， 所以周长为. 【例16】（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即， 所以，即 因为 所以， 因为，所以. (2)若，，求的面积． （2）由（1）知，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴，得， 所以的面积. 【例17】（24-25高一下·陕西西安·期中）如图，为了测量两山顶间的距离，四点在同一铅锤平面内，飞机沿水平方向在两点进行测量，途中在点测得，在点测得，测得． (1)求点和点之间的距离； 【详解】（1）由题意可得，，，， 在中，根据正弦定理，， 所以，则. (2)求两山顶间的距离． （2）在中，， 由正弦定理可得：，， 中，， 由余弦定理得： ， . 所以两山顶间的距离为. 【例18】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求； 【详解】（1）因为， 由正弦定理得 所以，即， 又因为，所以． (2)若，的周长为9，点是边的中点，求线段的长． （2）因为点是的中点，所以， 所以 在中， 由余弦定理得， 所以， 所以 又因为的周长为，所以 所以，所以，所以， 所以，所以． 【例19】（24-25高一下·广东广州·期中）在中，角的对边分别为，若． (1)求角的大小； 【详解】（1）由题和正弦定理得，整理得， 所以由余弦定理得， 又，所以. (2)若为上一点，且为角的平分线，，求的最大值． （2）因为，所以由题， 所以由得， 即， 又，设，则， 所以， 又，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为3. 【例20】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； 【详解】（1）在锐角三角形中，因为， 所以由正弦定理得， 故，即，即，即， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以． (2)若，求周长的取值范围． （2）因为，由正弦定理， 所以，， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，， 所以，解得， 所以，所以， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 【例21】（24-25高一下·山东·阶段练习）已知三角形的内角的对边分别是，且满足． (1)求角A的大小； 【详解】（1）由正弦定理边角互化可得： 又，则， 从而，结合， 则或（舍去）. 故. (2)若三角形的面积为10，内切圆的半径为1，求； （2）因三角形的面积为10，内切圆的半径为. 则，则. 又由（1），. 则由余弦定理：. 化简后可得：； (3)若的角平分线交于，且，求三角形面积的最小值． （3）如图，过D点做AB，AC垂线，垂足为E，F. 由（1）可得，则， 又由角平分线性质可得， 又注意到，， 则，设，则. 又，则.其中. 故三角形面积为： . 注意到. 则.要使最小，则需使最大. 注意到，则由基本不等式取等条件可得， 要使最大，需满足. 则，此时，即三角形为等边三角形. 【例22】（24-25高一下·福建漳州·阶段练习）如图，设、是平面内相交成的两条射线，，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在－仿射坐标系中，若，求； 【详解】（1）由题意知，，， ，， ，． (2)如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． （2）设，且，， ， 为的中点，， 为中点，同理得， ， ，， ， 中，，， (2)如图所示，在－仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 代入上式得， 中，由正弦定理得， 设，则，，， ， 其中且，，， 当时，，． 1．（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为向量与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是， 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·福建·期中）给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【详解】由相等向量的概念可知A正确； 因为，所以与同向，B正确； 若，则不一定平行，C不正确； 若，则与不一定共线，D不正确. 故选：CD 3．（2025高三下·全国·专题练习）的内角的对边分别为，若，判断的形状． 【详解】由和正弦定理，可得， ， ． 为的内角， 或， 或， 为等腰三角形或直角三角形． 1．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，，，则的最小值为（    ） A．3 B．8 C． D．9 如图，因为点O是BC的中点，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8. 故选：B. 2． （2025·重庆·三模）正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ，故选：C. 3．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ． 【详解】∵，∴, . 当且仅当，即时等号成立. 又，∴， ∴. 故答案为： 4．（24-25高一下·北京·期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处到C处有两种路径，一种是从沿直线步行到，另一种先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到C，现有甲，乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度，在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留1min，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，. (1)求索道的长. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，，从而， ， 由正弦定理，得. (2)问：乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时甲行走了，乙距离处， 则由余弦定理得 ，由于，即， 故由二次函数性质得当时，甲，乙两游客距离最短． (3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应该控制在什么范围内？ （3）由正弦定理得， 则， 而乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得，解得， 为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在范围内． 5．（24-25高一下·安徽合肥·期中）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； 【详解】（1）由正弦定理得，， ， ， ， 又，得， 又，故. (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅰ）， ， 解得. . (2)点在边上. （ⅰ）若为中线且长为，，求的面积； （ⅱ）若平分，且，求面积的最小值. （ⅱ）， ，得， 又，即，，当且仅当，等号成立. . 6．（24-25高一下·广东惠州·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； 【详解】（1）因为， 由正弦定理可知，即， 又由余弦定理可知， 又，则； (2)若的角平分线交于点，且，，求边的长度； （2）由已知的角平分线交于点， 则， 又在中，， 即， 即， 解得； (3)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. （3）由正弦定理可知， 则，， 又在中，， 则周长， 因为为锐角三角形， 则，即， 则， 所以， 故周长. $$