精品解析：湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

恩施州高中教育联盟2025年春季学期高一年级期中考试 数学试题 命题单位：恩施州高中教育联盟巴东一中 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）为纯虚数，则（ ） A. 4i B. C. D. 4 2. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 是三个平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件 4. 记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，向量与满足，且，则BC边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 5. 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的个位数字为7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若 与垂直，则 B. 若 与平行，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则 10. 已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，在的值域为 C. 的取值范围为 D. 函数在区间上单调递增 11. 设的内角的对边分别为，下列能判断为钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可） 13. 已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 14. 已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，，设，，，． （1）用表示，并求． （2）已知点M在线段AE上，且，若，求k的值． 16. 已知的角所对边分别． ． （1）求； （2）如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 17. 函数的最小正周期为T，且． （1）若，求函数的单调递增区间； （2）若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 18. 巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． （1）求二桥CD的长度． （2）为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 19. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． （1）已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． （2）若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩施州高中教育联盟2025年春季学期高一年级期中考试 数学试题 命题单位：恩施州高中教育联盟巴东一中 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（为虚数单位）为纯虚数，则（ ） A. 4i B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再结合纯虚数及共轭复数求解. 【详解】依题意， ， 由复数z为纯虚数，得，所以． 故选：D 2. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式. 【详解】函数的图象向右平移，得， 再将横坐标伸长为原来的3倍，得， 故选：B 3. 是三个平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的运算律以及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，所以； 反之，，则或或， 故是的充分不必要条件， 故选：B． 4. 记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，向量与满足，且，则BC边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两边平方得，即是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案. 【详解】由两边平方得，向量， 所以向量， 故有，所以是直角三角形，为斜边， 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得中线长为. 故选：A． 5. 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论．黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式、诱导公式将所求式化简，结合条件代入计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∵，∴， ∴. 故选：C． 6. 已知，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意恒成立条件，分析不等式中代数式的符号情况，分类讨论，求出范围. 【详解】由题意可得，或， 为单调增函数，所以不成立， 当在上恒成立，则，即， 故选：B． 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得，由可得为角的平分线，再利用等面积法可得，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则，即， 所以， 又，所以， 因为，即，故为角的平分线，且， 由，则， 故，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故选：C． 8. 对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的个位数字为7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数方程，利用赋值法探讨函数性质，再逐项分析判断. 【详解】对于任意的，函数满足，， 对于A，令，得，A错误； 对于B，令，得，即， 则，B错误； 对于C，，则， 令，得，令，得，则， 则，，C错误； 对于D，，由，得， ， 当x是正奇数时，的个位数字依次为：，周期为5， ，，因此的个位数字为7 ，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若 与垂直，则 B. 若 与平行，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标表示，和向量共线的坐标表示求参数，判断选项正误. 【详解】由题知，， 对A，由，得，所以A错误； 对B，由，得，B正确； 对C，由，得，又时，反向， 所以，所以C错误； 对D，若，则，， 所以，得，所以，D正确． 故选：BD． 10. 已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，在的值域为 C. 的取值范围为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为偶函数，结合列式计算可判断A；将函数化简后结合余弦函数性质计算求解可判断B；由函数在上单调递增，列不等式求解可判断C；根据正弦型函数性质结合，计算可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数， 所以，又，则，故A正确； 对于B，若，， 当时，， 则，故B错误； 对于C， 所以， 由知， 因为在上单调递增，故， 解得，由可得， 由可得，故，又，所以，故C正确； 对于D，，时，， 而，则，， 即，故D正确． 故选：ACD 11. 设的内角的对边分别为，下列能判断为钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用诱导公式结合余弦函数的单调性分析判断，对于B，由题意可求得，然后结合余弦定理分析判断，对于C，由题意得，然后画图分析判断，对于D，将已知等式结合余弦定理和正弦定理化简得，然后利用三角函数恒等变换公式化简，结合分析判断即可. 【详解】A选项，因为，所以，所以由，得， 所以，由，得， 若为钝角，则，由，得， 因为在上单调递减，所以，得，符合题意，则为钝角三角形， 若为锐角，则，因为在上单调递减，， 所以，得，因为，所以，所以为钝角三角形， 综上，为钝角三角形，所以A正确， B选项，由，设，得， 所以，所以角为钝角，所以B正确． C选项，，如图所示， 当时，以C为圆心，a为半径作圆，与射线AB交于B1和B2点，分别对应B为钝角和锐角． 所以为钝角或锐角三角形，所以C错误． D选项，由题意可得，故， 所以，所以由正弦定理得， 所以， 所以，，因为，所以， 所以，所以为钝角，所以D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出函数的图象的一个对称中心________．（任写一个即可） 【答案】（答案符合即可） 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求出对称中心. 【详解】函数， 由，解得， 所以对称中心为，取，得. 故答案为： 13. 已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面向量加减法的运算方法，和三角形中位线的性质，求目标向量的模长. 【详解】如图所示： 因为AB是的中位线，所以，因为， 所以． 故答案为：2. 14. 已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】探讨函数的性质，结合方程的零点可得，将问题转化为直线与函数图象交点个数求解. 【详解】函数，则的图象关于轴对称，且， 因此有唯一解，则， 即，则， 当时，，当，即时， ， 当，即时，， 即，令， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当，即时，直线与函数的图象有4个交点， 所以的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，，设，，，． （1）用表示，并求． （2）已知点M在线段AE上，且，若，求k的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算及数量积的定义、运算律求解即可； （2）结合题意可得，，进而根据平面向量平行的定义求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， ， 又， 所以 ． 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以， 因为， 所以， 因为，所以存在非零实数，使得， 所以， 所以，解得． 16. 已知的角所对边分别． ． （1）求； （2）如图所示，在外，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦的二倍角公式、正弦定理得，再利用三角形内角和为可得答案； （2）设，则，由余弦定理求出，利用，可得四边形的面积，再由两角差的正弦公式结合的范围可得答案． 【小问1详解】 由，得 ， 即， 由正弦定理可得，， 所以， 故， 故， 因为， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 设， 则等腰三角形的面积可表示为， 在中，由余弦定理得， 由（1）结合知为等边三角形， 得， 故四边形的面积， 因为，所以当即时，取最大值1， S取最大值为． 17. 函数的最小正周期为T，且． （1）若，求函数的单调递增区间； （2）若，，且的最小值为．当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性求解. （2）正弦函数零点的意义，结合给定条件，求出的解析式，再探讨在指定区间内取值情况，换元并借助二次函数零点分布求出范围. 【小问1详解】 由，得，则， 而，则，即，由，得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为． 【小问2详解】 由，得， 则， 解得， 则，， 即，因此，由，得， 当，每个值均有两个x值与之对应，设，， 方程化为，方程有4个不等实根， 等价于有两个不同的零点，且， 而，则在有两个不同的零点或在有两个不同的零点， 当在有两个不同的零点时，，解得； 当在有两个不同的零点时，，此不等式无解， 所以m的取值范围为． 18. 巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米． 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°．在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向． （1）求二桥CD的长度． （2）为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造．如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ∥CH，四边形MNPQ为矩形．拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值． 【答案】（1）2千米 （2）平方千米 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果. （2）利用三角恒等变换表示出面积和之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的最大值. 【小问1详解】 如图所示，过点作，过点作， 点在点的正北方向，点在点的正南方向，点在点的正北方向. 根据题意可知，所以, 由题意得，， 所以，故， 在中，由正弦定理得，即 ，故， 因为， 所以. 在中，， 由正弦定理可得，，解得． 在中，， 由余弦定理可得，解得， 所以二桥的长度是2千米. 【小问2详解】 由（1）知扇形所在区域半径，圆心角. 如图，取线段的中点，连接交于，连接． 设. 根据垂径定理可知，故． 在中，由得，， 所以， 则矩形的面积， 由得， 所以当，即时，公园面积的最大值为平方千米． 19. 对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． （1）已知的定义域为，且的图象关于直线对称．证明：若为型函数． （2）若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据型函数的定义，结合函数奇偶性的判断方法即可证明； （2）① 设，由为型函数可得，由此推出，即得，故得证；② 先将题设不等式转化成，通过化简，利用换元，将其化成关于的二次函数，即可求其值域，得到参数范围. 【小问1详解】 若关于对称，所以， 即， 故为偶函数，即为型函数． 【小问2详解】 ① 设， 则为奇函数，即在R上恒成立； 由 ， 则，即， 因为，所以． ② 由①知，，则不等式化为： ，则. 因 , 令，则，， 故当时，取到最小值，所以． 故a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $