第02讲 二次函数的图象 （知识清单+4大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02讲 二次函数的图象 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 y=ax²的图象和性质 题型二 y=ax²+k的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 知识清单 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 题型方法 【题型一】y=ax²的图象和性质 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数中二次项系数的正负决定图象开口方向是解题的关键． 根据二次函数解析式得到二次项系数，由此即可求解． 【详解】解：二次函数中，， ∴二次函数图象开口向上， 故选：C ． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，先作出函数的图象，再根据函数的性质求解． 【详解】解：二次函数图象如下图所示： A、，则，故A是错误的； B、当时，，故B是正确的； C、若，如图所示：则，故C是正确的； D、∵，， ∵， ∴， 故D是正确的； 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向 ． 【答案】向上 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解答的关键．直接根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴开口向上， 故答案为：向上． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一元一次不等式的解集、y=ax²的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次项的系数小于，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （3）根据函数图象开口向上，可得二次项系数大于，同时二次项的次数须满足，解之即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：； （2）解：由题意可得： ， 解得：； （3）解：由题意可得： ， 解得：． 【题型二】y=ax²+k的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式特征是关键． 对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【举一反三】 1．（2023·福建三明·一模）已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先分别求出，，的值，比较即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线过，，三点， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的增减性．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为轴，图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，据此求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为轴，开口向上， 可知，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）． （1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　． （2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标. （3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点． ①请在方格图中画出点Q所在函数的图象. ②求点Q所在函数图象的表达式． 【答案】（1）（﹣1，﹣2），（1，4）；（2）点M坐标（7，5）；（3）①图象见解析；② 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】(1)由变换点坐标可求解； (2)分1−m>0，1−m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标； (3)①求出x≥0，x<0时的解析式，即可画出图象；②由①可求解. 【详解】（1）∵1>0 ∴(1,2)的变换点为(−1,−2) ∵−1<0 ∴(−1,−2)的变换点为(1,4) 故答案为：(−1,−2),(1,4) （2）当m﹣1＞0时，点M的变换点为（1﹣m，﹣5） ∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8 ∴点M（7，5）        当m﹣1≤0时，点M的变换点（1﹣m，﹣3），∴1﹣m+2＝﹣3 ∴m＝6（不合题意舍去） ∴点M坐标（7，5） （3）①设点P（x，y） 当x≤0时，点Q（﹣x，﹣y+2），即﹣x≥0， ∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2 ∴﹣y+2＝（﹣x）2﹣2 ∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2  （x≥0） 当x＞0时，点Q（﹣x，﹣y），即﹣x＜0 ∵y＝﹣x2+4 ∴﹣y＝x2﹣4＝（﹣x）2﹣4 点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4（x＜0） 由函数解析式可得图象如下： ②由①可得 【点睛】本题考查直角坐标系中点的变换，以及画抛物线图像，理解变换方式并进行分类讨论是解题的关键. 【题型三】y=a（x-h）²的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．从解析式可知，则开口即可判断，对称轴为直线，顶点坐标为，则即可判断最值，以及增减性． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据的顶点坐标为，进行判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 【题型四】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，的对称轴是直线．根据顶点式二次函数的解析式，可得二次函数的对称轴，可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则， ，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把，，三点分别代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ，，， ∴； 故选A． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解答此题的关键． 直接根据二次函数的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时， 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意可设二次函数式为，化简即可得出答案； （2）根据二次函数的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴设该二次函数式为，化简得， ∴，； （2）解：由题意得，对称轴， ∵， ∴当时，，；，， 即当时，． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线顶点坐标是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】为抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为. 故选B． 【点睛】考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 2．二次函数ｙ＝（2x－1）2＋2的顶点的坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，－2） C．（，2） D．（－，－2） 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】试题分析：二次函数ｙ＝（2ｘ－1）＋2即的顶点坐标为（，2） 考点：二次函数 点评：本题考查二次函数的顶点坐标，考生要掌握二次函数的顶点式与其顶点坐标的关系 3．二次函数的图象上的最低点坐标是（ ） A．（1，-3） B．（-1，3） C．（-1，-3） D．（1，3） 【答案】C 【详解】试题分析：根据二次函数的开口方向及顶点坐标即可求得结果. ∵，二次函数的图象的顶点坐标为（-1，-3） ∴二次函数的图象上的最低点坐标是（-1，-3） 故选C. 考点：二次函数的性质 点评：本题是二次函数的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（    ） A．它的图象经过点（－1，－2） B．它的图象的对称轴是直线x＝2 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】直接利用二次函数的性质分别判断得出答案． 【详解】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意； 二次函数y=2x2的图象的对称轴是直线 y轴，故选项B不合题意； 当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意； 二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的增减性是解题关键． 5．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象、y=ax²+k的图象和性质 【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项. 【详解】解：当a>o时，函数的图象位于一、三象限，的开口向下，交y轴的负半轴，选项B符合； 当a<o时，函数的图象位于二、四象限，的开口向上，交y轴的正半轴，没有符合的选项. 故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键. 6．二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣4，3） B．（﹣2，﹣3） C．（4，3） D．（2，3） 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：∵y＝﹣（x﹣4）2+3， ∴此函数的顶点坐标为（4，3）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x=h． 7．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】解：∵， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，-7），当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴A、B、D都不正确，C正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 8．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 【答案】D 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数图象及性质，即可判定． 【详解】∵抛物线y＝x2+3开口向上，在其图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2， ∴|x1|＜|x2|， ∴0≤x1＜x2，或x2＜x1≤0，或x2<x1≤0或0< -x1<x2或0<x1< -x2, 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握和运用二次函数的图象及性质是解决本题的关键． 9．对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是x=-3 C．当x>-4 时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为(-2，-3) 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据抛物线的性质由a=-2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y 随 x的增大而减小． 【详解】解：二次函数y=-2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（-3，0），对称轴为直线x=-3，当x>-3时，y随x的增大而减小， 故B正确，A、C、D不正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下． 10．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，.，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为(　　) A． B． C．4 D．3 【答案】B 【知识点】四边形其他综合问题、根据菱形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a，，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； 【详解】解：连接PM、PN． ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°， ∴∠APC=120°，∠EPB=60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点， ∴∠MPN=60°+30°=90°， 设PA=2a，则PB=8-2a，PM=a，， ∴ ， ∴当 时，点M，N之间的距离最短，最短距离为 ， 故选：B； 【点睛】本题主要考查了考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题． 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】利用二次函数解析式中的顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标为（h，k），即可得出． 【详解】解：的顶点坐标为（3，7）． 故答案为：（3，7）． 【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键． 12．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞n＞0，则开口向上的抛物线是 ，开口较大的抛物线是 ． 【答案】 y＝nx2； y＝nx2 【分析】根据y＝ax2的图像可知，a0，可判断开口方向;y＝ax2中的绝对值越大，开口越大即可判断. 【详解】根据－mn0知n0，则抛物线y＝nx2开口向上，且,故开口较大的抛物线是y＝nx2. 【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键. 13．点在二次函数的图象上，则 ，点A关于x轴的对称点B的坐标是 ，点A关于y轴的对称点C的坐标是 ，B，C两点中在抛物线上的点是 ． 【答案】 点C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把点代入中，进行计算可求出的值，再根据关于轴、轴对称的点的坐标特征，以及抛物线的对称轴是轴，即可解答． 【详解】解：把点代入中得： ， 点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标是，点关于轴的对称点的坐标是， 抛物线的对称轴是轴，点与点关于轴对称， ，两点中在抛物线上的点是点， 故答案为：；；；点． 14．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式. 【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2）， ∴a＜0，c=2， ∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）． 故答案为y=-x2+2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键. 15．已知点A（，5），B（，5），（≠）都在抛物线y=上，则+= ，当x=时，y= ． 【答案】 4 3 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【详解】试题分析：直接利用二次函数对称轴求法以及结合二次函数的对称性得出其对称轴以及y的值．∵点A（，5），B（，5），（≠）都在抛物线y=上，∴=2，∴+=4，当x=时，即x=，故y=3． 故答案为4；3． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 16．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、一次函数的规律探究问题 【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标． 【详解】解：∵点坐标为， ∴直线为，， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴， ∵， ∴直线为， 解得或， ∴， ∴ …， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 三、解答题 17．请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同． 【答案】如与，与（答案不唯一，符合题意即可） 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数对称轴和开口方向的决定因素写出即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为y轴， ∴符合的形式， ∵开口方向相同， ∴的符号相同， ∴如与，与（答案不唯一，符合题意即可）． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，掌握二次函数系数与图象之间的关系是解题关键． 18．已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)点不在这个函数图像上； (3)和． 【知识点】用描点法画函数图象、y=ax²的图象和性质 【分析】（1）根据对称性可直接画出图象； （2）代入横坐标或纵坐标都可判断； （3）代入即可求出坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）当时， ， ∴点不在这个函数图象上； （3）当时， ， ∴， ∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想． 19．根据下列条件分别求a的取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝有最大值； (3)抛物线与的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线． 【答案】(1) ； (2) ； (3) 或 ； (4) ． 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案； （2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0； （3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数； （4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得 ． （2）由题意得 ， 解得 ． （3）由题意得 或 ， 解得 或 ； （4）函数土象开口向上 ． 【点睛】本题考查了二次函数图象得性质，解决本题的关键是根据二次函数图象性质求解． 20．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【知识点】y=ax²的图象和性质、y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【详解】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 21．已知 是二次函数，且函数图象有最高点． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少． 【答案】（1）k=﹣3；（2）当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少． 【知识点】y=ax²的图象和性质 【详解】试题分析：（1）根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值； （2）利用（1）中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2（a≠0）的二次函数顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴即可得出答案． 试题解析：解：（1）∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3； （2）当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少． 22．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 【答案】（1）（﹣1，2）；（2）x＞﹣1（或x≥﹣1）；（3）3. 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）根据二次函数顶点式的形式解答即可；（2）根据二次函数的性质，图像的开口方向及对称轴解答即可；（3）先求出A、B、C三点坐标，再求出AB的距离，即可求出△ABC的面积； 【详解】（1）二次函数y=﹣ +2的顶点坐标是（﹣1，2）． 故答案是：（﹣1，2）； （2）因为二次函数y=﹣+2的开口方向向下，且对称轴是直线x=﹣1， 所以当x＞﹣1（或x≥﹣1）时，函数y的值随x的增大而减小． 故答案是：x＞﹣1（或x≥﹣1）； （3）令x=0时，易求： y=， ∴点C的坐标为（0，）即：OC= 令y=0时，易求：x1=1，x2=﹣3 易求：AB=4． ∴=3． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、函数的增减性是解题关键. 23．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2) 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】(1)把B(1,1)代入得，从而得到抛物线解析式； (2)先根据待定系数法求直线AB的解析式，再联立直线和抛物线解析式解方程组，求出C 的坐标，然后求出，再根据二次函数图象上点的坐标特征，可设，利用三角形面积公式，解出t的值即可得到D点坐标． 【详解】（1）把代入得：， ∴抛物线解析式为； （2）设直线AB的函数解析式为， 把，代入得：，， ∴直线AB的解析式为， 将与联立得： 或， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了待定系数法求一次函数解析式． 24．探究函数的图象与性质 (1)函数的自变量x的取值范围是___； (2)下列四个函数图象中,函数的图象大致是___； A．  B．  C．  D． (3)对于函数，求当时，y的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵x>0 ∴ = ∵ ∴y=____. 【拓展应用】 (4)若函数，求y的取值范围. 【答案】（1）x≠0；（2）C；（3）2，4；（4）y⩾7. 【知识点】根据一次函数的定义求参数、y=ax²+k的图象和性质 【分析】（1）根据分母不能等于零，可以解答本题； （2）根据函数解析式可以判断函数图象所在的位置，本题得以解决； （3）根据题目中的解答过程可以将没写的补充完整； （4）根据（3）的特点可以解答本题． 【详解】(1)∵， ∴x≠0， 故答案为x≠0； (2)∵， ∴x>0时，y>0， 当x<0时，y<0，故选项B. D错误， ∵x≠0， ∴选项A错误， 故选C； (3)∵x>0 ∴ ∵， ∴y⩾4， 故答案为2，4； (4) =x+5+=(x+)+5⩾7， 故答案为y⩾7. 【点睛】此题考查二次函数的性质，一次函数图象与系数的关系，二次函数的图象，解题关键在于掌握运算法则利用二次函数的性质进行解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 y=ax²的图象和性质 题型二 y=ax²+k的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 知识清单 知识点1：二次函数y=ax2(a≠0)的图象 用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 知识点2：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法 在平面直角坐标系xOy中，按照下列步骤画二次函数的图像． （1）列表：取自变量x的一些值，计算相应的函数值y，如下表所示： x … -2 -1 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … 1 2 3 4 1 2 3 4 x y x y O O 1 2 1 2 -2 -1 -2 -1 图1 图2 （2）描点：分别以所取的x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，如图1所示． （3）连线：用光滑的曲线把所描出的这些点顺次联结起来，得到函数的图像，如图2所示． 要点诠释： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象． 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 知识点3：二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质 二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表： 函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值 y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0 y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0 要点诠释： 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同. │a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，�图象两边越靠近x轴. 题型方法 【题型一】y=ax²的图象和性质 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）二次函数图象上有三个动点、、，下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．无论取何值，都有 2．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）根据下列条件求的取值范围： (1)函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； (2)函数有最大值； (3)函数的图象是开口向上的抛物线． 【题型二】y=ax²+k的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023·福建三明·一模）已知抛物线过，，三点，则，，大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ． 3．（九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）． （1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　． （2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标. （3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点． ①请在方格图中画出点Q所在函数的图象. ②求点Q所在函数图象的表达式． 【题型三】y=a（x-h）²的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值0 D．当时，随的增大而减小 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【题型四】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【例4】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若二次函数的图象经过，，三点，则， ，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期末）二次函数的顶点坐标为 ． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线顶点坐标是 A． B． C． D． 2．二次函数ｙ＝（2x－1）2＋2的顶点的坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，－2） C．（，2） D．（－，－2） 3．二次函数的图象上的最低点坐标是（ ） A．（1，-3） B．（-1，3） C．（-1，-3） D．（1，3） 4．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（    ） A．它的图象经过点（－1，－2） B．它的图象的对称轴是直线x＝2 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当－12时，y有最大值为8，最小值为0 5．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（  ） A． B． C． D． 6．二次函数y＝﹣（x﹣4）2+3图象的顶点坐标是（　　） A．（﹣4，3） B．（﹣2，﹣3） C．（4，3） D．（2，3） 7．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 8．抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是(   ) A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0 C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对 9．对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ) A．开口向上 B．对称轴是x=-3 C．当x>-4 时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为(-2，-3) 10．如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，.，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为(　　) A． B． C．4 D．3 二、填空题 11．抛物线的顶点坐标为 ． 12．在抛物线y＝mx2与抛物线y＝nx2中，若－m＞n＞0，则开口向上的抛物线是 ，开口较大的抛物线是 ． 13．点在二次函数的图象上，则 ，点A关于x轴的对称点B的坐标是 ，点A关于y轴的对称点C的坐标是 ，B，C两点中在抛物线上的点是 ． 14．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是 ． 15．已知点A（，5），B（，5），（≠）都在抛物线y=上，则+= ，当x=时，y= ． 16．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为 ． 三、解答题 17．请写出两个二次函数的表达式，要求这两个函数图象的对称轴为y轴，开口方向相同． 18．已知二次函数，解答下列问题： (1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． (2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由． (3)求当时对应的函数图象上的点的坐标． 19．根据下列条件分别求a的取值范围． (1)函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； (2)函数y＝有最大值； (3)抛物线与的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线． 20．将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 21．已知 是二次函数，且函数图象有最高点． （1）求k的值； （2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少． 22．已知二次函数y=﹣(x+1)2+2． （1）填空：此函数图象的顶点坐标是　 　； （2）当x　 　时，函数y的值随x的增大而减小； （3）设此函数图象与x轴的交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC及BC，试求△ABC的面积． 23．如图，直线l过x轴上一点，且与抛物线相交于B、C两点．B点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线上有一点D（在第一象限内），使得，求点D的坐标． 24．探究函数的图象与性质 (1)函数的自变量x的取值范围是___； (2)下列四个函数图象中,函数的图象大致是___； A．  B．  C．  D． (3)对于函数，求当时，y的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵x>0 ∴ = ∵ ∴y=____. 【拓展应用】 (4)若函数，求y的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$