第02讲 二次函数的图象 （4个知识点+4种经典题型+习题试卷）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02讲 二次函数的图象 （4个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例1】（2022秋•余姚市校级期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是　　 A．开口向下 B．当时，有最大值是2 C．对称轴是直线 D．顶点坐标是 【变式1】（2023•拱墅区模拟）二次函数和一次函数是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•浙江月考）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是　　 【变式3】（2023秋•余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数的图象． 知识点2．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【例2】（2024•椒江区校级模拟）对于二次函数，当时，随的增大而增大，则满足条件的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•温州期末）已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2021秋•鄞州区校级月考）小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确的信息是 　　（只填序号） 【变式3】（2022•瓯海区校级自主招生）已知二次函数． （1）若函数在区间，上存在零点，求实数的取值范围； （2）是否存在常数，当，时，的值域为区间，且的长度为． 知识点3．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 【例3】（2023秋•西湖区校级月考）已知，，，两点都在抛物线上，那么　　． 【变式1】（2024•宁波模拟）已知抛物线为常数）经过点，，，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•镇海区校级模拟）已知二次函数的图象上有两点，，，，且，则与的大小关系是 　　． 【变式3】（2022秋•柯城区期末）如图，点，都在二次函数的图象上． （1）求，的值． （2）若二次函数的图象经过点，，，，比较，，的大小，并简述理由． 知识点4．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【例4】（2021秋•黄石港区期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021秋•柯桥区期末）如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是　　 A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位 【变式2】（2023•西陵区模拟）抛物线的函数表达式为，若将轴向下平移1个单位长度，将轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 　　． 【变式3】（2022•鹿城区二模）如图，已知二次函数的图象经过点，交轴于点． （1）求的值． （2）延长至点，使得．若将该抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后的抛物线恰好经过，两点，已知，，求，的值． 经典题型汇编 题型一.y=ax²+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 题型二.y=a（x-h）²的图象和性质 4．（23-24九年级上·浙江·阶段练习），，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（21-22九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   题型三.y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的对称轴是 ． 9．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 (1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． (2)当___________时， 随的增大而减小． (3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 题型四.y=ax²的图象和性质 10．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）若函数的图象经过点，则n的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 11．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 12．（20-21九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知函数与的图象交点的横坐标为－1，求a的值． 练习试卷 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江金华·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，那么这个二次函数的图象有(　　) A．最高点 B．最低点 C．最高点 D．最低点 4．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 5．（九年级上·浙江金华·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（    ） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的最小值是 ． 12．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数图象的顶点坐标是 ． 13．（23-24九年级上·浙江台州·期中）抛物线的开口方向是 ． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点在二次函数的图象上，则的最小值为 ． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）若均在二次函数图象上，则 （填“>”“=”“<”）． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 18．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 三、解答题 19．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 20．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知． (1)求S与t的函数关系式； (2)当时，求S的值； (3)求S的最大值或最小值． 21．（2020·浙江杭州·一模）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 22．（21-22九年级上·浙江台州·期末）二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 5 0 -3 -4 -3 0 5 ··· （1）求这个二次函数的解析式； （2）当x>3时，求y的取值范围． 23．（九年级·全国·单元测试）对于二次函数． 它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？ 当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？ 24．（2020·浙江·一模）在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上不重合的两点，点，直线的比例系数互为相反数． （1）若点P的坐标为，求a的值． （2）在（1）的条件下，求点Q的坐标． （3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 25．（九年级上·浙江温州·期末）如图直角坐标系中，O为坐标原点，，，二次函数的图像经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作垂足为H，交OB于点Q． （1）求b，c的值； （2）当时，求点P的坐标； （3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点Р的坐标． 26．（九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）． （1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　． （2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标. （3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点． ①请在方格图中画出点Q所在函数的图象. ②求点Q所在函数图象的表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象 （4个知识点+4种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例1】（2022秋•余姚市校级期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是　　 A．开口向下 B．当时，有最大值是2 C．对称轴是直线 D．顶点坐标是 【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【解答】解：二次函数的图象的开口向上，故错误； 当时，函数有最小值2，故错误； 对称轴为直线，故错误； 顶点坐标为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． 【变式1】（2023•拱墅区模拟）二次函数和一次函数是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】分别根据选项中二次函数的开口方向判断的正负，然后根据的正负判断对称轴的位置以及一次函数图象经过的象限即可得出答案． 【解答】解：：根据图象可得二次函数开口向上，则，此时一次函数的图象经过一三四象限，而图中是经过一次函数图象是经过一二四象限，故选项不符合题意； ：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在轴的右边，图象符合要求，此时此时一次函数的图象经过一三四现象，图中所给符合要求，故选项符合题意； ：根据图象可得二次函数开口向上，则，对称轴，对称轴在轴的右边，而图中所给对称轴在轴左边，故选项不符合题意； ：根据图象可得二次函数开口向下，则，当时，一次函数的图象经过一二四象限，图中所给是经过一三四象限，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数与一次函数的图象，解题关键是判断的正负以及一次函数经过的象限． 【变式2】（2023秋•浙江月考）如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是　　 【分析】根据图示知，抛物线的图象经过，所以将点代入方程，利用待定系数法求二次函数解析式． 【解答】解：根据图示知，二次函数的图象经过原点， ， 解得，； 又该函数图象的开口方向向下， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来解答问题． 【变式3】（2023秋•余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数的图象． 【分析】根据图象平移的规律，可得答案． 【解答】解：答案如图 ． 【点评】本题考查了二次函数图象，利用图象平移的规律：左加右减，上加下减． 知识点2．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 【例2】（2024•椒江区校级模拟）对于二次函数，当时，随的增大而增大，则满足条件的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】可先求得抛物线的对称轴和开口方向，再由条件可求得关于的不等式，可求得答案． 【解答】解：二次函数， ，对称轴为直线， 抛物线开口向下， 在对称轴左侧随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ，解得， 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 【变式1】（2023秋•温州期末）已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由开口向下，可得，由抛物线与轴交于正半轴，可得，又由对称轴在轴右侧，即可得，异号，继而求得答案． 【解答】解：开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴在轴右侧， ，异号， 即， ， 点在第二象限． 故选：． 【点评】此题考查了二次函数系数与图象的关系．注意二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线确定的． 【变式2】（2021秋•鄞州区校级月考）小明从二次函数的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确的信息是 　①②③⑤　（只填序号） 【分析】由开口向上得，由对称轴在轴右侧得，由函数图象与轴的交点在轴负半轴上得，然后得到，由图象可知当时，，可求得的正负，再由对称轴为求得与的数量关系，最后求得的正负． 【解答】解：开口向上， ， 对称轴为， ，， ， ，故④错误，不符合题意； 函数图象与轴的交点在轴负半轴上， ，故①正确，符合题意； ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； ， ，故⑤正确，符合题意， 故答案为：①②③⑤． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是学会由函数图象得到、、的正负． 【变式3】（2022•瓯海区校级自主招生）已知二次函数． （1）若函数在区间，上存在零点，求实数的取值范围； （2）是否存在常数，当，时，的值域为区间，且的长度为． 【分析】（1）由二次函数的单调性易得，解关于的不等式组即可； （2）分三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是列方程，分别求解即可． 【解答】解：（1）函数的对称轴是直线， 在区间，上是减函数， 函数在区间，上存在零点， 则有， 即， 解得， 实数的取值范围是：； （2），在区间，上是减函数，在区间，上是增函数，且对称轴是直线， ①当时，在区间，上，最大，（8）最小， （8），即， 解得， ， ； ②当时，在区间，上，最大，（8）最小， （8）， 解得； ③当时，在区间，上，最大，最小， ，即，解得或9， ． 综上所述，存在常数，8，9满足条件． 【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，正确的分类是解答该题的关键． 知识点3．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 【例3】（2023秋•西湖区校级月考）已知，，，两点都在抛物线上，那么　3　． 【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到，解得． 【解答】解：，，，两点都在抛物线上， 、关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键． 【变式1】（2024•宁波模拟）已知抛物线为常数）经过点，，，当时，的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出，再令，则有即，此时方程两根为、，，，，所以，根据题意列出不等式组解答即可． 【解答】解：点在抛物线图象上， ， ， 令，则有即，此时方程两根为、，， ，， ， ， ， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 【变式2】（2024•镇海区校级模拟）已知二次函数的图象上有两点，，，，且，则与的大小关系是 　　． 【分析】求出二次函数的对称轴为直线，然后判断出、距离对称轴的大小，即可判断与的大小． 【解答】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ，且， ， ， ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，判断出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离是解题的关键． 【变式3】（2022秋•柯城区期末）如图，点，都在二次函数的图象上． （1）求，的值． （2）若二次函数的图象经过点，，，，比较，，的大小，并简述理由． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得抛物线的对称轴，利用二次函数图象的性质和抛物线上点的坐标的特征解答即可得出结论． 【解答】解：（1）点，都在二次函数的图象上． ， 解得：， ，； （2），， ， 对称轴为直线， ，在对称轴的右侧随的增大而增大， 关于对称轴的对称点，关于对称轴的对称点， ， ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键． 知识点4．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【例4】（2021秋•黄石港区期中）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式． 【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为， 平移后抛物线的顶点为， 新抛物线解析式为， 故选：． 【点评】考查二次函数的几何变换；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数；得多新抛物线的顶点是解决本题的突破点． 【变式1】（2021秋•柯桥区期末）如果将抛物线平移，使平移后的抛物线与抛物线重合，那么它平移的过程可以是　　 A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位 【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 顶点由到需要向右平移4个单位再向下平移5个单位． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便． 【变式2】（2023•西陵区模拟）抛物线的函数表达式为，若将轴向下平移1个单位长度，将轴向左平移2个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 　　． 【分析】此题可以转化为求将抛物线“向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【解答】解：根据题意知，将抛物线向下平移1个单位长度，再向右移2个单位长度所得抛物线解析式为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 【变式3】（2022•鹿城区二模）如图，已知二次函数的图象经过点，交轴于点． （1）求的值． （2）延长至点，使得．若将该抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后的抛物线恰好经过，两点，已知，，求，的值． 【分析】（1）根据待定系数法可求的值； （2）根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴为直线，可得，再根据待定系数法可求的值． 【解答】解：（1）由知，． ， ， 解得． 故的值是2； （2），， 且轴． ， ， ． 根据和确定线段的中点坐标为，， 根据抛物线的轴对称，得平移后的抛物线的对称轴为直线． ， 设平移后的抛物线表达式为， 把代入得：， 解得． 故的值是，的值是． 【点评】本题考查二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法，二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.y=ax²+k的图象和性质 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知点，在抛物线上，且，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次函数的图象和性质即可分析得出当时，随的增大而减小，结合题意即可得出答案． 【详解】解：∵， 故，抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 题型二.y=a（x-h）²的图象和性质 4．（23-24九年级上·浙江·阶段练习），，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性．掌握增减性的影响因素是解题关键．根据二次函数的开口方向和对称轴即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为：直线， 点在对称轴左侧，距离对称轴1个单位长度； 点为顶点； 点在对称轴右侧，距离对称轴3个单位长度． 因为二次函数的开口向下，故离对称轴越远的点纵坐标越小 故， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵直线的图象与函数的图象分别交于点， A、若，如图所示，    则，故A选项不合题意； B．若，如图所示，      则或故B选项不合题意， C．若，如图所示，    ∴，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 6．（21-22九年级上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，求的面积．   【答案】1 【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积． 【详解】解：∵二次函数 ∴顶点 ∵点在图像上且在轴上，即时的坐标 ∴ ∴ ∴的面积 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键． 题型三.y=a（x-h）²+k的图象和性质 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了顶点式顶点坐标为，根据顶点式的坐标特点写出顶点坐标即可，熟练掌握顶点式的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查二次函数的性质．根据抛物线解析式，可以直接写出该抛物线的对称轴． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 9．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数 (1)填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________． (2)当___________时， 随的增大而减小． (3)以轴为对称轴，将拋物线进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解析式． 【答案】(1)向下， (2) (3) 【分析】（1）直接根据抛物线的顶点坐标式直接写出函数图象的开口方向，对称轴； （2）根据二次函数的性质得出结论； （3）根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：函数图象的开口向下，对称轴为直线； 故答案为：向下，； （2）解：当时，随的增大而减小； 故答案为：； （3）解：将抛物线沿轴进行轴对称变换，得到的新抛物线的解析式是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象变换的知识，解答本题的关键是记住抛物线顶点坐标式及正确的理解题意． 题型四.y=ax²的图象和性质 10．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）若函数的图象经过点，则n的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的点坐标．熟练掌握二次函数图象上的点坐标满足二次函数表达式是解题的关键． 将代入，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 故选：A． 11．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质， 根据二次函数的性质可得：越大，开口越小，越小，开口越大进行求解， 【详解】解：当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 综上，a的取值范围是或， 故答案为：或． 12．（20-21九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知函数与的图象交点的横坐标为－1，求a的值． 【答案】3 【分析】根据交点横坐标，代入中，可得交点纵坐标，再代入中计算可得． 【详解】解：将x=-1代入中， 得：y=3， ∴（-1，3）在图像上， 则有， 解得：a=3． 【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数图像上的点，掌握图像上的点满足函数关系式是解题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江金华·期中）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标，抛物线的顶点坐标是，由公式可直接得到答案，解题的关键是掌握抛物线的顶点式与顶点坐标． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据，得出抛物线开口向上，即可求解． 【详解】解：抛物线中，， 抛物线开口向上， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，那么这个二次函数的图象有(　　) A．最高点 B．最低点 C．最高点 D．最低点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象和最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最高点，并写出最高点的坐标即可． 【详解】解：在二次函数，中，， ∴这个二次函数的图象有最高点 故选：． 4．（23-24九年级上·浙江金华·期末）下列二次函数中，图象的形状与二次函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像的形状与二次项系数的关系，熟悉二次项系数对图像形状的影响是解题关键．根据题意可知，两个二次函数的图像形状相同，那么它们的二次项系数相等，由此即可解题． 【详解】解：图像的形状与二次函数相同， 二次项系数为， 故选：A． 5．（九年级上·浙江金华·阶段练习）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．对称轴是直线 B．开口向下 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标 【答案】D 【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与轴交点个数，则可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∴A、B不正确，D正确， ∵抛物线开口向上，最小值为1， ∴抛物线与x轴没有交点， ∴C不正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江台州·期末）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，由解析式即可直接求解，掌握二次函数是二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 7．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）定义：给定关于x的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为增函数． 根据以上定义，下列函数中①；②；③；④，是增函数的（    ） A．①③④ B．①② C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数、二次函数，掌握各种函数的性质是解题的关键．根据一次函数、二次函数的性质进行分析即可得到答案． 【详解】解：由新定义可得： ，， ∴①是增函数； ，， ∴②不是增函数； ，是增函数， ∴③是增函数； ，是方程，不是函数， ∴④不是增函数． 故选D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点， 故选：． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 二、填空题 11．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）二次函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式即可得到答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的最值：对于二次函数，当时，当时，有最小值；当时，当时，有最大值． 12．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，根据二次函数的图象和性质可直接得出答案 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·浙江台州·期中）抛物线的开口方向是 ． 【答案】向下 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据的符号，判断开口方向即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口方向是向下； 故答案为：向下． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意得出对称轴，开口向上的抛物线，离对称轴越远的点，其纵坐标越大，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， 且抛物线开口向上， ∴ 故答案为： 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点在二次函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】把点代入可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）若均在二次函数图象上，则 （填“>”“=”“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由函数可知则抛物线的对称轴为轴，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小， ，均在对称轴的左侧， ， ． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的增减性是由对称轴和开口方向确定的，确定开口方向和对称轴是关键．根据顶点式可求对称轴，再结合开口方向判断增减性． 【详解】解：根据二次函数解析式为， 可知对称轴是直线， 又，抛物线开口向上， 所以，当时，y随x的增大而减小． 故答案为：减小． 18．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线与的对称轴都是直线，且开口方向都向下，则这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线与是“同向共轴抛物线”，且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，据此及可求解． 【详解】解：由题得抛物线的顶点为，抛物线的对称轴为直线 两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度， 的顶点为或，且 ∴该抛物线的解析式为或． 故答案为：或 三、解答题 19．（2022九年级上·全国·专题练习）说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3) 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】二次函数通过配方可以化为顶点式，即y=a(x－h)2+k，其中a决定了抛物线的开口方向，对称轴是x=h，顶点坐标是(h，k)；根据所给出的三个函数解析式，对照以上规律确定答案． 【详解】（1）开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，0)． （2）开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，-7)． （3）开口向上，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3，6) 【点睛】本题考查根据函数的表达式确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数的“顶点式”以及各个系数与抛物线的关系． 20．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知． (1)求S与t的函数关系式； (2)当时，求S的值； (3)求S的最大值或最小值． 【答案】(1) (2)25 (3)S有最小值-11 【分析】（1）将x和y的表达式代入S的表达式即可； （2）将代入（1）中得到的函数表达式求解即可； （3）将（1）中的函数表达式化为顶点式即可解答． 【详解】（1）解：将代入得： ， ∴S与t的函数关系式为：． （2）将代入得：， ∴当时． （3）， ∴当时，函数S有最小值-11． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将函数表达式化为顶点式，得出函数的最值． 21．（2020·浙江杭州·一模）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形． （1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点； （2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可； （2）从开口大小和增减性两个方面作答即可. 【详解】（1）解：如图：   ， 与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴， 与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样； 不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键. 22．（21-22九年级上·浙江台州·期末）二次函数图像上部分点的横坐标x与对应纵坐标y的值如下表： x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 5 0 -3 -4 -3 0 5 ··· （1）求这个二次函数的解析式； （2）当x>3时，求y的取值范围． 【答案】（1）y=（x+1）2-4；（2）当x>3时，y>12． 【分析】（1）根据表格的特点可找到函数的顶点，设函数的顶点式，再代入一点即可求解． （2）根据函数的图像与性质即可求解． 【详解】（1）由表格中函数值的对称性可得函数的顶点为（-1，-4） 设函数为y=a（x+1）2-4 代入（1，0）得0=4a-4 解得a=1 ∴函数为y=（x+1）2-4 （2）∵函数的对称轴为x=-1，a=1＞0 故当x＞3时，y随x增大而增大 当x=3时，y=16-4=12 ∴当x>3时，y>12． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用． 23．（九年级·全国·单元测试）对于二次函数． 它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？ 当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？ 【答案】(1)见解析；（2）见解析. 【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴； （2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性． 【详解】将的图象向左平移个单位可以得到的图象， ∵， ∴抛物线开口向下， 它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是； ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握． 24．（2020·浙江·一模）在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线上不重合的两点，点，直线的比例系数互为相反数． （1）若点P的坐标为，求a的值． （2）在（1）的条件下，求点Q的坐标． （3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）是，；理由见详解． 【分析】（1）根据题意可直接利用待定系数法进行求解即可； （2）设直线的表达式为，然后根据（1）及题意可求解直线PM的解析式，则由直线的比例系数互为相反数，进而求解问题即可； （3）设点Q的坐标为，则有点P的坐标为，设直线的表达式为，则直线的表达式为，然后联立函数表达式，进而可根据题意求解即可． 【详解】（1）由题意得：，解得； （2）设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∵直线的比例系数互为相反数， ∴直线的表达式为， ∴，解得， ∴点Q的坐标为； （3）是定值；理由如下： 设点Q的坐标为， ∵点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍， ∴点P的坐标为， 再设直线的表达式为，则直线的表达式为， ∴，两式相减，得， ∴， ∴直线的表达式为， 把代入，解得， ∴点P与点Q的纵坐标的差为． 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题的关键． 25．（九年级上·浙江温州·期末）如图直角坐标系中，O为坐标原点，，，二次函数的图像经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作垂足为H，交OB于点Q． （1）求b，c的值； （2）当时，求点P的坐标； （3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点Р的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）把，两点坐标代入二次函数，化简计算即可； （2）设，根据，利用相似比，化简计算即可； （3）当面积是四边形AOQH面积的2倍时，则有，将设代入化简即可. 【详解】（1）把，代入， 则有 解之得：． （2）设 ∵， ∴ ∴，∴，得（取正值）， ∴ ∴ （3）当的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，由三角形面积公式可得：，由（2）可知 ∴， 得：，， ∴或 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，熟悉相关性质定理，是解题的关键. 26．（九年级上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）． （1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　． （2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标. （3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点． ①请在方格图中画出点Q所在函数的图象. ②求点Q所在函数图象的表达式． 【答案】（1）（﹣1，﹣2），（1，4）；（2）点M坐标（7，5）；（3）①图象见解析；② 【分析】(1)由变换点坐标可求解； (2)分1−m>0，1−m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标； (3)①求出x≥0，x<0时的解析式，即可画出图象；②由①可求解. 【详解】（1）∵1>0 ∴(1,2)的变换点为(−1,−2) ∵−1<0 ∴(−1,−2)的变换点为(1,4) 故答案为：(−1,−2),(1,4) （2）当m﹣1＞0时，点M的变换点为（1﹣m，﹣5） ∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8 ∴点M（7，5）        当m﹣1≤0时，点M的变换点（1﹣m，﹣3），∴1﹣m+2＝﹣3 ∴m＝6（不合题意舍去） ∴点M坐标（7，5） （3）①设点P（x，y） 当x≤0时，点Q（﹣x，﹣y+2），即﹣x≥0， ∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2 ∴﹣y+2＝（﹣x）2﹣2 ∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2  （x≥0） 当x＞0时，点Q（﹣x，﹣y），即﹣x＜0 ∵y＝﹣x2+4 ∴﹣y＝x2﹣4＝（﹣x）2﹣4 点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4（x＜0） 由函数解析式可得图象如下： ②由①可得 【点睛】本题考查直角坐标系中点的变换，以及画抛物线图像，理解变换方式并进行分类讨论是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$