第03讲 用一元二次方程解决问题（知识清单+7大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第03讲 用一元二次方程解决问题（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 其他问题(一元二次方程的应用) 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．每轮传染中平均每头患病猪传染了 头健康猪． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）11月28日起江苏省正式上线购买手机最高补贴的优惠活动，某品牌手机店为响应政府优惠政策，进行了两次降价，由3999元降为3399元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是 ． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）某商城在2023年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元． (1)商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； (2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． (1)尝试：前15行的点数之和为 ； (2)思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； (3)拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 3．（九年级上·江苏苏州·期中）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　） A． B． C． D． 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例5】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 2．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为 ． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例6】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点A出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．设运动时间为，当时，时间 ． 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【题型七】其他问题(一元二次方程的应用) 【例7】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）杭州亚运会男子篮球赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场．设有个球队参赛，根据题意，可列方程为(   ) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 好题必刷 一、单选题 1．（九年级上·江苏宿迁·期末）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 2．（23-24九年级上·江苏·期中）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）2022年底江苏省基站数量约万座，计划2024年年底全省基站数量将达到万座，若全省基站数量的平均每年的增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 二、填空题 11．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，则共有 个班参赛． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程 ． 14．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 15．（2025·江苏宿迁·一模）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是 ． 16．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形中，，，P是上一点，，将沿着翻折到，连接，则的面积为 ． 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 21．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃，要想尽快销售完并平均每天获利2210元，则每千克应降价多少元？ 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 23．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 24．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 25．（九年级上·江苏盐城·期末）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 26．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 用一元二次方程解决问题（知识清单+7大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 传播问题(一元二次方程的应用) 题型二 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型三 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型四 数字问题(一元二次方程的应用) 题型五 营销问题(一元二次方程的应用) 题型六 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型七 其他问题(一元二次方程的应用) 知识清单 知识点1：列一元二次方程解应用题 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 答(写出答案，切忌答非所问). 要点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 一是整体地、系统地审题； 二是把握问题中的等量关系； 三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法 增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 面积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 利润（利息）问题 利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 比赛统计问题 比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ． 传播问题 传播问题： ，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数． 题型方法 【题型一】传播问题(一元二次方程的应用) 【例1】（2024九年级上·江苏·专题练习）进入12月份来，甲型流感频发．某校有1名学生感染了甲型流感病毒，经过两轮传染后，一共有81人感染了此病毒．设每轮传染中一人可以传染x个人，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据设每轮传染中一人可以传染x个人，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染，共有81名感染者”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中一人可以传染x个人， 第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：A． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）去年8月以来，非洲猪瘟疫情在某国横行，今年猪瘟疫情发生势头明显减缓．假如有一头猪患病，经过两轮传染后共有64头猪患病．每轮传染中平均每头患病猪传染了 头健康猪． 【答案】7 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪，则第一轮传染后有头猪被感染，第二轮又要感染头猪，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每头患病猪传染了x头健康猪， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴每轮传染中平均每头患病猪传染了7头健康猪， 故答案为：7． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班43名同学恰好都会做这个实验了．求的值． 【答案】的值为6 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：的值为6． 【题型二】增长率问题(一元二次方程的应用) 【例2】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）11月28日起江苏省正式上线购买手机最高补贴的优惠活动，某品牌手机店为响应政府优惠政策，进行了两次降价，由3999元降为3399元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据：，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）我国经过多年坚持不懈地植树造林，到年底全国森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，继续大力发展植树造林，至年底全国森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这两年森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为， 由题意得， 故选：． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价元/盒，则该药品平均降价率是 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】设该药品每次的降价率是x，根据该药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，检验后可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设该药品每次的降价率是x， 依题意，得：， 解得：（舍去）， 答：该药品每次的降价率是， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）某商城在2023年国庆节期间促销某品牌冰箱，每台进价为2500元，标价为3000元． (1)商城举行了“新老用户总是情”摸奖活动，将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每台2430元的价格卖给中奖者，求每次降价的百分率； (2)经市场调研表明：当每台冰箱的售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降低50元时，平均每天能多售出4台．若商城要想使该品牌冰箱平均每天的销售利润为5000元，则每台冰箱的售价应定为多少元？ 【答案】(1)每次降价的百分率为； (2)每台冰箱的售价应定为元． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每次降价的百分率为，根据标价为3000元，最后以每台2430元的价格卖给中奖者，列出方程进行求解即可； （2）设每台冰箱的售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：每次降价的百分率为； （2）解：设每台冰箱的售价应定为元，由题意，得： ， 解得：； 答：每台冰箱的售价应定为元． 【题型三】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例3】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍．设圆的半径为x cm，可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了圆的面积、一元二次方程，学会利用圆和正方形的面积公式找到等量关系列出方程是解题的关键．由题意得，圆面积是正方形面积的9倍，即可列出方程． 【详解】解：设圆的半径为x cm，则圆面积是， 由题意得，． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，张老汉想用长为75米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列一元二次方程，用含x的式子表示出的长，矩形的面积等于长乘宽，由此可得答案． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 故， 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，容易发现，三角点阵中前3行的点数之和为6． (1)尝试：前15行的点数之和为 ； (2)思考：三角点阵中前行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．请说明理由； (3)拓展：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)120 (2)不能．理由见解析 (3)一共能摆20排． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】本题考查实际问题与一元二次方程：与图形有关的问题，图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前行点数之和的变化规律是解题的关键． （1）依次求出前（为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题； （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题； （3）同（1）理，发现规律，利用规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：； 三角点阵中前3行的点数之和为：； 三角点阵中前4行的点数之和为：； ， ∴三角点阵中前行的点数之和为：． ∴前15行的点数之和为． 故答案为：120； （2）解：不能． 依题意，令得， 解得， ∵为正整数， ∴三角点阵中前行的点数之和不能为500． 故答案为：不能； （3）解：同理，三角点阵中前行的点数之和为：． 令得， 解得，． ∵为正整数， ∴， 即一共能摆20排． 【题型四】数字问题(一元二次方程的应用) 【例4】（23-24九年级上·江苏·期中）已知3个连续整数的和是，它们的平方和是，且，求这3个连续整数． 【答案】这3个连续整数为4，5，6 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查有理数的加法和二元一次方程的应用，根据题意列出方程再进行计算即可． 【详解】设这3个连续整数为，，， 由题意可得，， ， 又知， 即， 解得或（舍去）， 故， ，． 故这3个连续整数为4，5，6． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为，再根据“两个连续的偶数乘积为224”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为x，则另一个连续的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一个数的平方与的差等于这个数的倍，则这个数为 ． 【答案】或 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； 设这个数为，列方程解方程即可求解； 【详解】解：设这个数为， 根据题意可得：， 解得：，， 故答案为：或 3．（九年级上·江苏苏州·期中）两个连续奇数的积为323，设其中较小的一个奇数为x，可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案． 【详解】解：依题意得：较大的奇数为x+2， 则有：x（x+2）=323． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键． 【题型五】营销问题(一元二次方程的应用) 【例5】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）为促进消费，某超市对部分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需448元．设该服装打x折，则可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解： 依题意得： 故选：D． 【举一反三】 1．（2024·江苏南通·模拟预测）某商品进价为25元，当每件售价为50元时，每天能售出100件，经市场调查发现，每件售价每降低1元，则每天可多售出5件，店里每天的利润要达到1500元．若设店主把该商品每件售价降低x元，求解可列方程为 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设每件商品售价降低元，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设每件商品售价降低元 则每天的利润为：， 故答案为：． 2．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）某种服装平均每天可销售件，每件盈利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要盈利元，每件降价多少元？设每件降价元，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每件降价元，表示出每件盈利元，平均每天可销售件，根据总利润与单件利润的关系立方程即可． 【详解】解：设每件降价元，则每件盈利元，平均每天可销售件， 依题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际问题——销售问题；根据所设未知数表示出每件利润和每天的销售量是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 【答案】(1)， (2)每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价下降x元时，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元， 平均每天可卖出礼盒份； （2）解：设每份礼盒售价下降x元， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去） 故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元． 【题型六】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例6】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点A出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．设运动时间为，当时，时间 ． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 过点P作于点H，用t表示线段长，求出的长，在中，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：当运动时间为时，，， 过点P作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴. ∵在中，， 即， 解得，． 故答案为：或 2．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．本题应分三种情况进行讨论，①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间求出； ②若，在中，由，，将数据代入，可将时间求出； ③若，则，可将时间求出． 【详解】解：过点作于，则四边形为矩形． 由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，，由得，解得； ②若，在中，，由得，即， 此时，， 所以此方程无解，． ③若，则，， 综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形． 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 【题型七】其他问题(一元二次方程的应用) 【例7】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）杭州亚运会男子篮球赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场．设有个球队参赛，根据题意，可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——单循环赛问题，解决本题的关键是熟练掌握每两队之间的比赛只有场，总场数等于队数乘以每队比赛场数的积除以 设有个队参赛，根据球队总数每支球队需赛的场数，列方程即可． 【详解】解：设有个队参赛，根据题意，可列方程为： ， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）纸是由国际标准化组织的定义的．世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．已知一张纸的面积为，长比宽多．设它的宽为，则可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据长与宽之间的关系，可得出长为，结合一张纸的面积为，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长比宽多，设它的宽为， 长为， 根据题意得：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动群内所有人共收到1640个红包．设群内共有x个人，根据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该群一共有x人，则每人收到个红包，根据群内所有人共收到1640个红包，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设该群一共有x人，则每人收到个红包， 依题意，得：， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】(1) (2)参加活动的学生人数为18人 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． （2）解：设参加活动的学生人数为人， ∵， ∴， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 好题必刷 一、单选题 1．（九年级上·江苏宿迁·期末）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3 【答案】D 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），根据两数之积为12，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1）， 根据题意得：x（x+1）＝12， 解得：x1＝3，x2＝﹣4． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏·期中）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用猴子总数两队猴子数之和，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】这群猴子的总数是只， 一队猴子数是只． 根据题意得：． 故选：D． 3．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解、图表信息题(一元二次方程的应用) 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）2022年底江苏省基站数量约万座，计划2024年年底全省基站数量将达到万座，若全省基站数量的平均每年的增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设全省基站数量的平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设全省基站数量的平均每年的增长率为，根据题意得 故选：B． 5．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在“新冠”初期，有人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了人，则根据题意可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人，根据“有人感染了“新冠”，第一轮传播后的人数为人， 经过两轮传染后的人数为人，即共有人感染了“新冠”列出方程，此题得解． 【详解】解：根据题意可得：， 即． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系． 6．（24-25九年级上）学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？设应邀请个队参赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设应邀请个队参赛，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应邀请个队参赛， 根据题意得，， 即， 故选：． 7．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】公式法解一元二次方程、行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 8．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 【答案】B 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长 【分析】设点P运动的时间为ts,根据题意得：,然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为ts, 根据题意得：, ∴ ∵ ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点P运动的时间为2s, 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平移解决实际问题、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案． 设小路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，求出答案． 【详解】解：利用平移，原图可转化为如图， 设小路宽为， 根据题意得：． 故选：A． 10．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（  ） A．1元 B．2元 C．3元 D．4元 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可； 【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得： ， 解得：x=5, 所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元 设每套驱蚊器降价a元，由题意得： ， 解得： , （舍去）， 故选：A. 二、填空题 11．某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，则共有 个班参赛． 【答案】6 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有x个班参赛，根据每两班之间都比赛一场且计划安排15场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设共有x个班参赛， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为：6． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮共人患病，第二轮传染中共人患病，根据经过两轮传染后有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，所列方程为， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）目前，新能源汽车在中国市场已进入快速普及阶段，某企业2024年的电动汽车销量是20万辆，计划在两年内使电动汽车的年销量达到40万辆，设在这两年中销量的年平均增长率为，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题中的应用，解题的关键是理解年平均增长率的含义，并根据其列出相应的方程． 根据初始销量，年平均增长率与增长后的销量之间的关系，结合题目中给定的2024年销量和计划达成的销量列出方程． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 14．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 根据题意可得个位数为，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可． 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是， 由题意可得：． 故答案为：． 15．（2025·江苏宿迁·一模）一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后，用水加满；第二次又倒出同样多的药液，若此时容器内剩下的纯药液是，则每次倒出的液体是 ． 【答案】21L 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，设每次倒出的液体是，根据连续倒出两次后容器内剩下的纯药液是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每次倒出的液体是， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏南京·期中）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出210件，如果每件商品的售价上涨1元，则每月少卖10件．若商家想每月盈利2200元，设每月商品的售价为x元，则可的方程为 ． 【答案】 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，得出销量与每件利润的关系式是解题关键．由题意列方程即可． 【详解】解：由题意得：． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，矩形中，，，P是上一点，，将沿着翻折到，连接，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，解一元二次方程，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作，则四边形是矩形，由折叠的性质可，，，设，，利用勾股定理得到，，利用代入消元法得到关于的一元二次方程，求解得到，进而得出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点作， 四边形是矩形， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可，，， 设，， ，， 在中，，即， 在中，，即， 整理得：， ， ， ， 将代入①得：， 解得：或（舍） ， ， 的面积， 故答案为：． 18．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动（到达终点后停止），点Q从点B开始沿边B﹣C﹣D向终点D以的速度移动．如果点P，Q分别从A，B同时出发，当点P和点Q都运动到终点时，运动过程停止，设运动时间为．在这个运动过程中，四边形的面积等于时，此时t的值是 ． 【答案】3或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程（一元二次方程）是解题的关键．分，及三种情况考虑：当时，连接AQ，DQ，连接，，此时，，当当时，，，当时，，，由四边形的面积等于 列出关于t的方程，解之即可得出t值． 【详解】解：（秒），（秒），（秒）． 当时，连接，，此时，，如图1所示． 依题意得：， 即 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，，，如图2所示． 依题意得： ， 即， 解得：t（不合题意，舍去）； 当时，，，如图3所示． 依题意得：， 即， 解得：t． 综上，t的值为3或． 故答案为：3或． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）已知一个数与3的和的平方等于这个数的2倍与5的和，求这个数． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据已知数量关系列一元二次方程，再解方程即可，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个数为x， 由题意得：， 整理得：，即， 解得， 即这个数为． 20．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 21．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．若该专卖店销售这种核桃，要想尽快销售完并平均每天获利2210元，则每千克应降价多少元？ 【答案】每千克核桃应降价7元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2210元列出方程求解即可． 【详解】解：设每千克核桃应降价x元． 根据题意，得： 化简，得 ：， 解得：． 由题意，尽快销售完，则 答：每千克核桃应降价7元． 22．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用)、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查列一元二次方程和解一元二次方程， 根据已知求得主干、支干和小分支的数量，再结合总数为91即可列出方程； 移项化简，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，主干、支干和小分支分别为1，x和，则； （2）解：，化简为， 解得，（舍去）， 故． 23．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某品牌服装店以900元/件的价格销售一款服装；“双11”期间，服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装． (1)求平均每次下调的百分率； (2)小明给服装店提出如下建议：先公布下调，再下调，这样更有吸引力，请问小明建议的方案对购买者是否更优惠？为什么？ 【答案】(1) (2)小明的建议的方案对购买者更优惠，理由见解析 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次下调的百分率为x，根据服装店连续两次下调销售价格后，最终以729元/件的价格销售该款服装，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出小明建议的方案价格，再比较即可． 【详解】（1）解：设平均每次下调的百分率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）， 答：平均每次下调的百分率为； （2）解：小明的建议的方案对购买者更优惠，理由如下： 由题意得：， ∵， ∴小明建议的方案对购买者更优惠． 24．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司引进了1条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相同，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线的最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二、三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【详解】（1）解：设第二、三季度生产量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二、三季度生产量的平均增长率为． （2）设应该再增加m条生产线， 则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 25．（九年级上·江苏盐城·期末）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）将t=4代入公式计算即可； （2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可； （3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm. 答：甲运动 4s 后的路程是 ． （2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ， 乙走过的路程为 ，则. 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s． （3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ， 则 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 26．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误． （2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可． 【详解】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． （2）解：平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$