第05讲 用一元二次方程解决问题（二）（2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第05讲 用一元二次方程解决问题（二）（2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 【例1】（2021秋•邗江区期中）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•虎丘区校级月考）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”．已知：，且．则的值为 　　． 【变式2】（2022•扬州一模）已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•姑苏区校级期中）已知方程组有两组不同的实数解，． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【变式4】（2022秋•镇江月考）阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知． 用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如： 一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，； 操作尝试：解一元三次方程． 知识点2．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【例2】（2023秋•沭阳县月考）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化为或，从而求出方程的三个根：，，，再如，我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为：，通过转化还可以求出方程的根为　　 A．3 B． C．3或 D．3或1 【变式1】7．（2021•武进区校级自主招生）方程组的解是 　　． 【变式2】（2023•鼓楼区校级自主招生）方程的解为 　　． 【变式3】（2023秋•梁溪区校级月考）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程：． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设，则有，原方程可化为：． （1）续解： （2）用上面的思想方法解方程：． 【变式4】（2023秋•工业园区校级月考）“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如： 解无理方程． 解：方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：， 检验：当时，左边右边， 所以， 是原方程的解． 通过上面的学习，请解决以下三个问题： （1）方程的解为 　　； （2）解无理方程； （3）如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点的坐标． 经典题型汇编 题型一.动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 2．（21-22九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）等腰直角中，，动点从点出发，沿向移动．过点作平行于的直线与分别交于．当的面积等于时，求的长． 题型二.行程问题(一元二次方程的应用) 4．（九年级上·江苏南通·期末）再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为 s. 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 6．（九年级上·江苏盐城·期末）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 题型三.图表信息题(一元二次方程的应用) 7．（九年级·江苏南京·阶段练习）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程 ． 8．（19-20九年级上·江苏苏州·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 题型四.其他问题(一元二次方程的应用) 9．（2023九年级上·江苏·专题练习）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A． B．=10 C． D．=10 10．（23-24九年级上·江苏常州·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 试题练习 一、单选题 1．学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 2．在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 4．为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 6．一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是，若设每次倒出液体为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 8．如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（    ） A． B．或 C． D． 二、填空题 9．为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班． 10．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 11．如图，在中，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速移动，同时点从点出发沿边以的速度向点匀速移动．当，两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，运动的时间为 秒． 12．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了次手，参加这次聚会的同学共有 人． 13．如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大． 14．如图，在正方形中，，以B为圆心，长为半径画弧，点E为弧上一点，于F，连接，若，则的值为 ． 三、解答题 15．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应安排多少个球队参赛． 16．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 17．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 18．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． （1）求返回时A、B两地间的路程； （2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 19．如图所示，某会堂的座位分为前、后两区，前区第 1排共有20个座位，往后每排共增加2个座位，前区最后1排与后区各排的座位数相同，后区比前区多8排 (1)假设前区有x排，则后区每排的座位数可表示为　 个； (2)若后排的座位数和为684个，问此会堂前后区共有多少排座位？ 20．新学期开始，某文具店一共花费600元购进50本款笔记本和60本款笔记本进行试销．已知款笔记本单价比款笔记本单价贵20%． (1)求，两种文具的单价分别为多少元？ (2)试销结束后，文具店决定第二次购进、两款笔记本．因“国庆”促销活动，文具店老板发现，款笔记本的单价下降百分率为，款笔记本的单价上涨百分率为，文具店老板决定款笔记本的购进数量比试销时的购进数量增加的百分率为，款笔记本的购进数量与试销时的购进数量一致，结果购进这两款笔记本所花费的总费用仍为600元．求的值． 21．如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)当为何值时，点和点距离是？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用一元二次方程解决问题（二）（2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 【例1】（2021秋•邗江区期中）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】利用，得，用一元二次方程求根公式得，且，所以取，代入即可求得． 【解答】解：， ，且， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出的值，代入化简后的中计算出结果． 【变式1】（2023秋•虎丘区校级月考）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”．已知：，且．则的值为 　　． 【分析】先求得，再代入得到原式，然后解方程求出，再代入求值即可． 【解答】解：， ，． ． 方程，且的解为：． 原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的变形和解一元二次方程，读懂题意理解“降次法”是解决本题的关键． 【变式2】（2022•扬州一模）已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由可得则、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由此画出函数图象求解即可． 【解答】解：，当时，， ， 、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由函数图象可知，，根据已知条件无法判定，， 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标是解题的关键． 【变式3】（2023秋•姑苏区校级期中）已知方程组有两组不同的实数解，． （1）求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将方程整理为，根据题意可得，△，求出的范围即可； （2）由根与系数的关系可得，，通过计算可得，即可进行判断． 【解答】解：（1）， 将②代入①，得， 方程组有两组不同的实数解， ，△， 解得且； （2）不存在，理由如下： ， ，， ， 不成立． 【点评】本题考查高次方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的存在关系是解题的关键． 【变式4】（2022秋•镇江月考）阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知． 用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如： 一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，； 操作尝试：解一元三次方程． 【分析】先通过因式分解把方程化为两个二次方程，再利用公式法求解二次方程． 【解答】解：， ． ，． 当时，； 当时，． ，． 【点评】本题考查了一元二次方程、高次方程的解法，看懂题例掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 知识点2．无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． （2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．　　（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．　　　　解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．　　（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 【例2】（2023秋•沭阳县月考）数学思想方法是数学的灵魂和精髓，而转化思想是数学思想方法中最基本、最重要的一种方法，我们可以用因式分解把方程转化为或，从而求出方程的三个根：，，，再如，我们可以用两边平方的方法把方程转化为，从而求出方程的根为：，通过转化还可以求出方程的根为　　 A．3 B． C．3或 D．3或1 【分析】原方程的两边平方得关于的一元二次方程，求解后检验得结论． 【解答】解：， 方程的两边平方，得， 整理，得． ． ，． 经检验，是原方程的根． 故选：． 【点评】本题考查了无理方程，看懂题例掌握转化的思想方法是解决本题的关键． 【变式1】7．（2021•武进区校级自主招生）方程组的解是 　，　． 【分析】根据式子特点，设，，然后利用换元法将原方程组转化为关于、的方程组，再换元为关于、的方程组解答． 【解答】解：设，，则原方程可变为， 由②式又可变化为， 把①式代入得，这又可以变形为， 再代入又得， 解得， 又因为， 所以解这个方程组得或， 于是（1），解得； （2），解得． 故答案为，． 【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握． 【变式2】（2023•鼓楼区校级自主招生）方程的解为 　　． 【分析】分两种情况讨论即可． 【解答】解：当时，， 原方程化为：， 即， 解得， 经检验，是方程的解， 当时，， 原方程化为：， 即， 方程无解， 所以原方程的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了无理方程和分式方程，解题的关键是分情况讨论去绝对值． 【变式3】（2023秋•梁溪区校级月考）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程：． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设，则有，原方程可化为：． （1）续解： （2）用上面的思想方法解方程：． 【分析】（1）解一元二次方程后可得，再求解方程即可； （2）设，则原方程化为，解得或，当时，，解得或，当时，，解得或，并对每个根进行检验即可求解． 【解答】解：（1）解：设，则有， 原方程可化为：， 解得（舍或， ， ， 解得或； （2）设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，，解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，，解得或， 经检验，或是方程的解； 综上所述：方程的解为或或或． 【点评】本题考查无理方程的解法，熟练掌握换元法解无理方程的方法，注意对所求的根进行检验是解题的关键． 【变式4】（2023秋•工业园区校级月考）“转化”是一种重要的数学思想，回顾我们学过的各类方程的解法：解一元二次方程，利用直接开平方法或因式分解法，将它转化为解两个一元一次方程；解分式方程，利用去分母的方法，将它转化为整式方程，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如： 解无理方程． 解：方程两边同时平方，得：， 解这个一元一次方程，得：， 检验：当时，左边右边， 所以， 是原方程的解． 通过上面的学习，请解决以下三个问题： （1）方程的解为 　　； （2）解无理方程； （3）如图，在平面直角坐标系中，点，，，求点的坐标． 【分析】（1）两边平方求解即可； （2）把无理方程转化为整式方程，解方程即可； （3）设，由得，解方程可得答案． 【解答】解：（1）， ， ， 检验时，左右两边相等， 所以，； （2）方程两边平方得：， 解一元二次方程得或， 检验：当时，左边右边， 当时，左边右边， 原方程的解为； （2）设， ，， ， ， ， 两边平方得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ，． 【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是读懂阅读材料，掌握解无理方程的方法． 经典题型汇编 题型一.动态几何问题(一元二次方程的应用) 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 2．（21-22九年级上·江苏徐州·期中）如图所示，在建筑工地上，为了支撑一堵墙，用一根长为5m的木材，顶端撑在墙上，底端撑在地面上，，现为了增加支撑效果，底端向前移动m，问：顶端需上移多少米？在这个问题中，设顶端上移x米，则可列方程为 ． 【答案】或 【分析】在中，利用勾股定理可求出的长，设顶端上移x米，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：在中，， ∴． 设顶端上移米， 如图， ∴ 依题意得： 故答案为：或． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）等腰直角中，，动点从点出发，沿向移动．过点作平行于的直线与分别交于．当的面积等于时，求的长． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设动点从点出发移动时，的面积等于，根据平行四边形的面积公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵等腰直角，过点作平行于的直线与分别交于， ∴，四边形为平行四边形， ∴， 设动点从点出发移动时，的面积等于． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：当的面积等于时，的长为． 题型二.行程问题(一元二次方程的应用) 4．（九年级上·江苏南通·期末）再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为 s. 【答案】 【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值． 【详解】依题意得s=×t=t2， 把s=18代入，得18=t2， 解得 t=，或t=-（舍去）． 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 5．（2023九年级上·江苏·专题练习）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了（　　）秒． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求滑行10米时用时，即有了距离求时间，则必须知道速度．这里的速度是从刹车到停止期间的平均速度，因此必须求出从刹车到停止用了多长时间以及每秒减速多少．这二者解决后，便可解答． 【详解】解：时速108千米30米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为秒，由平均速度时间路程得： ，解得秒， 平均每秒减速米/秒； 设刹车后汽车滑行10米时用了秒， 依题意列方程：，即，解方程得，（舍去）， 秒， 故选：D． 【点睛】本题是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程．注意速度单位的转化和题目的问题相符． 6．（九年级上·江苏盐城·期末）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点、，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． （1）甲运动后的路程是多少? （2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间? （3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间? 【答案】（1）28cm；（2）3s；（3）7s 【分析】（1）将t=4代入公式计算即可； （2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程，求解即可； （3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到，解方程即可得到答案. 【详解】解：（1）当 t=4s 时，cm. 答：甲运动 4s 后的路程是 ． （2） 由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ， 乙走过的路程为 ，则. 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s． （3） 由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ， 则 解得 或 （不合题意，舍去）． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s． 【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 题型三.图表信息题(一元二次方程的应用) 7．（九年级·江苏南京·阶段练习）有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程 ． 【答案】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 8．（19-20九年级上·江苏苏州·期末）根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【答案】参加旅游的人数40人. 【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可. 【详解】设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程. 题型四.其他问题(一元二次方程的应用) 9．（2023九年级上·江苏·专题练习）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A． B．=10 C． D．=10 【答案】B 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制． 设有 x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，即可列出方程． 【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手次； 依题意，可列方程为：； 故选：B． 10．（23-24九年级上·江苏常州·期中）根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m)约为．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面． 【答案】2 【分析】此题考查一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题． 由题意可知物体回落到地面，也就是说为0，建立方程求得答案即可． 【详解】解：， 落回地面时， 所以， 解得：或， 因为时间为零时未扔出， 所以舍去． 答：物体经过2秒回落地面． 故答案为：2． 11．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 【答案】(1)比赛组织者应计划邀请8个队参赛 (2)至少需要9天完成比赛 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答； （2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答； 解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场， 根据题意可得， 解得（舍去）， 故比赛组织者应计划邀请8个队参赛； （2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场， 设至少需要天完成比赛， 可得， 解得， 故至少需要9天完成比赛． 试题练习 一、单选题 1．学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单循环赛制可知，每只队伍比赛场，同两只队伍只比赛一场，由此可列方程． 【详解】解：单循环赛制下，x个队共21场比赛， ， 故选B． 【点睛】本题考查列一元二次方程，理解单循环赛制的比赛规则是解题的关键． 2．在一次同学聚会上，大家一见面就相互握手（每两人只握一次）．大家共握了21次手．设参加这次聚会的同学共有x人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】每个人都要和他自己以外的人握手一次，但两个人之间只握手一次，所以等量关系为：聚会人数（聚会人数）总握手次数，把相关数值代入即可． 【详解】解：设参加这次聚会的同学共有x人， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为 （    ） A．2 B．3 C．4 D．无数个 【答案】A 【分析】设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为（，），根据题意得： ， ∵点P 的位置不确定，分三种情况进行讨论： ①当时，则， 则，解得：，（舍去）； ②当时，， 则，即，此时，此方程无解； ③当时，， 则，即，解得：（舍去），； 故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）． 【点睛】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键． 4．为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设比赛组织者邀请了个队参赛，由题意可知共比赛场，根据“规定参赛的每两个队之间比赛一场”列出方程即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，正确找到等量关系是解题关键． 5．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用猴子总数两队猴子数之和，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】这群猴子的总数是只， 一队猴子数是只． 根据题意得：． 故选：D． 6．一个容器盛满纯药液，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是，若设每次倒出液体为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每次倒出液体x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液，加满水后药液的浓度为，利用第二次倒出后容器内剩下纯药液的数量=第二次倒出后容器内剩下药液的数量×此时药液的浓度，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设每次倒出液体x L，则第一次倒出后容器内剩下纯药液， 加满水后药液的浓度为， 依题意得： 即． 故选B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（　　） A．s B．2s C．10s D．10s或2s 【答案】B 【分析】设点P运动的时间为ts,根据题意得：,然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为ts, 根据题意得：, ∴ ∵ ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点P运动的时间为2s, 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 8．如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为， 则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得 (8-t)×2t=15， 解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去） ∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题． 二、填空题 9．为了提高环保教育，增强学生实践能力，植树节期间，某校组织八年级学生在郊外植树，活动结束后，每个班级轮流进行了合照留念，并以班级为单位互赠留念照，若共拍得照片72张，则该校八年级有个 班． 【答案】9 【分析】设该校八年级有x个班，根据每个班都要与其他个班拍照列出方程求解即可． 【详解】解：设该校八年级有x个班， 根据题意得， 解得：（不合题意，舍去）， ∴该校八年级有9个班． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 10．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ． 【答案】 【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论． 【详解】解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ，即甲走的步数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．如图，在中，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速移动，同时点从点出发沿边以的速度向点匀速移动．当，两点中有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，运动的时间为 秒． 【答案】1 【分析】设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB=（6-x）cm，BQ=2x cm，利用三角形的面积计算公式，结合△PBQ的面积为5cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：8÷2=4（秒）． 设运动时间为x秒（0＜x＜4），则PB=（6-x）cm，BQ=2x cm， 依题意得： 整理得：x2-6x+5=0， 解得：x1=1，x2=5（不合题意，舍去）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手．有人统计了一下，大家一共握了次手，参加这次聚会的同学共有 人． 【答案】 【分析】设这次聚会的同学共人，则每个人握手次，而两个人之间握手一次，因而共握手次，即可列方程求解． 【详解】解：设这次聚会的同学共人，根据题意得， ， 解得或舍去， 所以参加这次聚会的同学共有人． 故答案为12． 【点睛】本题考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程，同时要注意方程的解是否满足实际问题的情境． 13．如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大． 【答案】 1cm或3cm/3cm或1cm 2cm 【分析】如图，设交于 交于证明四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，设cm，则 再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离. 【详解】解：如图，设交于 交于 由平移的性质可得： 四边形是平行四边形， 由正方形可得： 是等腰直角三角形， 同理：也是等腰直角三角形， 设cm，则 解得： cm或cm 重叠部分的面积为： 当时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2 所以当cm时，重叠部分的面积最大. 故答案为：1cm或3cm；2cm 【点睛】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键. 14．如图，在正方形中，，以B为圆心，长为半径画弧，点E为弧上一点，于F，连接，若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】过E作EG⊥BC于G，连结BE，设EF=x，由EF⊥CD，四边形ABCD为正方形，可证四边形EGCF为矩形，可求BG=4-x，在Rt△EBG中， EG=，在Rt△EGC中，CE=，由EC-EF=2，可得-x=2，移项两边平方得,解得,可求CE=,从而求得CF=2． 【详解】解：过E作EG⊥BC于G，连结BE， 设EF=x， ∵EF⊥CD，四边形ABCD为正方形， ∴∠EFC=∠FCG=∠EGC=90°，AB=BC=BE=4， ∴四边形EGCF为矩形， ∴EF=GC=x，EG=FC， ∴BG=4-x， 在Rt△EBG中， EG= 在Rt△EGC中，CE= ∵EC-EF=2， ∴-x=2， ∴ =2+x， 两边平方得， 整理得， 解得， ∴CE=， ∴CF= 故答案为：2． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，，掌握正方形的性质。矩形的判定与性质，勾股定理，利用构造方程是解题关键． 三、解答题 15．为增强学生身体素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应安排多少个球队参赛． 【答案】应安排7个球队参赛 【分析】设应安排x个球队参赛，根据题意可列出关于x的一元二次方程，再解之，舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设应安排x个球队参赛， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴应安排7个球队参赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出方程是解题关键． 16．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 17．“绿水青山，就是金山银山”，为了改善生态环境，某县政府准备对境内河流进行清淤、疏通河道，同时在人群密集区沿河流修建滨河步道，打造生态湿地公园. （1）2018年11月至12月，一期工程原计划疏通河道和修建滨河步道里程数共计20千米，其中修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，那么，原计划修建滨河步道多少千米？ （2）至2018年12月底，一期工程顺利按原计划完成总共耗资840万元，其中疏通河道工程共耗资600万元；2019年二期工程开工后，疏通河道每千米工程费用较一期降低2.5a％，里程数较一期增加3a％；修建滨河步道每千米工程费用较一期上涨2.5a％，里程数较一期增加5a％，经测算，二期工程总费用将比一期增加2a％，求a的值. 【答案】（1）原计划修建滨河步道8千米；（2）a的值是28. 【分析】（1）根据修建滨河步道里程数是疏通河道里程数的倍，列方程即可得出结论； （2）先根据一期工程修建滨河步道里程数是疏通河道里程数与工程费用计算出每千米修建滨河步道与疏通河道的工程费，然后根据题意列方程，并利用换元法解方程即可得出结论． 【详解】（1）设原计划修建滨河步道x千米， 根据题意，得.解这个方程，得. 答：原计划修建滨河步道8千米   （2）根据题意， 一期工程疏通河道里程数：（千米）. 一期工程疏通河道费用：（万元/千米）. 一期工程修建滨河步道费用：（万元/千米） 令，原方程可化为 ， 整理这个方程，得. 解这个方程，得，. ∴（舍去），.∴. 答：a的值是28. 【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． （1）求返回时A、B两地间的路程； （2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【答案】（1）1800米；（2）52分钟． 【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解； （2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： ， 解得x=1800． 答：A、B两地间的路程为1800米；   （2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得： 25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904， 整理得y2﹣50y﹣104=0， 解得y1=52，y2=﹣2（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． 【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程． 19．如图所示，某会堂的座位分为前、后两区，前区第 1排共有20个座位，往后每排共增加2个座位，前区最后1排与后区各排的座位数相同，后区比前区多8排 (1)假设前区有x排，则后区每排的座位数可表示为　 个； (2)若后排的座位数和为684个，问此会堂前后区共有多少排座位？ 【答案】(1) (2)28排 【分析】根据“往后每排共增加2个座位”列出代数式，即可求解； （2）根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：后区每排的座位数为 ； 故答案为： （2）解：根据题意得， 解得 共有座位的排数为， 答：此会堂前后区共有28排座位． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键． 20．新学期开始，某文具店一共花费600元购进50本款笔记本和60本款笔记本进行试销．已知款笔记本单价比款笔记本单价贵20%． (1)求，两种文具的单价分别为多少元？ (2)试销结束后，文具店决定第二次购进、两款笔记本．因“国庆”促销活动，文具店老板发现，款笔记本的单价下降百分率为，款笔记本的单价上涨百分率为，文具店老板决定款笔记本的购进数量比试销时的购进数量增加的百分率为，款笔记本的购进数量与试销时的购进数量一致，结果购进这两款笔记本所花费的总费用仍为600元．求的值． 【答案】(1)款笔记本单价为5元，款笔记本单价为6元 (2) 【分析】（1）设款笔记本单价为元，则款笔记本单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x的值，即可解答； （2）由题意可列出关于的一元二次方程，解出m的值，再舍去不合题意的值即可． 【详解】（1）解：设款笔记本单价为元，则款笔记本单价为元， 由题意：， 解得：， 答：款笔记本单价为5元，款笔记本单价为6元； （2）由题意：， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴的值为． 【点睛】本题考查一元一次方程和一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 21．如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)当为何值时，点和点距离是？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)，； (2)，，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质； （1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解； （2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，作于E， ∴，∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 当时，图（1）满足， 当时，图（2）满足， 综上所述：，； （2）如图3，当时，作于E， ∴∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得：，， 如图4，当时，作于E， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴． ∴，解得：； 综上所述：，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$