第02讲 一元二次方程的解法（知识清单+8大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02讲 一元二次方程的解法（知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 题型二 解一元二次方程——配方法 题型三 配方法的应用 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点4一元二次方程的解法（公式法） (1)公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1. 当时， 利用开平方法，得：， 即： 1. 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． (2)求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． (3)用公式法解一元二次方程一般步骤 1. 把一元二次方程化成一般形式（）； 1. 确定a、b、c的值； 1. 求出的值（或代数式）； 1. 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． (4)根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． （5）根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型方法 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要查了解一元二次方程．利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：因为，此时方程没有实数根，故本选项不符合题意； B、解得：，有两个相等实数根，故本选项符合题意； C、解得：，有两个不相等实数根，故本选项不符合题意； D、当时，此时方程没有实数根，故本选项不符合题意； 故选：B 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得：，， ∴丁同学计算正确， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握常见的解一元二次方程的方法是解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解∶ ， ， ， 所以该方程组的解为：，． 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴，． 【题型二】解一元二次方程——配方法 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，移项，配方，变形，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 故选A． 【举一反三】 1．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可判断． 【详解】解：可变形为：， 再变形可得：， 所以方程的左边一定是，选项中符合题意得只有D选项， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是配方法解方程的步骤．利用配方法解方程即可． 【详解】解：， 故答案为：， 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， 配方得，即， 开方得， 解得． 【题型三】配方法的应用 【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、配方法的应用 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法、配方法的应用 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将二次三项式配方成的形式，则b的值是 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．由题意可得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴b的值是， 故答案为： 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是 ； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为； ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 【答案】(1)； (2)； (3)①；；②． 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键. （1）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解； （2）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解； （3）①依据题意，根据图形进行计算即可得解；②依据题意，根据①所求和，通过作差法进行比较大小即可得解， 【详解】（1）解： ∵， ∴ ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：①边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到新长方形，长方形的面积为， ∴， 正方形的边长增加，得到新正方形，正方形的面积为， ∴； ②， ∵， ∴，即， ∴． 【题型四】公式法解一元二次方程 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（  ） A．1 B． C． D．1或 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意，得，用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ∴， ∵a为正数， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，有一块矩形菜地，，，面积为，现将边增加，边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程的判别式以及一元二次方程的解法，由题意得， 根据题意列出关于的一元二次方程，根据求出的值即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵边增加，边增加，得到的矩形面积为， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∵有且只有一个的值使得到的矩形面积为， ∴， 即， ∴， 解得(不符合，舍去)或， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选用解方程的方法是解题的关键； （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：， 则或， 解得：； （2）解：， ∴， ∴，． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 【答案】（1）不是；（2）的度数为或；（3）的长为或 【知识点】公式法解一元二次方程、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， 不满足任意两个内角的差为， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； 故答案为：不是； （2）∵是“准等边三角形”，，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴，即 ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，    ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 【题型五】因式分解法解一元二次方程 【例5】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解法进行解方程，每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴或， 解得或， 故选：B 【举一反三】 1．（九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，灵活运用因式分解法成为解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 所以、． 故答案为：，． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程两根是，，则方程的根是 ． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程等知识点，由题意得出或是解题的关键． 由题意可得或，再分别求解即可． 【详解】解：由题意可得：或， 当，即时， ， 无实数根； 当，即时， ， 或， 解得：，； 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程组和不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 则或， ∴． （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：． 【题型六】换元法解一元二次方程 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）解方程时，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选B． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，深刻理解换元法的思想是解题的关键． 依据题意可知，方程的解为或，进一步求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，理解题中求解方法是解答的关键．设，则原方程可化为，解方程得，，再解方程和，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根，舍去； 当时， ，即， 解得，， ∴原方程的解为，． 【题型七】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例7】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根据一元二次方程解的情况求未知系数的取值范围，由题可得，代入原式整理得，然后根据方程有实数根得到，即，然后求出t的取值范围，解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵存在实数b， ∴方程有实数根， ∴，即， 整理得， 解得， 所以的最大值为，最小值为，最大值和最小值的和为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）现有三个代数式：，，，它们的值互不相同，且分别与，0，中的某一个值对应相等，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．由题意得：，若，则，方程无实数根； ，解得：；若，得出方程无实数根，故可推出；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 若，则，方程无实数根； ∴，解得：； 若，整理得：， 则，方程无实数根； ∴； 当时，，解得，此时成立； ∴； 当时，，解得，此时成立； ∴ 综上所述：或 故答案为：或 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 【题型八】根据一元二次方程根的情况求参数 【例8】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程没有实数根，得到判别式小于，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．由方程有一个根为，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：根据题意将代入方程得： ， 解得，． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为 ． 【答案】，（答案不唯一） 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出k的取值范围，再在范围内取值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴可以取值，， 故答案为：，1（答案不唯一）． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元二次方程． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出，求出m的取值范围即可； （2）根据（1）中m的取值范围及m为正整数得出m的值，求出方程的根即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， 即， ∴或， ∴，． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可. 【详解】∵， 解得：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据根的个数与判别式的关系，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选C． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的运用，根据题意，移项得，在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴， 故选：B ． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用；直接利用完全平方公式分解因式进而利用偶次方的性质分析得出即可． 【详解】∵， ， ∴，则 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用移项，添项，构成完全平方式进行整理即可． 【详解】解： 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（    ） A．2026 B．2024 C．2023 D．2025 【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，根据题意，得到方程必有一根为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程有一个根2024， ∴必有一根为， 解得：； 故选：A． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 分别计算各选项中的方程的解，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中方程无实数根，故不符合要求； B中方程有两个相等的实数根，故符合要求； C中方程无实数根，故不符合要求； D中方程有两个不相等的实数根，，故不符合要求； 故选：B． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，根据新定义，列出一元二次方程进行求解后，再进行乘法计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故选C． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则（    ） A．3 B． C．3或 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．也考查了新定义．先利用因式分解法解方程得到，，然后讨论：根据新定义，当，，则；当，，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 所以，， 当，，则； 当，，则； 故选：C． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、公式法解一元二次方程 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．利用直接开平方法得或，即可求解 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， 故答案为： 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．令，得到关于的一元二次方程，再根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：令， 则代入， 得， ， ， 解得， ， 则的最大值为，则的最大值为． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形中，，点、分别为、上两个动点（不与重合），且，将正方形分别沿过点和点的两条直线翻折，使点的对应点和点的对应点都落在线段上，两折痕所在直线交于点，则 ；当时，的长为 ．    【答案】 【知识点】正方形折叠问题、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程 【分析】根据折叠的性质可得，根据正方形的性质可得，则，进而根据三角形内角和定理，即可得出，设，则，，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，    又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ 依题意，将正方形分别沿过点和点的两条直线翻折，使点的对应点和点的对应点都落在线段上， ∴， ∴ ∴； 当时，， 设，则， ∴， 在中， ∴ 解得： 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，解一元二次方程，三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 18．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ． 【答案】 或 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、解一元二次方程——配方法 【分析】如图 1 中，在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可； 的长分两种情形，分别画出图形求解即可． 【详解】解：如图1中，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 如图2中，当C，F，G三点共线时，连接， 过点D作于点J，交的延长线于点K，设交于点O，则， 四边形和四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 设，则， ， ， 或（舍）， ， ， ， ， ， ， 如图3，当C，G，F三点共线时， 同理可得，， 则， 综上所述，的长为或， 故答案为：，或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会用分类讨论的思考问题． 三、解答题 19．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即或， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， 解得． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）用适当的方法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：   或   ，； （2）解：      ， 21．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、配方法的应用 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程因式分解法及解一元二次方程配方法，熟知因式分解法及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 则， 所以； （2）解：， ， 或， 解得． 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 【答案】， 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握换元法和因式分解法是解题关键．设，那么原方程可化为，利用因式分解法求出，进而得到新的关于的一元二次方程，分别求解即可． 【详解】解：， 设，那么原方程可化为， ， 解得：，， 当时，，则， ， ，； 当时，，则， ， 方程无实数根， 故原方程的解为，． 25．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数．在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决未知函数的最值问题，这种方法叫做判别式法． 例：已知函数，当取何值时，取最小值？最小值为多少？ 解：，， 方程有实数根，，即， 的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，取最小值，最小值为． (1)已知函数，请用判别式法求y的最大值； (2)已知实数满足，请求出的最小值． 【答案】(1)y的最大值为 (2)的最小值为 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程方程根的判别式，求不等式的解集，读懂题意、利用求解是解题的关键． （1）仿照题目所给的解题方法，将二次函数变换为一元二次方程，令求解即可； （2）先将原式变形为，根据根的判别式得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， 解得：， 即的最大值是； （2）解：∵， ∴， ， 解得：， ∴的最小值为． 26．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 【答案】（1）【理解】B；（2）【实践】，见解析；（3）【应用】1 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了用图形法解一元二次方程，理解题意，构造出适当的图形是解题的关键． 【理解】利用图形求解方程的过程是数形结合思想的应用，从而右确定答案； 【实践】按照题干材料中的步骤进行即可； 【应用】按照题干材料中的步骤进行即可． 【详解】解：【理解】从解题过程知，用到了数形结合思想； 故选：B． 【实践】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图所示， 则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为1的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 故答案为：； 【应用】第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，拼成一个“空心”正方形，如图2所示， 则图2中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为a的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以， 由于中间正方形的边长为a，其面积为，则， 即， ∴． 故答案为：1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法（知识清单+8大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 解一元二次方程——直接开平方法 题型二 解一元二次方程——配方法 题型三 配方法的应用 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型八 根据一元二次方程根的情况求参数 知识清单 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 知识点4一元二次方程的解法（公式法） (1)公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1. 当时， 利用开平方法，得：， 即： 1. 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． (2)求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． (3)用公式法解一元二次方程一般步骤 1. 把一元二次方程化成一般形式（）； 1. 确定a、b、c的值； 1. 求出的值（或代数式）； 1. 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． (4)根的判别式 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． （5）根的判别式的应用 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 知识点5：因式分解法（重难点） （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 题型方法 【题型一】解一元二次方程——直接开平方法 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·期中）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是（    ） A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型二】解一元二次方程——配方法 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）用配方法解方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）用配方法解一元二次方程，配方后的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若方程的两根为：，，则方程的两根为 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)； 【题型三】配方法的应用 【例3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将二次三项式配方成的形式，则b的值是 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是 ； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为； ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 【题型四】公式法解一元二次方程 【例4】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）小亮在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（  ） A．1 B． C． D．1或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，有一块矩形菜地，，，面积为，现将边增加，边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是 ． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 　 　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，求的长． 【题型五】因式分解法解一元二次方程 【例5】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 【举一反三】 1．（九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根是 ． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程两根是，，则方程的根是 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期中）解方程组和不等式组： (1)； (2)． 【题型六】换元法解一元二次方程 【例6】（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·期中）解方程时，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知方程的解是，，则方程的解是 ． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得．所以原方程的解为，． 请利用这种方法解方程：． 【题型七】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例7】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程 的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）现有三个代数式：，，，它们的值互不相同，且分别与，0，中的某一个值对应相等，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【题型八】根据一元二次方程根的情况求参数 【例8】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若是方程的一个根，则的值为___________． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出二个满足题意的的值为 ． 3．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此时方程的根． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）一元二次方程的根的情况是（   ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知代数式，无论取任何值，它的值一定是（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 5．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）若关于的一元二次方程有一个根2024，则方程必有一个根为（    ） A．2026 B．2024 C．2023 D．2025 7．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式． 若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则（    ） A．3 B． C．3或 D．以上都不对 10．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程是倍根方程；②是倍根方程，则；③若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，则必有． A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②③ 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）方程的解是 ． 12．（24-25九年级上·江苏常州·期中）一元二次方程的根为 ． 13．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 16．（24-25九年级上·江苏南通·期中）已知x，y满足，则的最大值为 ． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形中，，点、分别为、上两个动点（不与重合），且，将正方形分别沿过点和点的两条直线翻折，使点的对应点和点的对应点都落在线段上，两折痕所在直线交于点，则 ；当时，的长为 ．    18．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是 ；当C、F、G三点共线时，的长是 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）用适当的方法解方程 (1) (2) 21．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 22．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）解方程： (1) (2) 23．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读材料：为了解方程，我们可以将看作一个整体，设，那么原方程可化为①，解得，． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为，，，． 解答问题： 请利用以上知识解方程：． 25．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）在一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实数根的个数．在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决未知函数的最值问题，这种方法叫做判别式法． 例：已知函数，当取何值时，取最小值？最小值为多少？ 解：，， 方程有实数根，，即， 的最小值为， 此时，解得，符合题意， 当时，取最小值，最小值为． (1)已知函数，请用判别式法求y的最大值； (2)已知实数满足，请求出的最小值． 26．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即． 第三步：得新方程．因为表示边长，所以，即． 【理解】上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是______________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【实践】小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为（____________）； 第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，类比图1标明各边长），并写出后续的解答过程； 【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的正根为____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$