第01讲 一元二次方程（知识清单+5大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第01讲 一元二次方程（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 判断是否是一元二次方程 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 由一元二次方程的解求参数 题型五 一元二次方程的解的估算 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将一元二次方程化为的形式，其常数项是（   ） A．15 B． C．14 D． 2.（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 3.（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值． 【题型二】判断是否是一元二次方程 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 3.（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 【题型三】由一元二次方程的定义求参数 【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【举一反三】 1．（24-25九年级上·）一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 3.（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【题型四】由一元二次方程的解求参数 【例4】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知是方程的一个解，则实数c的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 3.（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则 ． 【题型五】一元二次方程的解的估算 【例5】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 【举一反三】 1.（23-24九年级上·）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 2.（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 3.（23-24九年级上·）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 好题必刷 一、单选题 1．一元二次方程x2－2x＝0的解是(   ) A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．0或2 2．已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（    ） A．m≠±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝±2 3．把一元二次方程(x-3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．把方程化成一般式，则正确的是（　　　） A．， B．， C．， D．， 5．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 7．下列方程中属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 8．已知a是方程的一个根，则的值为（    ）． A． B．2022 C．2021 D．无法计算 9．已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为(  ) A．8 B．10 C．8或10 D．12 10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 二、填空题 11．若方程的一个根为，则 ． 12．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ． 13．若关于x的方程有一个根为－1，则的值为 ． 14．把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 . 15．一元二次方程的一般形式是 ． 16．若关于的一元二次方程没有一次项，则 ． 17．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 18．当时，一元二次方程的一个根为 ；当时，一元二次方程的一个根为 ． 三、解答题 19．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 20．判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 21．先化简，再求值：，其中a是方程的根． 22．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）x2=4； （3）； （4）； （5）； （6）． 23．解方程：x(x－3)－2(3－x)＝x2－8. 24．先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0的根． 25．已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0. (1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程的解； (2)m取何值时，它是一元一次方程？ 26．方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 一元二次方程的定义 题型二 判断是否是一元二次方程 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 由一元二次方程的解求参数 题型五 一元二次方程的解的估算 知识清单 知识点1一元二次方程的定义（重点） （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点2一元二次方程的一般形式（重点） （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点3一元二次方程的解（重点） （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 题型方法 【题型一】一元二次方程的定义 【例1】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 依据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件逐项判断即可． 【详解】解：A、    符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意． B、 未知数的次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 C、 含有两个未知数，故该选项不符合题意． D.、是一元一次方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选A 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将一元二次方程化为的形式，其常数项是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可． 【详解】解： ∴ ∴ 常数项是 故选：D． 2.（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 3.（2024九年级上·江苏·专题练习）若是关于x的一元二次方程，求m的值． 【答案】4 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义解答即可，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵ ∴且， 解得． 即m的值为4． 【题型二】判断是否是一元二次方程 【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）将一元二次方程化成一般形式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数且），据此求解即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程、一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，该选项符合题意； C、方程整理得，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； D、方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）将一元二次方程化成一般形式为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 3.（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是 ． 【答案】3 【知识点】判断是否是一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 【题型三】由一元二次方程的定义求参数 【例3】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·）一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式及其相关定义解答即可． 【详解】解：根据题意知，一元二次方程的二次项系数是， 故选：C． 5．（24-25九年级上·）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、判断是否是一元一次方程、一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 3.（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 【题型四】由一元二次方程的解求参数 【例4】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知是方程的一个解，则实数c的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，将代入原方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的特殊解，理解一元二次方程的解得到是解题的关键． 根据关于的一元二次方程有一根为，得到一元二次方程的解为，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得到关于m的方程解题即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 故答案为：． 3.（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于的一元二次方程有一个根为2，则 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先把代入一元二次方程，即可求出c． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为2， ， 解得：， 故答案为：． 【题型五】一元二次方程的解的估算 【例5】（22-23九年级上·江苏镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是 C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的解的估算 【分析】通过观察表格可得时，，即可求解． 【详解】解：由表格可知， 当时，， 当时，， ∴时，， ∴解的整数部分是，十分位是． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键． 【举一反三】 1.（23-24九年级上·）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断 ． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 2.（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 3.（23-24九年级上·）阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2） 通过以上探索,的值约为. 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 好题必刷 一、单选题 1．一元二次方程x2－2x＝0的解是(   ) A．0 B．0或﹣2 C．﹣2 D．0或2 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解 【分析】首先提取公因式x，然后即可得解. 【详解】x2－2x＝0 解得 故答案是D. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解,熟练掌握,即可解题. 2．已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（    ） A．m≠±2 B．m＝﹣2 C．m＝2 D．m＝±2 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】由题意可得，，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴ 故选B 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义，只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程． 3．把一元二次方程(x-3)2 ＝5化为一般形式后，二次项系数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、一元二次方程的一般形式 【分析】利用完全平方公式将一元二次方程化简为ax2+bx+c=0，再找出二次项的系数即可． 【详解】解：∵（x-3）2=5化为一般形式为x2-6x+4=0， ∴二次项系数为1，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程（x-3）2=5化为一般形式． 4．把方程化成一般式，则正确的是（　　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案． 【详解】将去括号得；移项得 ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程的一般式，难点是一元二次方程的一般式的概念． 5．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据的二次项系数为，一次项系数为，列式即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ∴方程整理得：． 结果一次项系数为， ， 即． 故选：B 6．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得4a-b=2，再把变形为2+2（4a-b），最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴4a-2-b=0， ∴4a-b=2， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，将代数式进行适当变形是解答本题的关键． 7．下列方程中属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A.是关于x的一元二次方程，故该选项满足题意； B.不是整式方程，故该选项不满足题意； C.，含有两个未知数，故该选项不满足题意； D.，化简后不含有二次项，故该选项不满足题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 8．已知a是方程的一个根，则的值为（    ）． A． B．2022 C．2021 D．无法计算 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解、整式与分式相加减、已知式子的值，求代数式的值 【分析】先根据一元二次方程的解的定义，得到，然后将其变形得到a2=2022a-1，a2+1=2022a，最后整体代入代数式求值即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴a2=2022a-1，a2+1=2022a， ∴原式=2022a-1-2021a+ =a-1+= =-1 =2021，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，整体代入求代数式的值，关键是运用整体代入的思想． 9．已知一个等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为(  ) A．8 B．10 C．8或10 D．12 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程的两个根，根据三角形三边关系可得腰长和底边长，然后计算三角形的周长即可解答. 【详解】解：∵，∴. 由三角形的三边关系可得腰长是4，底边长是2， 所以该等腰三角形的周长是. 故选B. 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形三边关系，熟练掌握是解题的关键. 10．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念． 二、填空题 11．若方程的一个根为，则 ． 【答案】0 【知识点】一元二次方程的解 【分析】利用方程的解的定义，即可求解． 【详解】解：∵方程的一个根为，将其代入方程可得： ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边同时成立的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 12．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ． 【答案】/-2x+x2=0 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的一般形式 【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程． 【详解】解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2-2x=0． 故答案为：x2-2x=0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键． 13．若关于x的方程有一个根为－1，则的值为 ． 【答案】-1 【知识点】一元二次方程的解 【分析】把-1代入原方程即可． 【详解】解：把x= -1代入得， ， ， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，解题关键是理解方程根的意义，把未知数的值代入原方程． 14．把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为 ，二次项系数是 . 【答案】 x2＋x－2＝0 1 【知识点】一元二次方程的一般形式 【详解】试题解析：方程化为一般形式为： 二次项系数是1. 故答案为 15．一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】ax2+bx+c=0(a≠0) 【知识点】一元二次方程的一般形式 【详解】由一元二次方程的定义，可知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数,且a≠0). 故答案为ax2+bx+c=0(a≠0). 16．若关于的一元二次方程没有一次项，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】将方程化为一般形式，根据方程为一元二次方程且没有一次项，得到且，解得的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 该方程为一元二次方程且没有一次项， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程，根据没有一次项得到一次项系数为是解答本题的关键． 17．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 18．当时，一元二次方程的一个根为 ；当时，一元二次方程的一个根为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的解 【分析】将x=1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a+b+c，由a+b+c=0得到方程左右两边相等，即x=1是方程的解；将x=-1代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到a-b+c，由a-b+c=0得到方程左右两边相等，即x=-1是方程的解． 【详解】解：将x=1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×12+b×1+c=a+b+c， ∵a+b+c=0， ∴x=1是方程ax2+bx+c=0的一个根． 将x=-1代入ax2+bx+c=0的左边得：a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c， ∵a-b+c=0， ∴x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根． 故答案为1，-1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 三、解答题 19．下列哪些数是一元二次方程的根？ ． 【答案】1和3 【知识点】一元二次方程的解 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可． 【详解】解：当时，左边12． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边， ∵左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边右边， 不是一元二次方程的根． 当时，左边． 左边=右边， 是一元二次方程的根． 综上可知，1和3是一元一次方程的根． 20．判断下列方程是否为一元二次方程． （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）是；（4）不是 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），是一元二次方程； （2），不含二次项，不是一元二次方程； （3），是一元二次方程； （4），不是整式方程，不是一元二次方程． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 21．先化简，再求值：，其中a是方程的根． 【答案】，5 【知识点】一元二次方程的解、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．先把除法变形为乘法，再计算，然后根据一元二次方程的解的定义，可得，然后代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 22．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）x2=4； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）二次项系数是3，一次项系数为—6，常数项为1；（2），二次项系数是，一次项的系数为 常数项为；（3），二次项系数为1，一项系数为5，常数项为0；（4）二次项系数2，一次项系数为－4，常数项为2；（5）二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10；（6），二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】（1）移项即可； （2）移项即可； （3）去括号即可； （4）去括号即可； （5）去括号，移项，合并同类项即可； （6）去括号，移项，合并同类项即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， ∴二次项系数是3，一次项系数为—6，常数项为1； （2）x2=4， 移项得：， ∴二次项系数是，一次项的系数为 常数项为； （3）， 去括号得：， ∴二次项系数为1，一项系数为5，常数项为0； （4）， 去括号得：， ∴二次项系数2，一次项系数为－4，常数项为2； （5）， 去括号得：， 移项合并得：， ∴二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10； （6）， 去括号得：， 移项合并得： ， ∴二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般形式为：是解题的关键． 23．解方程：x(x－3)－2(3－x)＝x2－8. 【答案】2. 【知识点】一元二次方程的解 【分析】先对原式进行变形得到x2－3x－6＋2x＝x2－8，然后进行移项，合并同类项，求解即可． 【详解】解：去括号，得x2－3x－6＋2x＝x2－8. 移项，得x2－3x＋2x－x2＝－8＋6. 合并同类项，得－x＝－2.∴x＝2. 【点睛】本题考查了解一元二次方程,关键是掌握解一元二次方程的步骤. 24．先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣1＝0的根． 【答案】，1 【知识点】一元二次方程的解、分式化简求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由a是方程x2﹣x﹣1＝0的根，将x=a代入方程得到a2－a＝1，代入化简后的式子中计算，即可求出值． 【详解】解：原式 ∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的根， ∴a2－a－1＝0， ∴a2－a＝1， ∴原式＝1． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入”思想是解题的关键，避免了求a的值的繁琐过程，而是直接将a2－a＝1整体代入化简后的代数式． 25．已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0. (1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程的解； (2)m取何值时，它是一元一次方程？ 【答案】(1) m＝1 (2) m＝－1 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】利用一元二次方程和一元一次方程的定义求值. 【详解】解：(1)由解得m＝1，∴方程为2x2－x－1＝0，∴x1＝－，x2＝1. (2)当时，解得m＝－1；当时，解得m＝0，即当m＝－1或0时，是一元一次方程. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义：ax2＋bx＋c=0（）. 26．方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=1或m=－3 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且，解答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或且2m+2≠0． 【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且，解得：m=－4，此时方程为：，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1． （2）依题意得：m－2=0，或且2m+2≠0，解得：m=2或m=1或m=－3． 即当m=2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$