第02讲 矩形的性质与判定（知识清单+14大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第02讲 矩形的性质与判定（知识清单+14大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 知识清单 知识点1：矩形的定义 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 知识点2：矩形的性质 矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意： (1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． (2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． 对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 知识点4：矩形的判定 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 题型方法 【题型一】矩形性质理解 【例1】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由矩形的性质分析每个选项，从而可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，不一定成立，不一定成立，，一定成立， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，若点A的坐标是，点C的坐标是，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，两点间的距离公式，根据四边形为矩形，得，因为点A的坐标是，点C的坐标是，则由勾股定理求得，即可作答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， 即， 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，若以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为，若以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形综合、矩形性质理解 【分析】本题主要考查矩形的性质，坐标于图形的运用，理解图示，掌握矩形的性质，坐标与图形的关系是解题的关键． 根据题意可得，，若以点为原点作平面直角坐标系如图，根据坐标与图形的关系即可求解． 【详解】解：由题可得，， ∴若以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示， ∴点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，. 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与交于点E，F，与交于点O，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、矩形性质理解、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据矩形性质和线段垂直平分线的性质证明，可得，所以四边形BEDF是平行四边形，再根据，即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，进而可以求菱形的周长． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 由题意知：垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：由（1）可得，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， ， 解得， ∴ 菱形的周长为． 【题型二】利用矩形的性质求角度 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，点在矩形的边上，若是等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质、利用矩形的性质求角度 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识的应用． 首先由等边三角形的性质得出，又四边形是矩形，则有，然后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由四边形是矩形，则，，，，根据，得，，又，则，然后由三角形内角和定理得，最后由角度和差即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，矩形的对角线相交于点，若， 则的度数是 ． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的对角线相等且平分，得到，进而推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的对角线相交于点O，平分，交于点E，，求的度数． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边三角形的判定和性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，矩形的性质，平行线的性质，能识别其中的特殊图形是解此题的关键． 根据矩形的性质和角平分线的定义得到，根据等边三角形的判定和性质可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ∵，平分， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 【例3】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当（　　）s时，四边形是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点B运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点D运动，此时得到，继而得到，根据矩形的对边平行且相等，列出方程解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点P从点A出发，以的速度向终点B运动；点Q从点C同时出发，以的速度向终点D运动， 得到， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则 ． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】由矩形的性质得，，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 由作图得， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，． (1)求作矩形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法作，再以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，即可求解； （2）根据矩形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，设，则有，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：作图如下， ∴矩形为所求作图形． （2）解：∵四边形为矩形，交于点， ，， 在中，， ， 设， ， ， 在中，， ， 解得，， ， ． 【题型四】根据矩形的性质求面积 【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用含x的代数式表示矩形的面积，为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求面积、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式乘多项式，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据矩形的面积列式，再结合多项式乘多项式展开计算，即可作答． 【详解】解：∵矩形的面积等于长×宽 ∴矩形的面积等于 故选：D 2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 【答案】28 【知识点】根据矩形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由条件推出矩形的面积的面积，证明． 由矩形的性质推出矩形的面积的面积，证明，得到，进而得到求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，． 在和中 ∴ (AAS)， ∴， ∴， ∴． 故答案为：28． 3．（23-24九年级下·重庆开州·开学考试）如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围±0.2）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或8.3 【知识点】根据矩形的性质求面积、用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息、函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一次函数的图象与性质，两直线交点．熟练掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键． （1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据图象作答即可． 【详解】（1）由题意知，当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； 作图如图2； （2）由图象可知，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）由图象可知，当时，或8.3． 【题型五】利用矩形的性质证明 【例5】（24-25九年级上·全国·期中）如图，四边形为长方形，与关于直线对称，则图中全等三角形共有（  ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据成轴对称图形的特征进行判断、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查长方形的性质，轴对称的性质，三角形全等的判定．熟练掌握轴对称的性质和矩形的性质是解题关键．根据长方形的性质，轴对称的性质即可直接得出；设与交于点F，易得出，，，即可证，从而即得出答案． 【详解】解：∵四边形为长方形，为对角线， ∴． ∵与关于直线对称， ∴， ∴，即互为3对； 如图，设与交于点F，    ∵四边形为长方形，与关于直线对称， ∴，． 又∵， ∴． 综上可知图中全等三角形共有4对． 故选C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（    ）（不包含直角三角形全等） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【知识点】利用矩形的性质证明、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：四边形为矩形，其矩形的对角线相等且相互平分， ，，，，， 又，，， ∴，，， ∴故图中的全等三角形（不包含直角三角形全等）共有4对． 故选：B． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】先连接，证明得，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 作点关于点的对称点，连接，即为的最小值， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 【答案】是等腰直角三角形，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用矩形的性质证明、等腰三角形的定义 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判断，证明，得到，，推出，即可得出结果． 【详解】解：是等腰直角三角形 理由：矩形与矩形全等， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 【例6】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、求绕原点旋转一定角度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化-旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同是解题的关键． 根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点D的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点D坐标可解决问题． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次一个循环． ∵余4， ∴第100秒旋转结束时点D的位置，与第4秒旋转结束时点D的位置相同． 连接和， ∵四边形是矩形， ∴和互相平分， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 又∵， ∴第4秒旋转结束时的点D与点关于坐标原点对称， ∴此时点D的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点D的坐标为． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 【答案】 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查矩形的性质、求一次函数的解析式，连接、，交于点，根据矩形的性质求出点的坐标，因为直线将四边形的面积分成相等的两部分，所以直线过点，利用待定系数法求出即可． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 点的坐标为， 的坐标为， 又直线将四边形的面积分成相等的两部分， 直线过点， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 【答案】(1)、、 (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与几何综合、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，函数图像上点的坐标特征， （1）根据矩形的性质及轴可得轴，再由平移的性质可得结论； （2）确定当直线分别经过点和时所对应的的值，可得结论； 确定直线经过特殊点所对应的的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴，，，，， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴点向右平移得到点，再向上平移得到点；点向上平移得到点， ∴、、； （2）当直线经过点时， 得：， 解得：； 当直线经过点时， 得：， 解得：； ∴直线与长方形有交点，的取值范围为． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】矩形与折叠问题、 求矩形在坐标系中的坐标、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）利用矩形的性质和得到，，再由折叠的性质，，过点作于，可求得、，进而可求得点坐标； （2）过点作并延长交于点，连接，交于点，利用全等三角形的判定与性质得到点与点关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点在点的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点在点的上方时，此种情况不存在；当点在点的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ， ， ，，， 长方形沿折叠，使得点落在点处， ，， ， 如图1，过点作于， ，， ，， ， 点坐标； （2）在直线上存在点，使得的周长最小． 过点作并延长交于点，连接，交于点，如图2， 将长方形沿折叠，使得点落在点处， ， 在和中， ， ，， 点与点关于对称， ． 此时的周长最小．最小值为． 点为的中点， ， ， 折叠， ， 在中，， ， ，， ， 的周长最小值为； （3）存在点使得为等腰三角形， ， ， ①若，如图3， ，， ， ， ②若时，如图4， ， ， ； ③若，当点在点的下方时如图5， ， ，且， 不存在这样的点， 当点在点的上方时，如图6， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点使得为等腰三角形，的度数为或． 综上，满足条件的点存在，并且或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，对称性求最值、勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【题型七】矩形与折叠问题 【例7】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质；根据矩形的性质和折叠的性质可得，，进而可得，即可得解． 【详解】解：如图所示： 将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的折叠、勾股定理等知识．在矩形中，， ，根据折叠的性质得到设，则由勾股定理得到，，列方程即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，， 根据折叠的性质得到 设，则 由勾股定理得到，， 即 解得 即的长度为， 故选：D 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，则 ，点到的距离为 ． 【答案】 / / 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，由四边形是矩形，得，，，，再由折叠性质和勾股定理求出，过作于点，由折叠性质和勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∴， ∵为边的四等分点（）， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：，， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由勾股定理得：，， ∴，解得：， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、轴对称中的光线反射问题 【分析】（1）由矩形的性质可得与相等且互相平分，进而可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，于是结论得证； （2）作于点，交于点，由轴对称的性质可得，，进而可得，由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为，由矩形的性质可得，，由轴对称的性质可得，进而可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理可得，于是得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， 与相等且互相平分， ， 关于的对称图形为， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，作于点，交于点， 沿所在直线折叠，得到， ，， ， 由垂线段最短可知，当、、三点共线，且时，最小，即最小，最小值为， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，菱形的判定，轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），垂线段最短，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）和垂线段最短是解题的关键． 【题型八】斜边的中线等于斜边的一半 【例8】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）直角三角形中有两条边分别为，，则此直角三角形斜边上的中线长等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键． 分类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：①当和均为直角边时，斜边为， 则斜边上的中线为， ②当为直角边，为斜边时， 则斜边上的中线为， 综上，此直角三角形斜边上的中线长等于或， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．72 C．96 D．108 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中点，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题关键．由菱形的性质可知，，是的中点，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：菱形的对角线、相交于点，， ，， 是的中点， ， ， ， ， 菱形的面积为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为 ． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在中，，点D为上一点，，，交于点E，交于点F，点G是边上的点． (1)如图1，若点G与点F重合，，，求的长； (2)如图2，若，连接，，求证：； (3)如图3，作点B关于的对称点H，连接，若点G是中点，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，轴对称图形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键。 （1）先求出，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2），过点E作交于K，连接交于O，导角证明，则是等腰直角三角形，可得，证明，得到，进而得到，由三线合一定理得到，由勾股定理得，则； （3）设，则，由直角三角形的性质得到，则，进而得到，由对称的性质得到，则，。 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作交于K，连接交于O， 由（1）可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：，理由如下： 设，则， ∵点G是中点，， ∴， ∴， ∴， ∵点B和点H关于对称， ∴， ∴， ∴。 【题型九】矩形的判定定理理解 【例9】（24-25九年级上·湖南常德·期末）下列命题正确的是（      ） A．等腰三角形是中心对称图形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别、判断命题真假、证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查真假命题的判断，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理和等腰三角形的性质及中心对称的定义是解题的关键， 利用平行四边形、菱形、矩形、的判定定理、等腰三角形的性质和中心对称图形的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该命题不正确，不符合题意； B．根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题正确，符合题意； C．平行四边形的对角线互相平分，但不一定互相垂直，特殊的平行四边形如菱形的对角线才互相垂直，故该命题不正确，不符合题意； D．一组邻边相等的平行四边形是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，故该命题不正确，不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相平分 【答案】A 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解决问题的关键．利用矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解∶A．测量四边形其中的三个角是直角，能判定为矩形，此选项正确； B．对角线相等的四边形可能是等腰梯形也可能是矩形，还有可能是其它形式的四边形，此选项错误； C．测量两组对边是否分别相等，只能判定是否为平行四边形，不能断定是否为矩形，此选项错误； D．测量对角线是否互相平分，只能判定是否为平行四边形，不能判定是否是矩形，此选项错误， 故选：A． 2．（2022九年级上·全国·专题练习）矩形的定义：有 的平行四边形叫做矩形． 【答案】一个角是直角 【知识点】矩形的判定定理理解 【解析】略 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【答案】见详解 【知识点】矩形的判定定理理解、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图--复杂作图，矩形的判定，尺规作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据要求作出图形即可． 【详解】解：如图，矩形即为所求， 【题型十】添一条件使四边形是矩形 【例10】（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判断，根据矩形和菱形的判定定理逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、由能判定是矩形，该选项符合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由能判定是菱形，该选项不合题意； 、由平分能判定是菱形，该选项不合题意； 故选：． 2．（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 【答案】不唯一 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴四边形是矩形， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解∶P，Q两点同时出发，它们的速度都是， ， ， 四边形是矩形 ，即， 解得； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 即 ， ． 解得． 【题型十一】证明四边形是矩形 【例11】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形， ， 的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故A符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意． 故选D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，于点D，交于点E，交于点F，当满足条件 时，四边形是矩形． 【答案】 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等知识，熟练掌握菱矩形的判定和平行四边形的判定与性质． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形，， 当时 ∴四边形是矩形 ∴当满足条件时，四边形是矩形 故答案为： 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，连接，，E是边上一点，连接并延长与的延长线交于点F，连接．请从下列条件：①；②；③中．选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用平行四边形的性质证明、三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 选择①：首先证明出，得到，证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出是矩形； 选择②：首先由三线合一得到，然后证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出是矩形． 选择③无法证明是矩形． 【详解】解：选择①．证明如下： 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 选择②．证明如下： ∵， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； 选择③无法证明是矩形． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求角度 【例12】（22-23九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【举一反三】 1．（九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为 ．    【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】延长至，使得，证明，进而根据已知条件得出，可得，过点作于点，则是矩形，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至，使得， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，    ∵ 设，则， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 过点作于点，则是矩形， ∴， ∴， ∵，则 在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，D在线段上，先画，再在上画点F，使； (2)在图2中，先画的高，再在射线上画点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、利用平行四边形的判定与性质求解、画三角形的高、利用平行线间距离解决问题 【分析】（1）解：如图1，点向右3个格点为，连接，则即为所作；如图1，连接，记的中点为，连接并延长到，连接，交于，则四边形为矩形，，点即为所作； （2）如图2，点向左4个格点为，然后向上3个格点为，连接，交于，则，进而可证，则即为所作；如图2，点向左3个格点为，点向左3个格点为，连接，的交点为，连接，则，且到的距离与的距离相等，即，证明，进而可证，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图1，点向右3个格点为，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴即为所作； 如图1，连接，记的中点为，连接并延长到，连接，交于，则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点即为所作； （2）解：如图2，点向左4个格点为，然后向上3个格点为，连接，交于，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即为所作； 如图2，点向左3个格点为，点向左3个格点为，连接，的交点为，连接， ∴，且到的距离与的距离相等，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所作． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【题型十三】根据矩形的性质与判定求线段长 【例13】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接、、、，则四边形的面积为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、二次根式的乘法 【分析】本题考查的是中点四边形和勾股定理，掌握菱形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．连接、交于O，根据三角形中位线性质得到，，，，推出四边形是矩形矩形，根据等边三角形性质易得，，于是得到结论． 【详解】解：如图所示，连接、交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E、F、G、H分别是边，，，的中点， ∴，，，（三角形中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 【答案】C 【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段的性质，连接，过点C作于点H，先求出，证明四边形是矩形，则，当的值最小时，的值为最小，再根据“垂线段最短”得当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长，则的最小值是线段的长，然后根据三角形的面积公式求出线段的长即可得出答案． 【详解】解：连接，过点C作于点H，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 四边形是矩形， ， 当的值最小时，的值为最小， 点P在斜边上（不与A、B重合）， 根据“垂线段最短”得：当点P于点H重合时，的值为最小，最小值为线段的长， 的最小值是线段的长， ， ， 长度的最小值为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】如图，过点作交于点，交于点，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是矩形，得出，根据角平分线和平行线性质得出，是等腰直角三角形，即可得，根据三角形是等腰直角三角形，得出，证明，从而得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形的判定以及勾股定理和相似三角形等内容．熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）先得出，进一步进行等量代换得出即可证明四边形是矩形； （2）①由四边形是矩形以及勾股定理得出，即可根据得出的长； ②先证明，得出，进一步由勾股定理，得，即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，平分， ∵平分， 即 ∴四边形是矩形． （2）解：① ， 又∵O是的中点， , ． ∵四边形是矩形． ． 在中，由勾股定理，得: ∵O是的中点． ② ， ， 解得 在 中，由勾股定理，得： 解得 ． 【题型十四】根据矩形的性质与判定求面积 【例14】（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质与判定求面积、与三角形中位线有关的证明、等边三角形的判定和性质 【分析】连接、，交于点，根据菱形的性质和中位线定理可知四边形是矩形，根据菱形的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可求，，利用矩形的面积公式可求结果． 【详解】解：如下图所示，连接、，交于点， 四边形是菱形， ，， 又， 是等边三角形， ， 则， ， 点、、、分别是、、、的中点， ，， 同理可得，， 四边形是矩形， 四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、矩形的面积公式、等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据菱形的性质和三角形的中位线定理证明四边形是矩形． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积、根据矩形的性质求线段长、二次根式的乘法 【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∴平行四边形是菱形． 连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴四边形的面积为； 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，求该矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)60 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）根据等角对等边得出，根据平行四边形性质求出，根据矩形的判定即可得解． （2）根据矩形的性质求出，再根据勾股定理求出，即可根据面积公式得到解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴又， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ， ∴的面积是． 好题必刷 一、单选题 1．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（    ） A．10 B．8 C． D．5 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 故选：A． 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH的面积为（　　） A．15 B．20 C．30 D．60 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到平行四边形EFGH为矩形，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边AB，BC的中点． ∴EF=AC=5，EF∥AC， 同理，HG=AC=5，HG∥AC，EH=BD=3，EH∥BD， ∴EF=HG，EF∥HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EF∥AC，AC⊥BD， ∴EF⊥BD， ∵EH∥BD， ∴∠HEF=90°， ∴平行四边形EFGH为矩形， ∴四边形EFGH的面积=3×5=15． 故选A． 【点睛】本题考查中点四边形的概念和性质、掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键． 3．中，，D为边的中点，则的长度是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，利用勾股定理列式求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵D为边的中点， ∴． 故选：A． 4．如图，在矩形中，、相交于点O．若，，则的长为（   ）    A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】化为最简二次根式、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质得到，，再由含30度角的直角三角形的性质得到，由此利用勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，到达点处停止，延长交于点，则四边形的形状变化依次为（    ） A．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 【答案】B 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】根据对称中心的定义，平行四边形，矩形，菱形的判定定理，可得四边形AECF形状的变化情况． 【详解】如图，连接， 点为矩形的对称中心， 关于中心对称的点分别为， 当从点出发沿向点运动， 四边形是平行四边形 有两个特殊位置: ①从锐角变化成钝角，当是直角时，四边形是菱形， ②当位于点时，根据中心对称，点与点重合，四边形是矩形， 四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选B. 【点睛】本题主要考查了中心对称，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握上述判定定理是解题的关键． 6．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（　  ） A．3cm2 B．4 cm2 C．12 cm2 D．4 cm2 或12 cm2 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】根据矩形性质得出AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠AEB=∠CBE，求出∠AEB=∠ABE，得出AB=AE，分为两种情况：①当AE=1cm时，求出AB和AD；②当AE=3cm时，求出AB和AD，根据矩形的面积公式求出即可． 【详解】如图，    ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴∠AEB=∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE， ①当AE=1cm时，AB=1cm=CD，AD=1cm+3cm=4cm=BC， 此时矩形的面积是1cm×4cm=4cm2； ②当AE=3cm时，AB=3cm=CD，AD=4cm=BC， 此时矩形的面积是：3cm×4cm=12cm2. 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质，角平分线性质，解此题的关键是求出AB=AE，注意：要进行分类讨论． 7．如果矩形的两条对角线所夹锐角为，那么对角线与相邻两边所夹的角的度数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意根据矩形的对角线相等和互相平分可以得出其中一条对角线与其相邻一边的夹角的度数；接下来根据矩形的四个角都是直角，结合上一步的结论即可求出另一夹角的度数. 【详解】根据矩形对角线的性质可得：一条对角线与其邻边的夹角为： ()180°−44°)÷2=68°， 则另一角为：90°-68°=22°. 故选A. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，解决问题的关键是掌握矩形的性质； 8．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，过点作于点，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求角度 【分析】先根据菱形的性质得、、、，借助可计算出、的值，再利用DH⊥AB、可知OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，进而求出∠DHO的度数． 【详解】解：∵ABCD是菱形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形等边对等角求角度等知识，熟记相关几何性质是解题的关键． 9．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中判断正确的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】由矩形的判定方法得出①③不正确，②④⑤正确，即可得出结论． 【详解】解：①不正确； ∵两条对角线相等的四边形不是矩形， ∴①不正确； ②正确；如图所示： 连接BD， ∵∠A=∠C=90°， ∴△ABD和△CDB是直角三角形， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， ∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴②正确； ③不正确； ∵有一个角为直角，两条对角线相等的四边形不是矩形， ∴③不正确； ④正确； ∵四边形内角和=360°，四个角相等， ∴四个角都是直角， ∴四个角都相等的四边形是矩形， ∴④正确； ⑤正确； ∵相邻两边都互相垂直的四边形的四个角都是直角， ∴相邻两边都互相垂直的四边形是矩形， ∴⑤正确； 正确的个数有3个． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的判定方法、平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键. 10．如图，在矩形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△AEC，过点E作EF⊥DC于点F，连结AF，若AD=DF，S△AEF=3，S△ACF=5，则矩形ABCD的面积为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】过点E作EG垂直AD延长线于点G，然后通过已知三角形的面积得到EF和FC的比值，从而设EF和FC的长度分别为3b和5b，AD和DF的长度为a，然后利用Rt△GEA，Rt△EFC，Rt△CEA，Rt△DAC中的勾股定理得到a与b的关系，再利用△AEF的面积求出a和b的值，最后求矩形ABCD的面积． 【详解】解：过点E作EG⊥AD交AD的延长线与G ∵EF⊥DC ∴ ， ∵DF=AD ∴EF：CF=3∶5 设EF=3b，CF=5b，AD=DF=a ∵∠G=90°，∠EFD=90°，∠GDF=90° ∴四边形EFDG是矩形 ∴GE=DF=a，GD=EF=3b 在Rt△GEA中， 在Rt△EFC中， 在Rt△CEA中， ∴ = = 在Rt△DAC中， ∴= ∴ ∵b>0 ∴ ∴ ∴ ∴a= ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理，本题的关键是适当设定未知数利用Rt△DAC和Rt△EAC共用AC边建立方程． 二、填空题 11．在平行四边形中，若两条对角线相等，则平行四边形为 形． 【答案】矩 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】本题考查矩形的判定，由两条对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：由于平行四边形的两条对角线相等，则此四边形是矩形； 故答案为：矩． 12．如图，在矩形中，，则的长是 ． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】矩形的对角线相等且相互平分，据此即可作答． 【详解】∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且相互平分，是解答本题的关键． 13．在Rt△ABC中，CD、CF是AB边上的高线与中线，若AC=4，BC=3，则CF= ；CD= ． 【答案】 2.5 2.4 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【详解】试题分析：在直角三角形ABC中，∠C=90°，已知AC、BC的长根据勾股定理可以求AB的长，则CF=AB，根据面积相等法AC•BC=AB•CD可以求CD． 解：在直角三角形ABC中，∠C=90°， ∴AB2=AC2+BC2， ∵AC=4，BC=3， ∴AB=5， CF为斜边的中线，所以CF=AB=2.5， 又∵△ABC面积S=AC•BC=AB•CD ∴CD==2.4， 故答案为 2.5，2.4． 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形斜边中线长为斜边一半的性质，考查了直角三角形面积的计算，本题中根据勾股定理求斜边长是解题的关键． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E，F，已知，则五边形的面积是 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据矩形的性质求面积 【分析】根据直线解析式分别求出点E、F的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵当时，，解得， ∴点E的坐标是，即， ∵， ∴， ∴点F的横坐标是， ∴，即， ∴五边形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据直线的解析式求出点E、F的坐标是解题的关键，同时也考查了矩形的性质． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点D在边BC上，将该矩形沿AD折叠，点B恰好落在边OC上的E处，且△CDE为等腰直角三角形，若OA＝4，则点D的坐标是 ． 【答案】（﹣4，）． 【知识点】勾股定理与折叠问题、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】由题意根据勾股定理以及折叠的性质，即可得到CO和CD的长，进而即可得到点D的坐标． 【详解】解：由折叠可得，∠B＝∠AED＝90°， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠DEC＝45°， ∴∠AEO＝45°， 又∵∠AOE＝90°， ∴∠EAO＝∠AEO， ∴AO＝EO＝4， ∴AE＝， 由折叠可得，AB＝AE＝， ∵四边形ABCO的矩形， ∴CO＝， ∴CE＝CO﹣EO＝， ∴CD＝， ∵点D在第二象限， ∴D（﹣，）， 故答案为：（﹣4，）． 【点睛】本题主要考查折叠问题和矩形的性质以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处．若点的坐标为，则直线的解析式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】根据折叠的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理求得，然后设，则，，根据勾股定理列方程求出可得点E的坐标，再利用待定系数法求解的解析式即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，D的坐标为， ∴，， ∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，即EC的长为， ∴点E的坐标为． 设直线为：， ∴，解得：， ∴直线为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，勾股定理，利用待定系数法求解一次函数的解析式，根据题意求出EC的长为，是解题的关键． 17．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，∠AEB=15°，则AD的长度为 ． 【答案】 【分析】连接AC，由矩形性质可得AD∥BE，BD＝AC＝CE，知∠E＝∠CAE＝∠DAE=15°，则可得∠ADB＝30°，进而可求出AD的长． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，AC＝BD， ∴∠E＝∠DAE=15°， 又∵CE=BD， ∴CE＝AC， ∴∠E＝∠CAE=15°， ∴∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°， ∴∠ADB＝30°， ∴BD＝2AB＝2， ∴AD＝， 故答案为． 【点睛】本题主要考查矩形性质以及勾股定理的运用，熟练掌握矩形对角线相等、对边平行是解题关键． 18．如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、矩形与折叠问题 【分析】如图，连接，，由矩形的性质得，，进而利用勾股定理得，又由折叠性质得垂直平分，进而证明、、三点共线，是的中位线，利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵将沿直线翻折至的位置，使得点在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，所在直线重合，即、、三点共线， ∵平分，为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 三、解答题 19．利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【答案】见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】延长CO至点E，使，连接AE、BE，然后证明四边形AEBC是矩形，再根据矩形的性质可得． 【详解】已知：中，，是斜边上上的中线； 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 证明：如图，延长至点E，使，连接， ，点O为中点， 四边形AEBC是平行四边形， ， 平行四边形AEBC为矩形， ， ， ， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 20．如图，E是矩形ABCD边BC上一点，AB＝5，AD＝3．将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对称点为．当点恰好落在边CD上时，求C的长． 【答案】1 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】根据折叠的性质可得，得A＝AB＝5，有矩形的性质可得AB＝CD＝5，由在Rt△AD中，∠D＝90°，A＝5，AD＝3，根据勾股定理可得D的长度，由C=CD﹣D代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意，得A＝AB＝5． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝5，∠D＝90°． 在Rt△AD中，∠D＝90°，A＝5，AD＝3， ∴D＝， ∴C＝CD﹣D＝5﹣4＝1． 【点睛】本题主要考查了图形的变换——折叠，矩形的性质，勾股定理，能根据折叠得到直角三角形是解题的关键． 21．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC． (1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF； (2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 【答案】(1)选择①，证明见解析 (2)当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、证明四边形是矩形 【分析】（1）选择①MN∥BC；根据CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，可得∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，再由MN∥BC，可得∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，从而得到∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，进而得到OC=OE，OC=OF，即可求证； （2）可先证明四边形AECF是平行四边形，由（1）得OE=OF=OC，从而得到AC=EF，即可求证． 【详解】（1）选择①MN∥BC； 证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF， ∵MN∥BC， ∴∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF， ∴∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF， ∴OC=OE，OC=OF， ∴OE=OF； （2）当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下： ∵点O为AC的中点， ∴OA=OC， ∵OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 由（1）得：OE=OF=OC， ∴OE=OF=OC=OA，即AC=EF， ∴四边形AECF是矩形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，矩形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定，矩形的判定是解题的关键． 22．已知四边形是矩形，是对角线，于点， (1)尺规作图：过点A作垂线，使得于点（不写做法）； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形： 四边形是矩形 __________，． ， ，， __________， （__________） __________ 又， ， __________ 四边形是平行四边形．（__________） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧与交于两点，再以这两点为圆心，适当长度为半径画弧交于一点，过这点和点A做垂线即可得到答案． （2）由矩形性质确定，然后得到，由全等的判定与性质得到，最后根据平行四边形的判定定理即可得证． 【详解】（1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交对角线于点M、N，再分别以M、N为圆心，适当长度为半径画弧，交于点P，画射线AP，交对角线于点F，即为所求． （2）连接、，求证：四边形是平行四边形． 四边形是矩形， ，． ， ，， ， （_AAS）， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【点睛】本题考查尺规作图-作垂线，垂直定义、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握基本尺规作图、灵活运用几何判定与性质证明是解题的关键． 23．已知：如图，在中，是高，是边上的中线，且． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出，根据线段垂直平分线的判定即可得到结论； （2）根据等腰三角形性质推出，由三角形外角性质可得，又因为，故可证明． 【详解】（1）证明：如图，连结， ∵是高， ∴， 在中，是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形外角性质，等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24．如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，．将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条． (1)分别求出三张长方形纸条的长度． (2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积为多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】（1）先利用勾股定理可得，则中线，根据将斜边上的高线四等分，可得，∴，，，根据题意的裁剪方式可知：，再证明，，是等腰直角三角形，根据平分，可得、、分别是、，的斜边中线．即问题随之得解； （2）先求出平均每张边框长方形纸条的长度为：，长方形纸条的宽不变，仍然为，则内部正方形美术作品的边长，则幅正方形美术作品的面积可求． 【详解】（1）如图， 在中，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵，∴，平分， ∴中线， 将斜边上的高线四等分， ∴， ∴，，， 根据题意的裁剪方式可知：， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理可证明：，是等腰直角三角形， ∵平分， ∴、、分别是、，的斜边中线． ∴，，． 答：三张长方形纸条的长度分别为，，． （2）三张长方形纸条连接在一起的总长度为， 则平均每张边框长方形纸条的长度为：， 长方形纸条的宽不变，仍然为， 则内部正方形美术作品的边长， 正方形美术作品的面积． 答：这幅正方形美术作品的面积为． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，勾股定理以及二次根式的运算等知识．仔细观察图形，寻找隐含条件是解答本题的关键． 25．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F． (1)求证：； (2)若，．求点F至的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】（1）由翻折的性质和矩形的性质得到条件证明，即可得到结论； （2）根据勾股定理和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． ∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 过F作于H， ∴， ∴， 故点F至的距离为． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由翻折的性质找出相等的角或边是解题的关键． 26．综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 【答案】(1)①，② (2)①；②， (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． （1）先得出，进而判断出，即可得出结论； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出，再判断出，即可得出结论． （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①，② （2）解：同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）得： ， ∵均为等腰直角三角形，为中边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积＝的面积+的面积 ； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 矩形的性质与判定（知识清单+14大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 矩形性质理解 题型二 利用矩形的性质求角度 题型三 根据矩形的性质求线段长 题型四 根据矩形的性质求面积 题型五 利用矩形的性质证明 题型六 求矩形在坐标系中的坐标 题型七 矩形与折叠问题 题型八 斜边的中线等于斜边的一半 题型九 矩形的判定定理理解 题型十 添一条件使四边形是矩形 题型十一 证明四边形是矩形 题型十二 根据矩形的性质与判定求角度 题型十三 根据矩形的性质与判定求线段长 题型十四 根据矩形的性质与判定求面积 知识清单 知识点1：矩形的定义 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 知识点2：矩形的性质 矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意： (1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． (2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． 对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 知识点4：矩形的判定 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 题型方法 【题型一】矩形性质理解 【例1】1．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，矩形的对角线和交于点，则下列结论一定正确的是(   ) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，连接，若点A的坐标是，点C的坐标是，则的长为（   ） A． B． C． D．6 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，若以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为，若以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与交于点E，F，与交于点O，连接， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【题型二】利用矩形的性质求角度 【例2】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，点在矩形的边上，若是等边三角形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，矩形的对角线相交于点，若， 则的度数是 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，矩形的对角线相交于点O，平分，交于点E，，求的度数． 【题型三】根据矩形的性质求线段长 【例3】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在矩形中，，动点P从点A出发沿边以的速度向点B运动，动点Q从点C出发沿边以的速度向点D运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，则当（　　）s时，四边形是矩形． A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则 ． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，． (1)求作矩形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接交于点，若，，求的长． 【题型四】根据矩形的性质求面积 【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，用含x的代数式表示矩形的面积，为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线分别交、于点、，若两阴影三角形面积分别是3，4，则矩形的面积是 ． 3．（23-24九年级下·重庆开州·开学考试）如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接．设的面积为y． (1)直接写出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； (2)根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时x的值（结果保留一位小数，误差范围±0.2）． 【题型五】利用矩形的性质证明 【例5】（24-25九年级上·全国·期中）如图，四边形为长方形，与关于直线对称，则图中全等三角形共有（  ）    A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（    ）（不包含直角三角形全等） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为 ． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，判断的形状并说明理由． 【题型六】求矩形在坐标系中的坐标 【例6】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点D的坐标为(    ) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，四边形是矩形，点的坐标是，点的坐标是若直线将四边形的面积分成相等的两部分，则 ． 2．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【题型七】矩形与折叠问题 【例7】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）将一个矩形纸片沿所在的直线折叠成如图所示的图形，点均在原矩形的边上，且点在同一边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形中，点分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点恰好落在上的同一个点，记为点，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在矩形中，为边的四等分点（），连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与交于点，连接．若，则 ，点到的距离为 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，矩形的对角线，相交于点O，将沿所在直线折叠，得到． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，P是边上的动点，Q是边上的动点，的最小值是________． 【题型八】斜边的中线等于斜边的一半 【例8】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）直角三角形中有两条边分别为，，则此直角三角形斜边上的中线长等于（   ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．72 C．96 D．108 2．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，点D、E、F分别是中点，若，则长为 ． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在中，，点D为上一点，，，交于点E，交于点F，点G是边上的点． (1)如图1，若点G与点F重合，，，求的长； (2)如图2，若，连接，，求证：； (3)如图3，作点B关于的对称点H，连接，若点G是中点，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【题型九】矩形的判定定理理解 【例9】（24-25九年级上·湖南常德·期末）下列命题正确的是（      ） A．等腰三角形是中心对称图形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．平行四边形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（    ） A．测量其中三个角是否都为直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相平分 2．（2022九年级上·全国·专题练习）矩形的定义：有 的平行四边形叫做矩形． 3．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上． 【题型十】添一条件使四边形是矩形 【例10】（24-25九年级上·全国·期末）如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）在中，、是它的两条对角线，添加下列其中一个条件就能使成为矩形，那么添加的条件是（    ） A． B． C． D．平分 2．（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在四边形中，对角线，交于点O，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ． 3．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 【题型十一】证明四边形是矩形 【例11】（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，于点D，交于点E，交于点F，当满足条件 时，四边形是矩形． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，连接，，E是边上一点，连接并延长与的延长线交于点F，连接．请从下列条件：①；②；③中．选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程． 【题型十二】根据矩形的性质与判定求角度 【例12】（22-23九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·山东青岛·期末）如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，四边形中，，，在边上，且，若，，则的长为 ．    3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，D在线段上，先画，再在上画点F，使； (2)在图2中，先画的高，再在射线上画点P，使． 【题型十三】根据矩形的性质与判定求线段长 【例13】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，，．若点E、F、G、H分别是边、、、的中点，连接、、、，则四边形的面积为（   ） A．8 B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，已知在中，，，，点P在斜边上（不与A、B重合），过P作，，垂足分别是E、F，连接，随着P点在边上位置的改变，则长度的最小值（   ） A． B．5 C． D．3 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 3．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，在 中， ，是边上的中线， 是 的外角，平分 过点 A 作． 于点D，点O是的中点， 于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若 ①求的长； ②若点 P 是线段上的一动点，连接，过点 P 作 于点M，当 时，求的长． 【题型十四】根据矩形的性质与判定求面积 【例14】（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边的中点所得四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（   ） A．36 B．32 C．24 D．20 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ． 3．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形； (2)若，求该矩形的面积． 好题必刷 一、单选题 1．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（    ） A．10 B．8 C． D．5 2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点．若AC=10，BD=6，则四边形EFGH的面积为（　　） A．15 B．20 C．30 D．60 3．中，，D为边的中点，则的长度是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 4．如图，在矩形中，、相交于点O．若，，则的长为（   ）    A．4 B． C．2 D． 5．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，到达点处停止，延长交于点，则四边形的形状变化依次为（    ） A．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 C．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 6．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（　  ） A．3cm2 B．4 cm2 C．12 cm2 D．4 cm2 或12 cm2 7．如果矩形的两条对角线所夹锐角为，那么对角线与相邻两边所夹的角的度数分别是（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形是菱形，对角线、相交于点，过点作于点，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．下列说法：①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③有一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形⑤相邻两边都互相垂直的四边形是矩形．其中判断正确的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，在矩形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△AEC，过点E作EF⊥DC于点F，连结AF，若AD=DF，S△AEF=3，S△ACF=5，则矩形ABCD的面积为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 二、填空题 11．在平行四边形中，若两条对角线相等，则平行四边形为 形． 12．如图，在矩形中，，则的长是 ． 13．在Rt△ABC中，CD、CF是AB边上的高线与中线，若AC=4，BC=3，则CF= ；CD= ． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E，F，已知，则五边形的面积是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点D在边BC上，将该矩形沿AD折叠，点B恰好落在边OC上的E处，且△CDE为等腰直角三角形，若OA＝4，则点D的坐标是 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后点恰好落在边上的点处．若点的坐标为，则直线的解析式为 ． 17．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE=BD，连结AE，若AB=1，∠AEB=15°，则AD的长度为 ． 18．如图，在矩形中，点在上，，，将沿直线翻折至的位置，使得点在边上，作于点，为的中点，连接．则 ． 三、解答题 19．利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 20．如图，E是矩形ABCD边BC上一点，AB＝5，AD＝3．将矩形ABCD沿AE折叠，点B的对称点为．当点恰好落在边CD上时，求C的长． 21．如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC． (1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF； (2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由． 22．已知四边形是矩形，是对角线，于点， (1)尺规作图：过点A作垂线，使得于点（不写做法）； (2)连接、，求证：四边形是平行四边形： 四边形是矩形 __________，． ， ，， __________， （__________） __________ 又， ， __________ 四边形是平行四边形．（__________） 23．已知：如图，在中，是高，是边上的中线，且． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)求证：． 24．如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，．将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条． (1)分别求出三张长方形纸条的长度． (2)若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如图2，正方形美术作品的面积为多少平方厘米？ 25．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F． (1)求证：； (2)若，．求点F至的距离． 26．综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②线段之间的数量关系为______（直接写出） (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接 ①的度数为______；（直接写出） ②证明：线段之间的数量关系；（详细过程） (3)拓展延伸：在（2）的条件下，若，求四边形的面积．（详细过程） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$