第01讲 菱形的性质与判定（知识清单+9大题型+好题必刷）-【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01讲 菱形的性质与判定（知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 添一个条件使四边形是菱形 题型六 证明四边形是菱形 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 知识清单 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 知识点2：菱形的性质（重难点） 菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意： (1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等 的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 知识点3：菱形的判定（重难点） 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 题型方法 【题型一】利用菱形的性质求角度 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O、E是上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【题型三】利用菱形的性质求面积 【例3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对称中心重合．若这些菱形的边长为2，锐角为，则阴影部分的面积总和等于（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为 ．    3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列条件：①；②． (1)从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1） 的条件下，若，求菱形的面积． 【题型四】利用菱形的性质证明 【例4】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．菱形的四条边相等 C．正五边形的其中一个内角是 D．单项式的次数是4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）菱形中，，，菱形的面积为（   ）． A．60 B．120 C．192 D．96 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是 ．（只需填写正确结论的序号） 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知：如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【题型五】添一个条件使四边形是菱形 【例5】（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，．添加下列条件之一使成为菱形：①；②，． (1)你添加的条件是_________（填序号），并证明． (2)在（1）的条件下，若，的周长为4，求菱形的边长． 【题型六】证明四边形是菱形 【例6】（24-25九年级上·山西晋中·期末）在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·广东深圳·一模）如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（    ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 3．（2025·山东济宁·三模）如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，，，D为边上一点，连接，过点B作交的延长线于点E． (1)如图①，若，，求的面积； (2)如图②，延长到点F，使，分别连接，，交于点G．求证：； (3)如图③，若，M是直线上的一个动点，连接，将线段绕点D顺时针方向旋转90°得到线段，P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连接，．当的值最小时，请求出的度数． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知中，对角线，相交于点O．若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； (2)在（1）的前提下，若，，，求四边形的周长． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 【例9】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·四川达州·期中）如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，已知． (1)尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的面积． 好题必刷 一、单选题 1．在菱形中，，菱形的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 2．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（ ） A． B． C． D． 3．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(   ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 5．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（      ） A． B． C． D． 6．能够判定一个四边形是菱形的条件是（    ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直 7．如图，在中，下列条件不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 8．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 9．如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（  ） A．60 B．70 C．75 D．80 10．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 二、填空题 11．已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为 ． 12．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 13．如图，□ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 （只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 14．已知的对角线相交于点，分别添加下列条件：①；②；③平分；④．其中能使为菱形的条件有 ． 15．如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的大小为 度． 16．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 17．如图，菱形的边长为，，边在轴上，若将菱形绕点逆时针旋转75°，得到菱形，则点的对应点的坐标为 ． 18．菱形的判定： （1）有一组邻边 的平行四边形叫做菱形． 几何语言描述： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝ ， ∴四边形ABCD是菱形． （2）对角线互相 的平行四边形是菱形 几何语言描述： ∵在平行四边形ABCD中，AC⊥ ， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． （3）四条边都 的四边形是菱形． 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝ ， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． 三、解答题 19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 20．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 21．证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 22．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AF⊥BC．求证：四边形ADFE是菱形． 23．已知线段AB=10cm，以AB为一边作一个内角为60〫的菱形ABCD，并计算这个菱形的面积．（请保留作图痕迹） 24．菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，质点P从点A出发沿着AB-BD-DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC-CB-BD作匀速运动． （1）求BD的长； （2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/秒、5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由． 25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF. (1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 26．如图，菱形花坛的边长为，，其中由两个正六边形（各条边都相等，各个内角都相等）组成的图形部分种花，求种花部分的周长和面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 菱形的性质与判定（知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 利用菱形的性质求角度 题型二 利用菱形的性质求线段长 题型三 利用菱形的性质求面积 题型四 利用菱形的性质证明 题型五 添一个条件使四边形是菱形 题型六 证明四边形是菱形 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 知识清单 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 知识点2：菱形的性质（重难点） 菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意： (1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等 的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 知识点3：菱形的判定（重难点） 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 题型方法 【题型一】利用菱形的性质求角度 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，连接，过点作．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质．根据菱形的性质可得，推出，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，于点，于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和定理，角的和差，解题的关键是掌握菱形的性质．由菱形的额性质可得：，，推出，由垂直的定义可得：，进而得到，最后根据角的和差求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， 于点，于点， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知菱形的顶点，，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转，则第20秒时，菱形的对角线交点D的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，菱形的性质，找到菱形每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置是解题的关键． 菱形每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置，由，得到第20秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了，即可求解． 【详解】解：∵菱形的顶点，，， ∴与x轴的夹角为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴点D是线段的中点， ∴点D的坐标是， ∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转， ， ∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置， ∵， ∴第20秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了2周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了， ∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称， ∴第20秒时，菱形的对角线交点D的坐标为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东汕头·期末）如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接相交于点． (1)求证：； (2)当四边形为菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质求角度、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，可证，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，，为等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵由绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键． 【题型二】利用菱形的性质求线段长 【例2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题． 【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形 则．， ， 菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算， 即， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，菱形的周长为40，面积为80，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．连接，由菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 菱形， ， 菱形的周长为40， ， ， 菱形的面积， ， 故选B． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，在菱形中，，，对角线与相交于点．将边沿方向平移到，连接．当点是的中点时，四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解、利用菱形的性质求线段长 【分析】由菱形的性质得，，，，再证明是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，然后证明四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵将边沿方向平移到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的面积为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平移的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在菱形中，对角线交于点O、E是上的点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由菱形的性质得到，，再证明，即可得出结论； （2）根据菱形的性质判定是等边三角形，得到，，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，， ，，，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 【题型三】利用菱形的性质求面积 【例3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点与左侧菱形的对称中心重合．若这些菱形的边长为2，锐角为，则阴影部分的面积总和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、图形类规律探索、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的面积计算，关键是求出阴影菱形的边长和个数．先通过菱形的性质和等边三角形的判定及性质可知是等边三角形，可知为的中点，得，进而得一个阴影菱形的面积为，再计算2020个阴影菱形的面积总和便可． 【详解】解：根据题意知，将2021个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得到2020个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致， 如图，由题意知，，，，，则，均为等边三角形， 则，，，， 由菱形的对角线平分一组对角可知， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，即为的中点， ∴， ∴一个阴影菱形的面积为：， ∴阴影菱形的面积总和为：， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的面积计算公式即可求出，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∵菱形的面积， ∴ ∴ 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，菱形的两条对角线，交于点，若，，则菱形的面积为 ．    【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查了菱形的性质．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，交于点，，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列条件：①；②． (1)从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1） 的条件下，若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、证明四边形是菱形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理： （1）先证明四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形或对角线垂直的平行四边形为菱形，即可得证； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出的长，再根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 当选择①时： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； 当选择②时： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （2）∵四边形为菱形，， ∴平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【题型四】利用菱形的性质证明 【例4】（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．同位角相等 B．菱形的四条边相等 C．正五边形的其中一个内角是 D．单项式的次数是4 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质证明、正多边形的内角问题、单项式的系数、次数、判断命题真假 【分析】本题主要考查了真假命题，根据平行线的性质，菱形的性质，多边形的内角和，单项式的定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、菱形的四条边相等，是真命题； C、正五边形的其中一个外角是，内角是，原命题是假命题； D、单项式的次数是3，原命题是假命题； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）菱形中，，，菱形的面积为（   ）． A．60 B．120 C．192 D．96 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的面积公式是解题的关键．根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理可求得的长，得出的长，最后根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴菱形的面积为：． 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形，过点A作于点E，于点F，连接，下列说法：①若，则平行四边形是菱形；②若是等边三角形，则；③若平行四边形是菱形，则．其中说法正确的是 ．（只需填写正确结论的序号） 【答案】①②③ 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是菱形、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明 【分析】利用平行四边形的面积，若，则，即可由菱形的判定得出平行四边形是菱形，可判定①正确；由是等边三角形，得，由四边形内角和可求得，再利用菱形的性质求出，可判定②正确；利用菱形的面积，可得出，再利用等腰三角形的性质可得出，可判定③正确． 【详解】解：①∵， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故①正确； ②是等边三角形， ， 又，， ， 四边形是平行四边形， ，， ，故②正确； ③∵平行四边形是菱形 ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，四边形内角和，熟练掌握等边三角形和菱形的判定与性质是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知：如图，在菱形中，E，F分别是边，上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的判定， 根据菱形的性质得出，，然后证明即可． 【详解】证明：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴． 【题型五】添一个条件使四边形是菱形 【例5】（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，解决此题的关键是熟练掌握菱形的判定方法；根据菱形的判定可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到答案。 【详解】解：，可判断是矩形，不能判断是菱形，故选项A错误，不符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项B错误，不符合题意； 对角线互相垂直，可知判断是菱形，故选项C正确，符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项D错误，不符合题意； 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南·阶段练习）在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，．添加下列条件之一使成为菱形：①；②，． (1)你添加的条件是_________（填序号），并证明． (2)在（1）的条件下，若，的周长为4，求菱形的边长． 【答案】(1)②，见解析 (2)4 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、添一个条件使四边形是菱形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）可证，可得，即可求证； （2）连接，可证，可得，再证，，即可求解． 【详解】（1）解：②． 证明：，， ， 在和中 ， ()， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． （2）解：如图，连接， 由（1）知， ， 在和 ， ()， ， 在菱形中，， ， ， ， ， ，， 的周长为4， ． 即菱形的边长为4． 【点睛】本题考查了菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 【题型六】证明四边形是菱形 【例6】（24-25九年级上·山西晋中·期末）在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判断定理逐项判断即可求解，掌握菱形的判断定理是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为，能判定画框为边长的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意； 、由四边形都等于，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 故选：． 【举一反三】 1．（2024·广东深圳·一模）如图，在的基础上用尺规作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点；②分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C；③分别连接．可以直接判定四边形是菱形的依据是（    ） A．四条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记菱形的判定定理是解题关键．由作法可知，①可得，②可得，则，即可得到答案． 【详解】解：由作法可知， 则判定四边形是菱形的依据是四条边相等的四边形是菱形， 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在四边形中，分别是的中点，满足条件 时，四边形是菱形． 【答案】/ 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定，中位线性质定理，连接，由分别是的中点，得，，则四边形是平行四边形，故当 时，四边形是菱形，菱形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，， ∴四边形是菱形， ∴满足条件时，四边形是菱形， 故答案为：． 3．（2025·山东济宁·三模）如图，在中，． (1)求作菱形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积为120． 【知识点】利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，尺规作图等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，，则四边形即为所求； （2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，四边形即为所要作的菱形； （2）解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 【题型七】根据菱形的性质与判定求角度 【例7】（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【举一反三】 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了菱形的判定和性质．证明四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：由作图知， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 3．（24-25九年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在中，，，D为边上一点，连接，过点B作交的延长线于点E． (1)如图①，若，，求的面积； (2)如图②，延长到点F，使，分别连接，，交于点G．求证：； (3)如图③，若，M是直线上的一个动点，连接，将线段绕点D顺时针方向旋转90°得到线段，P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连接，．当的值最小时，请求出的度数． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3) 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解 【分析】（1）设，则，利用三角形的内角和定理列出方程求出x值，再利用直角三角形的性质求得值，依据三角形的面积公式即可求得结论； （2）延长到H，使，连接，利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质得到，，进而得出，再利用三角形的中位线定理解答即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点E，作点P关于的对称点，连接，，利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，得到点在过点A且垂直于的直线上运动；由三角形的三边关系定理得到，从而得到当在一条直线上时，，此时的值最小；由题意画出图形后，通过说明四边形是菱形，再利用菱形的对角相等得出，则结论可求． 【详解】（1）解：∵， ∴． 设，则， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （2）证明：延长到H，使，连接，如图2， ∵， ∴． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3）解：的度数为．理由如下： 过点D作，交的延长线于点E，作点P关于的对称点，连接，，如图， ∵， ∴， ∴． ∵将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点在过点A且垂直于的直线上运动． ∵点P关于的对称点， ∴． ∴． ∵， ∴当在一条直线上时，，此时的值最小． 如图，在一条直线上， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，菱形的判定与性质，充分利用旋转的性质解答是解题的关键． 【题型八】根据菱形的性质与判定求线段长 【例8】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A，C之间的距离为3，B，D之间的距离为4，则线段的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，作于R，于S，连接交于点O， 由题意知，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张纸条等宽， ∴． ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知中，对角线，相交于点O．若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据平行四边形对角线垂直得到是菱形，再根据性质进行判断即可． 【详解】解：∵中，对角线，相交于点O，， ∴是菱形， A．菱形对角线不一定相等，此选项结论不一定成立； B．由菱形的四边相等，得到，此选项结论一定成立； C．菱形的内角不一定等于，此选项结论不一定成立； D．由题可得是菱形，，当时，，此选项结论不一定成立． 故选：B． 2．（22-23九年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】连接交于，连接．根据平行四边形的性质，平行线的性质确定，根据题目中作图过程确定是的平分线，根据等角对等边和等量代换思想确定，根据菱形的判定定理和性质确定，，根据角平分线的定义，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理求出的长度，进而即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径作弧交于点， ∴， 根据作图过程可知所作的是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形的判定和性质，角平分线作图，等角对等边，菱形的判定定理和性质，所对的直角边是斜边的一半，勾股定理，综合运用知识点推理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）已知：，尺规作图得四边形，作图步骤如下： （i）分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q； （ii）直线交于点D，连接； （iii）以B为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点E，连接，． (1)根据尺规作图，请直接判断四边形的形状，并说明判断的根据； (2)在（1）的前提下，若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)菱形，四边相等四边形是菱形 (2)20 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据作图得到垂直平分， 然后得到，即可求解； （2）首先根据题意得到，然后利用勾股定理得到，求出，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）根据作图可得，垂直平分 ∴， ∵由作图得， ∴ ∴四边形是菱形，判断的根据是四边相等四边形是菱形； （2）∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴四边形的周长． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型九】根据菱形的性质与判定求面积 【例9】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了基本作图、菱形的判定与性质．利用基本作图得到，则可判断四边形为菱形，根据菱形的面积公式得到，从而可求出的长． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：C． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·四川达州·期中）如图，在四边形中，，且，则下列说法：①四边形是平行四边形；②；③；④平分；⑤若，则四边形的面积为24．其中正确的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5 【答案】D 【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形、利用菱形的性质证明、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】，且，可判断四边形是菱形，再根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形 ∴，，平分； ∴①②③④正确； 若，； ∴⑤正确； ∴正确的有5个． 故选：D 【点睛】本题考查菱形的判断和性质，熟练掌握菱形的判断和性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、作已知线段的垂直平分线、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，则，，在中，可得，，则，，再根据四边形的面积为可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 在中，，， ，， ，， 四边形的面积为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，已知． (1)尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法是解题的关键． （1）作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点，利用线段垂直平分线的性质得到，，，结合角平分线的定义和等腰三角形的判定推出，再根据菱形的判定可知四边形即为所求； （2）设与交于点，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点， 是的垂直平分线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， 点、、的位置即为所求． （2）解：设与交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ． 四边形的面积为120． 好题必刷 一、单选题 1．在菱形中，，菱形的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的四边相等，得到周长为即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴菱形的周长为：； 故选C． 2．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB=2，∠B=60°，易得△ABC是等边三角形，即可得到答案． 【详解】连接AC， ∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD， ∴AB=BC， ∵∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=2． 故选：B． ． 【点睛】本题考点：菱形的性质． 3．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】∵E、F分别是、的中点 ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：D． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(   ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确， 不能得出，故C选项不正确， 故选：C. 【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 5．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝2，则OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC， ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝∠AEC＝90°， ∴AC＝2OE＝2， ∴OA＝AC＝， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝， ∴BD＝2OB＝2， ∵S菱形ABCD＝CD•AE＝AC•BD＝×2×2＝2， ∴AE＝， ∴DE＝， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6．能够判定一个四边形是菱形的条件是（    ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直 【答案】A 【知识点】证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可解决问题． 【详解】A．因为四边形的对角线互相平分，所以这个四边形是平行四边形，又因为对角线互相垂直，所以四边形是菱形，故符合题意． B．因为对角线互相平分且相等，所以四边形是矩形，故不符合题意． C．对角线相等且垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意． D．对角线互相垂直，无法判断四边形是菱形，故不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和菱形、矩形的判定等知识点，解题的关键是熟练的掌握菱形的判定方法． 7．如图，在中，下列条件不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判断逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. ，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形” 能判定四边形是菱形，故选项A不符合题意； B. ，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形” 能判定四边形是菱形，故选项B不符合题意； C. ，不能得出四边形是菱形，故选项C符合题意； D.由可得，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形” 能判定四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解答本题的关键． 8．在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD， ∵AM=AN=MN=AB， ∴AB=AM，AN=AD，△AMN是等边三角形， ∴∠B=∠AMB，∠D=∠AND，∠MAN=60°， 设∠B=x，则∠AMB=x，∠BAM=∠DAN=180°-2x， ∵∠B+∠BAD=180°， ∴x+180°-2x+60°+180°-2x=180°， 解得：x=80°， ∴∠B=80°， ∴∠C=180°-80°=100°； 故选B． 9．如图，四边形ABCD内有一点E，AE=EB=BC=CD=DE，AB=AD，若∠C=150，则∠BAD的大小是（  ） A．60 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【知识点】证明四边形是菱形、利用菱形的性质求角度 【分析】由题干，可知四边形为菱形，又，所以，．连接BD，易知AE、BE、DE是的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】解：连接BD，并延长AE交BD于点O ∵，， ∴四边形BCDE是菱形， ∴AE、BE、DE是的角平分线． ∴A、E、O、C四点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理： ∴， 故选： 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定及三角形的性质及角平分线的灵活运用，解题关键是熟练掌握三角形的性质，以及菱形的判定和性质． 10．如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键． 作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17 ． 【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值17． 故选：C． 二、填空题 11．已知菱形的两条对角线长分别为1和4，则菱形的面积为 ． 【答案】2 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：菱形的面积=×1×4=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了菱形的性质：熟练掌握菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）． 记住菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）． 12．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、坐标与图形 【分析】根据菱形的性质对角线互相垂直平分，可得答案． 【详解】 ∵四边形OACB为菱形， ∴OC⊥AB，OD=CD，BD=AD． ∴OC=4，点B的纵坐标为1， ∴OD=4÷2=2，点A的纵坐标为−1． 故答案为：(2，−1) 【点睛】本题考查了菱形的性质，做题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分． 13．如图，□ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是 （只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”） 【答案】AC⊥EF（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【详解】解： AC⊥EF（答案不唯一） 证明：∵AD∥BC， ∴∠EAD=∠AEB， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE=EAD， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， 同理FD=CD， ∵AD=BC，AB=CD， ∴AF=CE， 又∵AE∥CF ∴四边形AECF是平行四边形， ∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形， 则添加的一个条件可以是：AC⊥EF. 故答案为AC⊥EF（答案不唯一） 14．已知的对角线相交于点，分别添加下列条件：①；②；③平分；④．其中能使为菱形的条件有 ． 【答案】②③ 【分析】对于①，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可作出判断； 对于②、③，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可作出判断； 对于④，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可作出判断. 【详解】①当∠ABC=90°时， ∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. ②当AB=BC时， ∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形. ③当AC平分∠BAD时， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAC=∠DCA. ∴∠DAC=∠DCA， ∴AD=DC. ∴四边形ABCD是菱形. ④当OA=OD时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OD=OB. ∵OA=OC，OD=OB，OA=OD， ∴AC=BD. ∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. 综上可知，使得平行四边形ABCD是菱形的条件的序号是②③. 【点睛】本题考查了菱形的判定定理,矩形的判定定理,熟悉有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形,即可解题. 15．如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的大小为 度． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、三线合一、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．灵活运用菱形的性质是解题的关键． 16．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 【答案】45° 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度 【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】连接BD， ∵四边形ABCD为菱形, ∴△ABD为等边三角形, ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线,即 ∴ ∴由折叠的性质得到： 故答案为 【点睛】考查翻折变换（折叠问题），菱形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键. 17．如图，菱形的边长为，，边在轴上，若将菱形绕点逆时针旋转75°，得到菱形，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】根据菱形的性质可得出∠AOC=60°，则三角形OAC为等边三角形，即AC=，根据菱形对角线的性质可得出∠AOE=30°，根据勾股定理可得OE， OB，再根据旋转的性质可得OB=OB1，∠B1OF=45°，根据勾股定理即可得出OF与B1F的长度，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接AC与OB相交于点E，过点B1作B1F⊥x轴，垂足为F， ∵四边形OABC为菱形，，OA=OC， ∴△AOC是等边三角形，OC=OA=AC=， ∵AC⊥OB， 在Rt△OAE中，OA=，AE=AC=， ∴OE=AE=， ∴OB=， ∵∠COB=∠AOC=30°，∠BOB1=75°， ∴∠B1OF=180°-60°-∠BOB1=180°-60°-75°=45°， 在Rt△B1OF中，OB1=OB=，OF=B1F， ∴OF2+B1F2=OB12， 可得OF=B1F=， ∵点B1在第二象限， ∴点B1的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形及旋转的性质，熟练应用相关性质进行计算是解决本题的关键． 18．菱形的判定： （1）有一组邻边 的平行四边形叫做菱形． 几何语言描述： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝ ， ∴四边形ABCD是菱形． （2）对角线互相 的平行四边形是菱形 几何语言描述： ∵在平行四边形ABCD中，AC⊥ ， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． （3）四条边都 的四边形是菱形． 几何语言描述： ∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝ ， ∴ 平行四边形ABCD是菱形． 【答案】 相等 AD 垂直 BD 相等 AD 【知识点】证明四边形是菱形 【解析】略 三、解答题 19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC．BD相交于点O，且O是BD的中点 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）若，，求四边形ABCD的周长． 【答案】(1)详见解析;(2)32 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明即可解决问题． （2）证明四边形ABCD是菱形，即可求四边形ABCD的周长． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ． 又， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）∵四边形ABCD是平行四边形，， ∴四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD的周长. 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质、由已知容易证明，进而可得，从而由邻边相等的平行四边形是菱形得出结论. 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 21．证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 【答案】见解析 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】根据题意作出菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直，即可根据菱形面积等于两个三角形的面积和，即可得证． 【详解】如图，四边形是菱形， ， ， 菱形的面积为， 即菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 【点睛】本题考查了菱形的性质，根据对角线互相垂直证明是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AF⊥BC．求证：四边形ADFE是菱形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是菱形、与三角形中位线有关的证明 【分析】由线段垂直平分线的性质得出，由三角形中位线定理得出得出，，得出，即可得出结论． 【详解】解：∵AF⊥BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴AB＝AC，DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD， ∴DF＝AD＝EF＝AE， ∴四边形ADFE是菱形． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握菱形的判定方法，熟记线段垂直平分线的性质是关键． 23．已知线段AB=10cm，以AB为一边作一个内角为60〫的菱形ABCD，并计算这个菱形的面积．（请保留作图痕迹） 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、等边三角形的判定和性质、作线段(尺规作图) 【分析】直接利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出D，C点位置，构造等边ABD，即可画出图形，再直接利用菱形面积求法得出答案即可． 【详解】解：解：如图，菱形ABCD即为所求． 连接AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AD=AB=BC=CD=10cm, ∵∠DAB=∠DCB=60°， ∴ABD，BCD都是等边三角形， ∴BD=AB=AD=10cm, ∴OD=OB=5cm, ∴， ∴BD=10cm,AC=10 cm, ∴S菱形ABCD==． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 24．菱形ABCD的边长为24厘米，∠A=60°，质点P从点A出发沿着AB-BD-DA作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿着线路DC-CB-BD作匀速运动． （1）求BD的长； （2）已知质点P、Q运动的速度分别为4cm/秒、5cm/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由． 【答案】(1)24厘米；（2）△AMN为等边三角形，理由见解析 【知识点】利用菱形的性质证明 【试题分析】根据等边三角形的判定，菱形的边的性质求解； （2）确定M、N的位置，从而判定△AMN的形状. 【试题解析】（1）菱形各边长相等，边长为24cm，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD=AB=AD=24厘米， （2））∵∠A=60°，AD=AB=24cm， ∴△ABD为等边三角形，故BD=24cm， 又∵VP=4cm/s ∴SP=VPt=4×12=48（cm）， ∴P点到达D点，即M与D重合vQ=5cm/s， SQ=VQt=5×12=60（cm）， ∴N点在BD之中点，即BN=DN=12（cm）， ∴∠AND=90°即△AMN为直角三角形． 【方法点睛】本题目是一道菱形背景下的判断三角形AMN的形状.运用菱形边的特征，确定三角形ABD的形状.难度不大. 25．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连结DE，EF. (1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）能，理由详见解析；（2）当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t=2t，解方程即可解决问题； （2）分三种情形讨论①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可 【详解】解：(1)能． 理由：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t， ∴DF＝2t， 又∵AE＝2t， ∴AE＝DF， ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF， 又∵AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， 当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形， 即60－4t＝2t，解得t＝10. ∴当t＝10秒时，四边形AEFD为菱形； (2)①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°， ∵∠A＝60°， ∴∠AED＝30°， ∴AD＝AE＝t，又AD＝60－4t，即60－4t＝t， 解得t＝12； ②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形， 在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE， 即60－4t＝4t，解得t＝； ③若∠EFD＝90°，则E与B重合， D与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当t＝或12秒时，△DEF为直角三角形 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26．如图，菱形花坛的边长为，，其中由两个正六边形（各条边都相等，各个内角都相等）组成的图形部分种花，求种花部分的周长和面积． 【答案】种花部分的周长为，面积为 【知识点】利用菱形的性质求面积、多边形内角和问题、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】连接，交于点O，交于点K，根据题意可得，，，再由六边形是正六边形，可得到，，均是等边三角形，从而得到，进而得到两个六边形的周长为；再根据种花部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点O，交于点K， ∵菱形花坛的边长为，， ∴，，， 根据题意得：六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∵， ，，均是等边三角形， ，， ∴， ∴两个六边形的周长为， 即种花部分的图形周长为； ∵， 均是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ， ∴种花部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$