高一数学下学期期末测试卷（基础卷，考试范围：三角函数+数量积+解三角形+复数+立体几何）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

2024-2025学年高一数学下学期期末测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，若，则复数z的模是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有：，所以， 故选：D. 2．下列函数中周期不是π的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数的周期为，A不是； 对于B，函数的周期为，B是； 对于C，函数的周期为，C不是； 对于D，函数的周期为，D不是. 故选：B 3．设，向量，，，且，，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】由向量，，， 因为，可得，解得. 由，可得，解得， 故. 故选：B 4．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】记与轴的交点为D， 因为，所以， 又轴，所以四边形为平行四边形，所以， 由题意可知：， 因为轴，，所以轴， 又，所以，所以， ． 故选：B． 5．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 6．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上、下两圆台的高分别是， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐上、下两圆台的体积之比为，所以上、下两圆台的高之比是. 故选：B 7．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】，则，， ， 则 ， ， 又，， ， 则， ， 又 且，则， . 故选：A. 8．如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为， 综上所述，其最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，满足，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为 【答案】AC 【详解】由题意得，解得，故A正确； 在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B错误； 因为，所以的虚部为，故C正确； 因为，所以的共轭复数为，故D错误. 故选：AC. 10．平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，现定义，，则（   ） A． B．为偶函数 C．若，则 D． 【答案】BCD 【详解】由已知得，， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，，， 所以， 即为偶函数，故B正确； 对于C，因为，解得，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 11．如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D．截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【详解】 对于A，取中点，取靠近的三等分点， 则四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，则， 所以四点共面，故A错误； 对于，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半， 所以，故B正确； 对于C，若中点为为的四等分点（靠近）， 由已知，则， 延长，设它们交于点，则， 又，所以， 延长，设它们交于点，则， 则，即， 又，则，则， 所以点与点重合，即三线共点，故C正确. 对于D，由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将右面和后面相邻两面展开， 当三点共线时，最小，最小值为， 所以截面四边形的周长的最小值为10，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，则 ．（用的形式表示，） 【答案】 【详解】因为，，，， 所以 . 故答案为： 13．已知向量，，且，则 ． 【答案】/ 【详解】因为向量，，且，则， 所以，． 因此， . 故答案为：. 14．在正方形中，分别为线段的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为 . 【答案】 【详解】由题意画出图形如图所示： 在正方形中，，折起来后两两互相垂直， 故三棱锥的外接球是以为棱的长方体的外接球， 不妨设正方形的边长为2，则， ， 设内切球的球心为，则三棱锥的体积为， 三棱锥表面积， 由， 所以该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知向量，，． (1)求函数的最小正周期，并求当时，的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．在中，若，求角A的大小． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）. 函数的最小正周期. 时，，，所以. （2）由题可得. ，即，得. 因为为内角，所以，得. 16．如图，在平行四边形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论. 【答案】(1)， (2)是直角三角形，证明见解析 【详解】（1）由题意得，， 则． ． （2）是直角三角形． 证明如下：由题意得，， 则 所以．故是直角三角形． 17．如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD， 则O是的中点，又是的中点，， 而平面，OD平面， 所以平面. （2）由，是的中点，得， 由平面，得平面，又AD平面，则， 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面， 所以平面平面 （3）在平面内过C作CE于E，连AE， 由（2）知，平面平面，平面平面， 则平面，是AC与平面所成的角， 在直角中，令，则，， 在直角中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，. (1)求B； (2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 【答案】(1) (2)3 (3) 【详解】（1）由题可得， ∴，∵，∴. （2）D为线段BC上一点，且满足，， ∴为等边三角形， ∴. 设，在中，， 即， 整理得：，解得或（舍），即. （3）在△ABC中，，由正弦定理得： ， 于是得. 因为是锐角三角形，则，且， 于是有，则，即，， 从而得， 所以△ABC面积的取值范围是. 19．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)若向量，满足，，求证：； (3)已知向量，，，求的最小值． 【答案】(1)3； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由，，，得， 解得，，， 所以. （2）由，得， 则， ， 所以. （3）由（2）得，而，， 于是，， ，当且仅当，即时取等号； 所以的最小值是. 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，若，则复数z的模是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中周期不是π的是（   ） A． B． C． D． 3．设，向量，，，且，，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 4．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，，轴，轴，则在原图中的长为（    ） A． B． C．4 D．8 5．如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（   ） A． B． C． D． 6．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了以汝窑为首的五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．如图1，汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是10厘米，且上、下两圆台的体积之比是，则上、下两圆台的高之比是（    ）    A． B． C． D． 7．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 8．如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（   ）    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，满足，，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第一象限 C．的虚部为 D．的共轭复数为 10．平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，现定义，，则（   ） A． B．为偶函数 C．若，则 D． 11．如图，是边长为2的正方形，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（    ） A．四点不共面 B．该几何体的体积为8 C．若中点为为的四等分点（靠近），则三线共点 D．截面四边形的周长的最小值为10 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是虚数单位，则 ．（用的形式表示，） 13．已知向量，，且，则 ． 14．在正方形中，分别为线段的中点，连接，将分别沿折起，使三点重合，得到三棱锥，则该三棱锥的外接球半径与内切球半径的比值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知向量，，． (1)求函数的最小正周期，并求当时，的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．在中，若，求角A的大小． 16．如图，在平行四边形中，，，. (1)用，表示，； (2)若，判断的形状，并用向量的方法证明你的结论. 17．如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点. (1)求证:平面; (2)求证: 平面平面; (3)求直线AC与平面所成角的正弦值. 18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，. (1)求B； (2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长； (3)若为锐角三角形，求面积的范围. 19．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)若向量，满足，，求证：； (3)已知向量，，，求的最小值． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$