猜想05 数列常考大题归类（考题猜想，10大题型）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

猜想05 数列常考大题归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差等比数列 · 题型二 累加累乘法 · 题型三 与求通项公式 · 题型四 分段递推数列求通项公式 · 题型五 分组（并项）求和法 · 题型六 错位相减法 · 题型七 裂项相消法 · 题型八 插项数列 · 题型九 公共项型数列 · 题型十 数列中的存在性问题 题型一 等差等比数列 1．在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 2．设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 3．已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 4．已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：. 5．已知为等差数列的前项和，为等比数列的前项和，，． (1)若，求的值； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及． 条件①：；条件②：；条件③：． 6．已知数列中，，且满足，设，. (1)求，证明数列是等比数列； (2)求及数列的前n项和. 题型二 累加累乘法 7．设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 8．已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 9．已知数列满足：，，（）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 10．已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且． (1)求k的值； (2)求数列的通项公式． 11．定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 题型三 与求通项公式 12．已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 13．记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 14．已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和. 15．已知各项均为正数的数列，其前项和为，且．求数列的通项公式； 16．已知数列满足．求的通项公式； 17．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 18．已知数列满足 求的通项公式； 19．已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型四 分段递推数列求通项公式 20．已知数列满足， (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 21．已知数列满足，记． (1)证明：数列是等差数列． (2)求的通项公式． (3)求的前20项和． 22．已知数列满足：，且．记数列为，记数列为. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 23．已知数列满足，记． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型五 分组（并项）求和法 24．已知为等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和. 25．已知等差数列的公差，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求数列的前项和. 26．数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 27．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 28．公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 29．已知数列的前n项和为，满足，数列是等比数列，公比，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，，其中，求数列的前2025项和． 题型六 错位相减法 30．数列满足，.数列满足. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 31．已知数列的前项和为，且． (1)判断是否等比数列并证明； (2)设，求数列的前项和． 32．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 33．已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 题型七 裂项相消法 34．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 35．已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 36．已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 37．已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 38．数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 39．设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 40．在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 题型八 插项数列 41．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 42．正项数列满足，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 43．已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 44．已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列各项都是正数，且满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2025项和. 45．已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列. (1)求的通项公式： (2)在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及. 题型九 公共项型数列 46．等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 47．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上． (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和． 48．已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 49．设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 50．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 题型十 数列中的存在性问题 51．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 52．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 53．已知数列满足（）. (1)若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； (2)设数列的前n项和为，如果，，求； (3)若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 54．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 55．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 56．已知正项数列满足，且（）. (1)求的通项公式; (2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. $$猜想05 数列常考大题归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 等差等比数列 · 题型二 累加累乘法 · 题型三 与求通项公式 · 题型四 分段递推数列求通项公式 · 题型五 分组（并项）求和法 · 题型六 错位相减法 · 题型七 裂项相消法 · 题型八 插项数列 · 题型九 公共项型数列 · 题型十 数列中的存在性问题 题型一 等差等比数列 1．在等差数列中，，． (1)求通项公式及其前项和的最小值； (2)若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】(1)，最小值为 (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. （2）由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 2．设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． （2）因为，所以， 则. 3．已知等比数列的前项和. (1)求实数的值； (2)若，求. 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，， 数列是等比数列，满足， ，解得. （2）由（1）可知，， ， ，解得. 4．已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)等比数列的前项和为，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件①：；条件②：；条件③：. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， ，，， . （2）由（1）知：，设等比数列的公比为 若选①②：，，， ，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为； 若选①③：，， 又，，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为； 若选②③：，或， 又，，， 为递增数列，，， 满足的的最大值为. 5．已知为等差数列的前项和，为等比数列的前项和，，． (1)若，求的值； (2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为为等比数列，，， 设的公比为，则，解得，所以， 因为，所以． 因为为等差数列，，所以公差， 所以． （2）若选择条件①：因为为等差数列，为等比数列，，，， 则等差数列的公差，所以，则， 所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件①． 若选择条件②： 因为为等差数列，为等比数列，，，， 设的公差为，的公比为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则单调递增，故条件②符合题意， 所以，． 若选择条件③：因为为等差数列，为等比数列，，，， 所以， 则等差数列的公差，所以，则， 所以不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件③． 6．已知数列中，，且满足，设，. (1)求，证明数列是等比数列； (2)求及数列的前n项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2)， 【详解】（1）由数列中，，且满足，设， 可得； 由，可得，即， 则数列是首项和公比均为2的等比数列； （2）由（1）可得，则． 题型二 累加累乘法 7．设数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，当时，， 相加得 所以 时，符合上式，所以 （2） 8．已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）∵，，∴， ∵，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，. （2）∵， ∴当时， ，又也满足上式， 所以. 9．已知数列满足：，，（）． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，∴， ∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列． （2）由（1）知，， 当时， 当n=1时，满足上式． 所以，． 10．已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且． (1)求k的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)2； (2). 【详解】（1）当时，， 当时，； （2）因为，所以，则， 令，所以，则是等比数列， 因为，，所以，所以， 则 11．定义：若数列满足（为常数，，则称数列为二阶等比数列，为二阶公比．已知二阶等比数列，，，二阶公比为． (1)求数列的通项公式； (2)求使的最小正整数的值． 【答案】(1)； (2)8. 【详解】（1）依题意，二阶等比数列的二阶公比为，则， 于是当时，， ， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，不等式，而， 由，得，又的值随n的增大而增大，且， 当时，，当时，， 数列是递增数列，因此， 所以使的最小正整数的值为8. 题型三 与求通项公式 12．已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②，式子①-②得 ，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）， 所以， 因为在R上单调递增， 所以只需求出的最大值， 其中， 又，所以当或时，取得最大值， 最大值为， 所以的最大值为. 13．记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 【答案】(1)证明见解析 (2)或13，最小值为. 【详解】（1）由，得①， 所以②， 由②-①，得， 化简得， 所以数列是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列的公差为1. 由，得， 解得. 所以， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 14．已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）中令， 得，所以， 因为， 整理得， 当时，， 所以时，是常数列，且， 所以， 又也满足上式， 所以. （2）因为成等比数列，且，， 所以该数列的第项为， 因为是数列的第项， 所以， 所以， 所以. 15．已知各项均为正数的数列，其前项和为，且．求数列的通项公式； 【答案】 【详解】当时，由，解得， 由，得， 两式相减，得，即， 即． 因为数列各项均为正数，所以，所以 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 因此，． 16．已知数列满足．求的通项公式； 【详解】（1）因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． 17．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 18．已知数列满足 求的通项公式； 【详解】（1）由题干条件，当时，， 当时，， 与已知式子相减得，因为，所以， 又也符合上式，故； 19．已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)证明数列是等比数列，并求的通项公式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3). 【详解】（1）设数列的公差为， 由，可得，解得； 所以， 即数列的通项公式为； （2）由可得， 两式相减可得，即可得， ，则为定值， 因此可知数列是以为首项，公比的等比数列， 可得，显然首项也符合上式； 即的通项公式为； （3）由（2）可知； 由可得， 因此可得恒成立， 令，则； 显然可知当时，为递增，当，为递减； 且易知，，因此可知的最大值为， 可得， 即实数的取值范围为. 题型四 分段递推数列求通项公式 20．已知数列满足， (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）由题意知显然为偶数，则，， 所以，即，且， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 于是，，． 故数列的通向公式为. （2）由题意知数列满足，，，， 所以． 所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列； 由知数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列． 从而数列的前项和为： . 故的前项和为. 21．已知数列满足，记． (1)证明：数列是等差数列． (2)求的通项公式． (3)求的前20项和． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1），故， 故，所以数列是公差为的等差数列. （2）且数列是公差为的等差数列， 故 （3）故 所以的前20项和： . 22．已知数列满足：，且．记数列为，记数列为. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）为奇数时，则， 此时为偶数，则， 等式两边取以2为底的对数，便有， 所以， 故的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列， 即是以2为首项，2为公差的等差数列，所以. （2）为偶数时，则，即， 此时为奇数，， 则， 所以，且， 故的奇数项是以4为首项，4为公比的等比数列， 即以4为首项，4为公比的等比数列，则. 可得， 所以 ， 即. 23．已知数列满足，记． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）因为 ， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ，也符合上式． 综上所述， （2）由（1）可知，， 则， 所以， 两式相减得 ， 故． 题型五 分组（并项）求和法 24．已知为等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前50项和. 【答案】(1)； (2)1670. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，即，解得， 所以. （2）由（1）得，令，解得， 当时，，则；当时，，则； 所以 . 25．已知等差数列的公差，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵等差数列中，成等比数列， ∴，∴ 化简得，∵，解得， 所以数列的通项公式为:. （2）数列的前n项和为， 所以，所以 , 所以答案为：. 26．数列满足：，． (1)数列满足：，试判断是否是等比数列，并说明理由； (2)数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【详解】（1）是等比数列，理由如下： 因为，故， 又，故， 因为，所以，故是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，所以， 所以， 所以 ． 27．已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，，得， 化简得，解得，， 所以数列的通项公式为. （2）由，得， 则 . 28．公差不为0的等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，, 因为，所以可解得，即. （2）因为， 所以， 因为 当为偶数时， ； 当为奇数时， ． 综上所述：. 29．已知数列的前n项和为，满足，数列是等比数列，公比，，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足，，其中，求数列的前2025项和． 【答案】(1)，； (2)8153. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，解得， 而，解得满足上式，所以； ，又，则，而，解得， 所以. （2）依题意，而， 因此数列的前2025项中，有数列的前10项，其余项都为1， 所以. 题型六 错位相减法 30．数列满足，.数列满足. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由，可得， 因，可得. 又因，则，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，满足，因此数列的通项公式为. （2）由（1）得，所以， 因此①， 则②， 相减得：， 因此. 31．已知数列的前项和为，且． (1)判断是否等比数列并证明； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)是，证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为 所以当时，，解得； 当时，， 所以，即， 所以，又． 所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，．所以， 则，① ，② ①-②有． 所以 32．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，即. ∵，∴数列是以2为首项、以2为公比的等比数列. ∴. （2）由（1）得，， 则， ， 相减得 ， ∴. 33．已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． (1)求{}和{}的通项公式； (2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：等差数列{}中，设公差为d， 则 数列{}中的前n项和为，且① 当时， 当时，② ②－①得： 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. （2）解：数列{}中，. 则 所以 故 所以 ∵对恒成立． 当为奇数时，， 当为偶数时， 综上：实数的取值范围为． 题型七 裂项相消法 34．已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和为 35．已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和. 【答案】(1)或； (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列， 所以，解得：或 当时，；当时，， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（）， 则， 所以 . 36．已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）由，当时，， 两式相减得，整理得， 又数列的各项均为正整数，则，即，， 又，解得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知，所以， 所以. 37．已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）（1）因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． （2）由（1）知， 所以 （3）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 38．数列各项均为正数，其前项和为，且满足 (1)求证：是等差数列，求及； (2)设，求数列的前项和，并求使对所有的都成立的最大正整数的值. 【答案】(1)证明见解析，， (2)，正整数的最大值为 【详解】（1），当时，， 整理得，，又， 数列为首项和公差都是的等差数列. ，又，， 时，， 又适合此式， 数列的通项公式为. （2）， ， 随着逐渐增大，逐渐增大， ，依题意有，，即，解得， 故所求最大正整数的值为. 39．设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【详解】（1）证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 （3） 所以 因为，所以 易知是关于的增函数，所以 综上 40．在①，；②这两个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要求写序号），并解答该题. 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有________. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)选①②，答案均为； (2)证明过程见解析 【详解】（1）选①，，， 因为， 所以， 因为数列的各项均为正数，所以，， 所以， 又，，所以为首项和公差均为1的等差数列， 所以，， 所以当时，，当时，， 显然满足， 综上，； 选②，①，当时，，解得， 当时，， 故， 又因为数列的各项均为正数，所以， 故，即， 又，故为首项和公差均为1的等差数列， 所以，解得， 所以当时，，当时，， 显然满足， 综上，； （2）由（1）知，，， ， 所以， 因为， 所以， 所以为递增数列，故的最小值为， 所以. 题型八 插项数列 41．已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，从以下三个条件中任选一个作答， ①；②；③；已知______，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)数列和的通项公式分别为， (2)选①，；选②，；选③ (3) 【详解】（1）在等差数列中，，又，解得， 公差，则； 设等比数列的公比为，，由，得， 即，解得，所以， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）选①，由（1）可得， 所以， 所以 所以， 两式相减得 所以； 选②， 则， 所以 所以； 选③， 则， . （3）依题意，数列：， 项为前的总项数为， 数列是递增的，当时，， 当时，， 因此数列的前项中，有数列的前项，有个， 所以. 42．正项数列满足，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足（，）. ①试确定实数的值，使得数列为等差数列； ②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）因为在数列中，，所以数列为等比数列， 设公比为，因为.，，显然不为1， 所以，， 又为正项数列，解得，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故； （2）①当时，可得，当时，得， 当时，得， 因为数列为等差数列，可得，可得， 当时，由，可得， 又由，当时，数列为等差数列； ②由题意知，，，， ，， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 ， 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去； 综上所述，满足题意的正整数仅有. 43．已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）法一：由，则时，故，则， 所以是公比为2的等比数列，又当时，解得， 所以； 法二：设公比为q，则，解得（舍）或， 由，则，所以； （2）因为，所以，则， ， ， 所以， 所以. 44．已知等差数列，是数列的前项和，满足，；数列各项都是正数，且满足，，. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，求的前2025项和. 【答案】(1)，； (2) (3)2583 【详解】（1）解：依题意，，，即，解得. 所以等差数列的通项公式， 所以，， 又因为，所以数列为等比数列， 所以，解得或（舍去）， 所以； （2）由已知，即， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， 所以， ， 当为偶数时，， 所以. ； （3）：， 从到共有项， 所以，当时，， ， ， ， . 【点睛】易错点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 45．已知等差数列满足：成等差数列，成等比数列. (1)求的通项公式： (2)在数列的每相邻两项与间插入个，使它们和原数列的项构成一个新数列，数列的前项和记为，求及. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为成等差数列， 所以有， 因为成等比数列， 所以， 所以； （2）由题意可知：在3和5之间插入2个3， 在5和7之间插入个， 在19和21之间插入个3， 此时共插入3的个数为：， 在21和23之间插入个3， 此时共插入3的个数为： ，因此， . 题型九 公共项型数列 46．等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 47．已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上． (1)求和的通项公式； (2)将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以， 又，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上， 所以，即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； （2）因为是所有的正偶数，又，所以， 所以 . 48．已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 【答案】(1) (2)682 【详解】（1）因为，， 所以，解得（负值舍去）， 所以． （2）设的第项与的第项相等， 则，即，． 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则． 故． 49．设为等差数列的前n项和，且，数列满足． (1)求和的通项公式； (2)若将数列和的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意得，解得， 所以由等差数列的通项公式可得：． 由得数列是首项为4，公比为4的等比数列， 所以由等比数列的通项公式可得： （2）令，则可得， 所以 ， 即对于数列中的任意一项，都在数列中存在公共项， 所以数列是数列的子数列，从而可得， 所以． 50．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 【答案】(1)，； (2)①；②9880. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则有，解得， 因此；由，得，而， 则数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）①由（1）知，，， 则，， 所以数列，的前4个公共项依次为. ②，而， 因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项， 所以剩下所有项的和为. 题型十 数列中的存在性问题 51．已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在, 【详解】（1）证明：根据条件可得， ， 数列是以为首项，1为公差为等差数列. （2） 数列为以为首项，1为公差的等差数列， ， ， ①， ②， ①-②得：， . （3）， 当时 ， 当时 ， 当时 ， 又，即 ， 当且仅当时，有. 52．已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）由，，两式相减，可得， 即得，又，得，， 故数列为等比数列，且首项为2，公比为， 所以. （2）由（1）知. 则①，可得， 当时，②， 由①-②：可得， 故得，显然不满足此式， 故. （3）因为， 时，则. 因为数列递增，则对任意恒成立 由，化简得， 即对任意恒成立，故 又因为，则，解得. 综上，的取值范围为. 53．已知数列满足（）. (1)若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； (2)设数列的前n项和为，如果，，求； (3)若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)前6项分别是，和为0 (2)986 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由可得， 故，， ，， 数列的前6项分别是， 前6项的和为； （2）由可得，， ， ，， ， 所以数列以6为周期的周期数列， 且， 由题意 ， 即，解得， 所以. （3）不存在，理由如下： 由题意，，，， 因为（），所以， 所以，，成等比数列，且公比， 所以，， 若存在，使得，则有， 而，则有，即，而， 因此不存在，使得. 54．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)对于（2）中的数列，问是否存在正整数，使得、、成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在正整数，理由见解析 【详解】（1），故， ，故，所以为首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以； （2）， 所以①，故②， 式子①-②得， 故； （3）不存在正整数，使得、、成等差数列，理由如下： 、、成等差数列，故， 即，即， 设，则， 当时，恒成立， 所以当时，数列为递减数列， 又， 故对所有正整数，均有， 所以不存在正整数，使得、、成等差数列. 55．已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式. (2)设，求数列的前项和. (3)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）由，得， 两式相减，得. 数列是等比数列， 又时，代入可得， ， （2）因为， 所以，①， 则②， ①-②得 ， 因此， （3）由题意得，即，故， 假设在数列中存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则， 即， ① 、、成等差数列，，则①式可化为，故. 这与题设矛盾，在数列中不存在三项，，（其中，，成等差数列）成等比数列 56．已知正项数列满足，且（）. (1)求的通项公式; (2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在. 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴，又数列为正项数列， ∴，即， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，则； （2）∵，则， 故 ∴， 则，故恒成立， ∴，解得， ∴存在满足条件. $$