猜想06 导数常考小题归类（考题猜想，10大题型）（期末复习专项训练）高二数学下学期人教B版

猜想06 导数常考小题归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 切线问题 · 题型二 函数的单调性问题 · 题型三 极值问题 · 题型四 最值问题 · 题型五 零点（实数根）问题 · 题型六 恒（能）成立问题 · 题型七 导数与对称问题 · 题型八 比较大小问题 · 题型九 由导函数构造原函数 · 题型十 同构问题 题型一 切线问题 1．已知函数，则在点处的切线方程为 . 2．过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．过点可作曲线的切线的条数最多为 . 4．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数 . 5．过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型二 函数的单调性问题8．如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 12．已知函数 在上不单调，则t的取值范围是 . 13．若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 14．定义:记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，已知函数，若为区间的凸函数，实数的取值范围是 题型三 极值问题 15．（多选）已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是的极小值 D．是的极小值 16．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A．3 B． C． D．9 17．已知成等差数列，函数在时有极值0，则 ． 18．函数有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 19．若函数与函数有相等的极小值，则实数 . 20．已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 题型四 最值问题 21．函数在上的最小值为 . 22．已知的最小值为0，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．若曲线在处有最值，则实数的值为     24．已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．某省高速公路实行智能化管理，其主线收费站的车流量由智能控制系统操控.经统计分析知，某收费站一天中通过的车辆数与时间拟合的函数关系为若不计其他因素，车流速度与的自动控制系统方程为（为常速），则下列说法错误的是（   ） A．当时，该时刻通过的车辆数最少 B．和是一天中车辆通过的两个极大峰值时刻 C．当时，自动控制系统方程为 D．当时，自动控制系统方程为 26．已知的最小值为 ． 27．已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 零点（实数根）问题 29．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 31．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知函数（）与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是（   ） A． B．2 C．1 D． 33．（多选）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 34．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 35．已知函数与在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为 ． 题型六 恒（能）成立问题 36．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．（多选）已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（    ） A． B． C．e D．2e 40．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是 ． 41．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 题型七 导数与对称问题 42．已知定义在上的函数（为常数）的导函数为，且同时满足下列两条性质：①；②．则函数的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 43．已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 44．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 45．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 46．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 47．（多选）设定义在R上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C． D． 题型八 比较大小问题 48．定义在上的函数，若，，，则比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 49．比较（为自然对数的底数）的大小为（    ） A． B． C． D． 50．下列大小比较中，错误的是（    ） A． B． C． D． 51．比较（为自然对数的底数）的大小为 ． 52．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 53．设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 54．比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型九 由导函数构造原函数 55．已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 56．已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 57．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 58．设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 59．设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 60．已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为 ． 61．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 题型十 同构问题 62．（多选）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 63．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为 . 64．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 65．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 66．若恒成立，则实数 ． 67．已知函数的值域为D，集合，若，则实数a的最大值为 ． 68．若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是 . $$猜想06 导数常考小题归类 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 切线问题 · 题型二 函数的单调性问题 · 题型三 极值问题 · 题型四 最值问题 · 题型五 零点（实数根）问题 · 题型六 恒（能）成立问题 · 题型七 导数与对称问题 · 题型八 比较大小问题 · 题型九 由导函数构造原函数 · 题型十 同构问题 题型一 切线问题 1．已知函数，则在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】，故， 故且， ，， 故切线方程为：，化简得. 故答案为：. 2．过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，则的重心的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，，的重心为，的方程为， 对求导可得. 故，的方程为， 将，代入的方程化简得. 同理的方程为， 两方程联立解得，. ，则， ， 故的重心的轨迹方程为. 故选：C. 3．过点可作曲线的切线的条数最多为 . 【答案】 【详解】设切点坐标为． 因为，所以，则切线斜率为， 所以切线方程为． 又点在切线上，所以，解得， 故过点可作条切线与曲线相切． 故答案为：. 4．若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数 . 【答案】 【详解】对于，，故切线斜率存在，于是，又， 解得或（舍去），于是，所以，所以. 故答案为：. 5．过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，设切点为，则切线斜率， 即，整理得， 设，由题意可知有3个零点，，显然， 由，得或， 因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号， 所以，所以，或. 故选：A. 6．与曲线和圆都相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】设直线与曲线相切于点， 则的方程为，即． 圆C：，因为与圆相切，所以， 所以， 令，则， 令，得或， 进一步得到在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，，所以在区间上分别有1个零点， 所以这样的切线有3条． 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据导数的几何意义和切线的性质得到方程后，将方程的根的个数转化为函数的零点个数，然后分析单调性求零点个数即可. 7．已知函数，，若存在两条不同的直线与函数和图像均相切，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，，不存在公切线， 当时，设直线与切于， 与切于， 又，， 则直线的斜率， 所以， 所以直线为，即， 直线也可以写成，即， 所以， 将代入可得，， 又，所以， 因为存在两条不同的直线与函数和图像均相切， 所以方程有两个不同的解， 设， 则， 当时，解得， 当时，解得， 所以， 又因为且无穷接近时，趋近正无穷； 当时，趋近正无穷； 函数的大致图象如下： 所以， 所以， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：A. 题型二 函数的单调性问题 8．如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的图象知，的单调性为：先增后减再增再减， 故的函数值先正，再负，再正，再负． 故选：A 9．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 10．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得定义域为， 当时，解可得，不满足定义域； 当时，令， 要使函数在区间内存在单调递减区间， 只需满足或. 由可得，，此时有； 由可得，，此时有. 所以，. 综上所述，. 故选：A. 11．已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由函数，可得， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 12．已知函数 在上不单调，则t的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 可知在，上单调递增，上单调递减， 若在上不单调， 则或，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 13．若函数恰有三个单调区间，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】函数定义域为R， 因函数恰有三个单调区间，则函数有两个极值点， 即在上存在两个不同的零点， 则判别式，解得或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．定义:记函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数，已知函数，若为区间的凸函数，实数的取值范围是 【答案】 【详解】由题意得，则在上单调递减， 令，则， 则，则，故， 令，则， 故在上单调递增，故， 则，故， 故实数的取值范围为. 故答案为： 题型三 极值问题 15．（多选）已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是的极小值 D．是的极小值 【答案】AC 【详解】由图可知，故A正确，B错误； 当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 当时，单调递增，. 所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 16．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【详解】由题得， 因为，是函数的极值点，则，是方程的两根， 所以，从而可得， 又因为等比数列，可得，且，所以. 故选：B. 17．已知成等差数列，函数在时有极值0，则 ． 【答案】21 【详解】， 由题意， 即，解得：或， 当时，，， 此时函数单调递增无极值，舍去， 经验证符合题意， 因成等差数列，所以. 故答案为： 18．函数有极值，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数定义域为，， 因为有极值，所以函数有变号零点，即有2个不相等的实数根， 所以， 故选：B． 19．若函数与函数有相等的极小值，则实数 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，且， 令可得，列表如下： 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，函数的极小值为， 函数的定义域为，则， 当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，无极值； 当时，由可得， 由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的极小值为，解得. 故答案为：. 20．已知为常数，函数有两个极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】，函数有两个极值点，则有两个零点， 即函数与函数的图象有两个交点，    当两函数图象相切时，设切点为，对函数求导， 则有解得 所以要使函数图象有两个交点，则即. 故答案为： 题型四 最值问题 21．函数在上的最小值为 . 【答案】1 【详解】由题设， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增， 所以在上的最小值为. 故答案为：1 22．已知的最小值为0，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则令， 令，则；令，则，且时，，则的取值范围为. 则的最小值为0，即的最小值为0，即， 则时，，则． 故选：A． 23．若曲线在处有最值，则实数的值为     【答案】1 【详解】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 故答案为： 24．已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出的图象，在上单调递增，在上单调递减， 且，则当时，，设， 则，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 所以面积的最大值为. 故选：A 25．某省高速公路实行智能化管理，其主线收费站的车流量由智能控制系统操控.经统计分析知，某收费站一天中通过的车辆数与时间拟合的函数关系为若不计其他因素，车流速度与的自动控制系统方程为（为常速），则下列说法错误的是（   ） A．当时，该时刻通过的车辆数最少 B．和是一天中车辆通过的两个极大峰值时刻 C．当时，自动控制系统方程为 D．当时，自动控制系统方程为 【答案】D 【详解】对于选项A，当时，为递减函数，故 ； 当 时，，求导得 ， 令得或，令得， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减， 所以为极小值点，为极大值点，计算得 时 时 ， 又 时 时 ，此时 当－10 为开口向下的抛物线，顶点 时 ，端点 和 时 ，此时 综上可知，，此时 ，故选项A正确； 对于选项B，由A可知，j 为函数的极大值点，故选项B正确； 对于选项C，由A可知在上单调递减，故当 时，自动控制系统方程应为 ，故选项C正确； 对于选项D，由A可知在上单调递减，故当时，自动控制系统方程应为 ，而非 ，选项D错误. 故选：D 26．已知的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，对称轴为：， 则， 设，则． 当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 所以， 即的最小值为． 故答案为： 27．已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意. 所以，由题意可得，则，解得， 因此，. 故选：C. 28．（湖北省十堰市2025届高三五月份适应性考试数学试题）若函数在定义域上的最大值为，则当ab取得最小值时，实数 . 【答案】 【详解】因为且定义域为，则， 当时，恒成立，则在定义域上单调递增，不存在最大值，故舍去； 当时，有，有， 所以在单调递增，在单调递减， 所以在处取得最大值，即， 所以，， 令，则， 令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，． 故答案为： 题型五 零点（实数根）问题 29．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为. 对求导，可得：. 当时，在上，，即，所以在上单调递减，此时不可能有两个零点. 当时，令，即，因为，所以，解得（负根舍去）. 当时，，，在上单调递增； 当时，，，在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 因为当和时，，要使有两个零点，则，即. 因为，不等式两边同时除以得，即. 根据对数函数的单调性，在上单调递增，所以，两边同时平方可得，解得. 的取值范围是. 故选：D. 30．若函数，则的零点个数为（    ）. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】令，则，所以， 解得，解得或， 当时，，求导得， 令，则，解得， 若时，，若，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，， 当时，在上单调递增，且， 所以有3个解，有2个解， 所以的零点个数为5个. 故选：D. 31．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为． 由，得， 则不等式恰有1个整数解． 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，所以当时，，当时，， 易知为过原点的一条直线， 在同一直角坐标系中，分别作出与函数的图象，如图所示． 要使不等式恰有1个整数解， 则，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 32．已知函数（）与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的值可以是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】函数关于y轴对称的函数表达式为， 只需要方程有正根，方程可化为． 令，有， 令，有， 可得函数单调递减，则， 可得函数单调递减，有． 由函数是由函数平移过来的， 故方程有正根时，只需要函数与x轴的正半轴有交点，即方程的根，则实数a的取值范围为． 故选：D． 33．（多选）设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（    ） A． B．函数的对称中心为 C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 【答案】ABD 【详解】由，令，解得：或， 在上单调递增，在上单调递减. 对于A，若有3个零点，则，解得：，故A正确； 对于B，令，则，令， 令，得，又所以对称中心为，故B正确； 对于C，结合图象，过引曲线的切线有2条，故C错误； 对于D， ， （*） 若成等差数列，则，则， 代入（*）得：，故D正确. 故选：ABD. 34．已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，其中，则函数在上为单调递增函数， 且当时，函数，且， 可得方程的实根，则， 又由，可得，即， 构造新函数，可得， 所以在上为单调递增函数， 可得， 因为实数是方程的实根，则，即， 其中，所以，即，所以C正确，D不正确. 令，可得，为单调递增函数， 由，即， 所以，又由，且，所以，所以A、B不正确. 故选：C. 35．已知函数与在区间上的图象有两个公共点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】问题转化为在区间上的图象有两个解, 即, 令, , 当时，单调递减； 当时，单调递增； ，又， 因为直线与在区间上有两个公共点， 所以， 故答案为：. 题型六 恒（能）成立问题 36．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：  令， 则． 因为，所以必有，所以． 当时，， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，实数的取值范围为． 故选：B． 方法二：，则，令，解得， 所以在上，，单调递减，在上，，单调递增． 把的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，如图1， 因为函数的图象在处的切线方程为， 所以，所以实数的取值范围为． 故选：B 37．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：因为， 所以原不等式转化为． 又与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以该函数在时取最小值，最小值为0， 此时，即，解得， 即的取值范围是． 解法二：因为， 所以原不等式等价于． 当时，不等式不成立； 当时，不等式变形为， 记，则， 所以在单调递增，得，即，解得， 故的取值范围是． 故选：D 38．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 39．（多选）已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（    ） A． B． C．e D．2e 【答案】BCD 【详解】解析  由题知，不等式对任意恒成立， 设，则，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 当时，，，∴当时.直线恒过点， 设直线与的图像相切时，切点为，∴，解得或， ∴直线与的图象相切时，切线斜率分别为，， 在同一坐标系中作出函数的图象与直线，由图知，要使对恒成立，则， 故选：BCD.    40．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 且时，恒成立，故的图象如图所示， 因为，，故， 又，因为,所以, 因为有且仅有一个整数，使得点在直线上方，故， 故答案为：. 41．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 因为，则有： 若，则，可得，则； 若，则，可得； 综上所述：，可知在内单调递增， 则， 若对任意的，恒成立，则， 构建，则， 可知在内单调递增， 由可得， 且，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型七 导数与对称问题 42．已知定义在上的函数（为常数）的导函数为，且同时满足下列两条性质：①；②．则函数的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】定义域为，由，得为奇函数， 由得的对称轴为，即， 可得，则， 进而得到，所以的周期为8， 由为奇函数可知为偶函数， 综上，是关于中心对称且周期为8的偶函数，可取． 故答案为：（答案不唯一）. 43．已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【详解】解：因为为偶函数，，所以， 对两边同时求导，得， 所以有，所以函数的周期为8， 在中，令，所以， 因此，因为为偶函数， 所以有（1）， （2）， 由（1），（2）可得： ，所以， 故选：D． 44．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，即，令，得，故A正确． 因为，所以当时，，所以的图象关于点对称，故B正确． 对于C，假设成立，求导得，即， 又，所以，所以与矛盾，故C错误． 对于D，因为， 所以，，又，所以， 又，所以数列的奇数项是以0为首项，为公差的等差数列， 数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，又，， 所以数列是以0为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，故D正确． 故选：C． 45．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】ACD 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A正确； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B错误； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：ACD. 46．（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】AB 【详解】由，可得，则， 令，得，A正确． 令，则，故为偶函数，B正确． 假设的图象关于点对称，则，则，即关于直线对称，又不是常函数，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确． 因为的图象关于点对称，所以，令，则， 则（C为常数），则， 从而，即， 由，得，D错误． 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：根据对称得，进而可得，求导可得，从而得. 47．（多选）设定义在R上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对A，因为，所以， 则， 又因为， 所以， 令，则，解得， 所以，则函数的图象关于对称，A错误； 对C，因为为奇函数，所以函数的图象关于点对称， 即， 令，则有， 又因为函数的图象关于对称，所以， 中令，则有， 令，则有，所以， 又因为， 则，所以函数是以4为周期的周期函数， 所以，C正确； 对B，，所以是周期为4的周期函数， ，B正确； 对D， ，D正确， 故选：BCD. 题型八 比较大小问题 48．定义在上的函数，若，，，则比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对数函数性质知，， 所以， 恒成立，在上是增函数，所以． 故选：C． 49．比较（为自然对数的底数）的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，构造函数， 所以， 当时 所以在上递增， 因为 所以 故选A. 【点睛】本题主要考查了比较数的大小，构造函数，导数与函数的单调性等问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 50．下列大小比较中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项D,构造函数，所以， 所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以.（当且仅当时取等） 则令，则，化简得，故， 故，故，所以选项D错误； 对于选项A，， 在中，令，则，化简得，故， 所以. 所以，所以选项A正确； 对于选项B,在中，令，则，所以，所以选项B正确； 对于选项C, 所以，所以选项C正确. 故选：D 51．比较（为自然对数的底数）的大小为 ． 【答案】 【详解】根据题意，构造函数，所以， 当时 所以在上递增， 因为 所以 故答案为：. 【点睛】本题考查构造函数法解决导数问题，涉及利用单调性比较函数值的大小，属综合中档题. 52．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，则，即， ，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得，即； ，则，即， 综上所述，， 故选：A． 53．设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 【答案】 【详解】由， 设函数，则， 当时，单调递减， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 54．比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】构造函数，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 所以，， 所以，， 令，其中， 则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 所以，，即， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，则，则， 所以，， 综上所述，. 故选：D. 题型九 由导函数构造原函数 55．已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 因为，则，所以， 则在区间上单调递减， 又，由，得到，所以， 解得， 故选：D. 56．已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以，即在上单调递增， 又，所以， 故当时，，即， 整理得，两边同除以，即可得， 所以当且仅当时，， 所以的解集为. 故选：B. 57．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，，则. 因为在上恒成立，所以在上恒成立. 即在上单调递增. 又. 所以. 即不等式的解集为. 故选：A 58．设、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 【答案】 【详解】、分别是定义在上的奇函数和非零偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，又函数在上是奇函数， 所以在上单调递增，且， ，， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 的解集是，即的解集是． 故答案为：． 59．设 为 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 【答案】 【详解】令，所以当时， ， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上单调递减，故在上单调递减且 ， 不等式可化为，即，即 ，故 ， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 60．已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由得：． 令， 则， 所以函数在上单调递增. 又因为，为奇函数， 所以，， 则由可得：，即，解得： 故答案为：． 61．已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则， 可知在上为减函数，而， 在上，，，所以 ； 在上，，，而，； 可得在上， 又因为是定义在上的奇函数，则在上，， 不等式等价于或 ，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为：. 题型十 同构问题 62．（多选）若不等式恒成立，则实数a的取值可能是（   ） A． B． C．2 D．e 【答案】AB 【详解】由可得， 进而得， 记，,由于函数为上的单调递增函数， 由可得， 因此，即在恒成立。 因此，故AB均符合，CD不符合， 故选：AB 63．若对于任意，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 可得：， 即， 构造函数，易知单调递增， 所以， 等价于在恒成立， 即在恒成立， 构造函数， ，易得时，， 时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 即实数的取值范围是， 故答案为： 64．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得对任意的恒成立， 构造函数，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数， 由可得，可得，则， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为减函数，则，故. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 65．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【详解】由，不等式， 又，令，求导得，在上单调递增， 不等式， 依题意，，恒成立，令，求导得， 当时，；当时，，在是递增，在上递减， 因此当，函数取得最大值，则，即， 所以实数m的最小值为． 故答案为： 66．若恒成立，则实数 ． 【答案】/ 【详解】因为恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，则恒成立， 又，则在上单调递增， 可得恒成立，即恒成立， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立（当且仅当时取等号）， 所以，解得 故答案为： 67．已知函数的值域为D，集合，若，则实数a的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题知，，， 若，则存在， 使得，即存在，使得， 即，即， 令，易知函数在上单调递增， 所以，即，即， 由题意，只需， 令，则， 令，则；，则； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，故，所以实数a的最大值为． 故答案为： 68．若存在，使得不等式成立，则正数的取值范围是 . 【答案】 【详解】设函数， 根据求导公式可得：， 时，，，所以，在上单调递增， ，且在上单调递增， 在有解，即在有解， 设，则， 令， ， 所以，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值，， ，由于是正数，所以的取值范围是. 故答案为：. $$