衔接点01 运算与技巧-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

衔接点01 运算与技巧 学习要求 1 知识衔接 2 题型探究 3 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 3 题型2、巧分组法 11 题型3、换元法 15 题型4、分数裂项计算 18 题型5、数列求和（等差、等比数列） 26 题型6、运用乘法公式运算 32 题型7、利用图形特征简算 35 基础通关 45 拓展提优 62 小学阶段 初中阶段 主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 数域扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个质的飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接指引 小学阶段主要针对于正数和零的简单四则混合运算，要求学生熟练地掌握运算顺序，提高计算的正确率和准确率，按题目中要求完成即可。 初中阶段难度和深度进一步提升，不仅将数的范围扩充到实数域，还需要在运算法则和符号法则上多加深入考虑，在运算方法和技巧上，对于具有不同特征点的题目，也有不尽相同的处理方法，掌握多种运算方法并综合起来灵活运用，对于有理数的运算有事半功倍之效。对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2024·河南周口·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。     857×1.9－8.57×80－85.7      【答案】；857 3；1 【分析】（1）先计算括号里的减法，原式化为：÷＋0.8÷，再把除法换算成乘法，原式化为：×＋0.8×，再根据乘法结合律的逆运算，原式化为：（＋0.8）×，进行计算； （2）把8.57×80化为857×0.8；85.7化为857×0.1，原式化为：857×1.9＋857×0.8＋857×0.1，再根据乘法分配律逆运算，原式化为：857×（1.9－0.8－0.1），再进行计算； （3）先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法； （4）把分母567×345＋222中的567化为566＋1，化为：（566＋1）×345＋222，再根据乘法分配律，原式化为566×345＋1×345＋222，再根据加法结合律，原式化为：566×345＋（354＋222）；最后化为：566×345＋567，再进行计算。 【详解】（1－）÷＋（13.8－13）÷ ＝÷＋0.8÷ ＝×＋0.8× ＝（＋0.8）× ＝（0.2＋0.8）× ＝1× ＝ 857×1.9－8.57×80－85.7 ＝857×1.9－857×0.8－857×0.1 ＝857×（1.9－0.8－0.1） ＝857×1 ＝857 ÷[（＋）×] ＝÷[（＋）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝3 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 例2．（2024·全国·小升初模拟）脱式计算。            【答案】25.4；；； 【分析】（1）利用乘法的分配律，提出25.4。 （2）减法的简便计算，减去两个数的和相当于同时减这两个数。 （3）先将带分数转化为假分数。再分数的除法转化为乘法，除以一个分数等于乘这个数的倒数。能约分的要先约分。分母的数值太大，不需要算出来，可以进行化简转化，将能约分的进行约分后进行计算。 （4）对式子观察发现，可以将式子进行转化，例：发现可以利用乘法的分配律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝25.4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 例3．（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（）÷（） 【答案】 【分析】先算小括号的加法，再算除法。 【详解】原式＝（）÷（） ＝2016（2012） ＝20162012 变式1．（2024·山西吕梁·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 0.25×5.32×4         【答案】5.32；1110； 【分析】（1）根据乘法交换律a×b＝b×a把0.25×5.32×4变成0.25×4×5.32，再按顺序计算； （2）把改写成，然后根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），把变成，再按顺序计算； （3）根据乘法交换律a×b＝b×a把变成，再按顺序计算。 【详解】（1）0.25×5.32×4 ＝0.25×4×5.32 ＝1×5.32 ＝5.32 （2） ＝10＋100＋1000 ＝1110 （3） 变式2．（2024·河南南阳·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。                                     【答案】；29； 0.75； 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法； （2）先交换“”和“”的位置，然后根据加法减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把变成，再按顺序计算； （3）先把、25%变成0.25，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （4）先把2024拆成2023＋1，然后根据乘法分配律计算（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 变式3．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）计算。      （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） 【答案】8；166680 【分析】先把括号里的分数化成小数，把括号外的分数化为，原式变为：（11.75－4.15＋1.25－0.85）＋，再根据加法交换律和减法的性质把括号的式子变为：（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）进行简算，再进一步计算即可。 根据题意，这五个数每个数位上都是有1，2，3，4，5；把个，十，百，千，万单个拿出来都是1＋2＋3＋4＋5，然后再根据乘法分配律进行简算即可，最后再加上1＋2＋3＋4＋5即可。 【详解】   ＝（11.75－4.15＋1.25－0.85）＋ ＝（11.75＋1.25）－（4.15＋0.85）＋ ＝13－5＋ ＝8＋ ＝8 （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） ＝（1＋2＋3＋4＋5）×（10000＋1000＋100＋10＋1）＋15 ＝15×（10000＋1000＋100＋10＋1）＋15 ＝15×10000＋15×1000＋15×100＋15×10＋15＋15 ＝150000＋15000＋1500＋150＋15＋15 ＝166665＋15 ＝166680 变式4．（2023·陕西西安·小升初真题）计算。                          【答案】108；40 1；4 【分析】先把算式化简成，然后运用乘法分配律进行计算即可； 先把算式化简成，然后运用乘法分配律进行计算即可； 先把百分数化成小数，再算小括号里的加法，再算小括号外的乘法，然后算中括号里的减法，最后再计算中括号外的除法。 先观察分子和分母的算式，把算式化简成      ，后通过乘法分配律进行计算，最后再约分化即可。 【详解】 题型2、巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分数的加减法计算，根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． 【详解】解： ． 例2．（24-25六年级下·江苏·单元测试）计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 【答案】101 【分析】通过仔细观察，此题可运用加法交换与结合律，两两结合，分成126÷5＝25组……1，每组的结果为4，最后加上剩余1，解决问题。 【详解】（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） ＝1＋（6－2）＋（11－7）＋（16－12）＋…＋（126－122） ＝1＋4×25 ＝1＋100 ＝101 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋2013－2014－2015＋2016+2017-2018-2019+2020+2021-2022-2023+2024． 【答案】0 【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果． 【详解】解：1﹣2﹣3＋4＋5﹣6﹣7＋8＋…＋2021﹣2022﹣2023＋2024 ＝（1﹣2﹣3＋4）＋（5﹣6﹣7＋8）＋…＋（2017﹣2018﹣2019＋2020）＋（2021﹣2022﹣2023＋2024） ＝0． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算以及加法结合律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算；把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解：原式 ． 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题，写出计算过程和结果． （1）    （2） 【答案】（1）；（2）2050 【详解】（1） ＝ ＝ ＝25＋ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2050 变式2．（2024六年级下·全国·专题练习）计算。 1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋28＋29－30 【答案】135 【详解】1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋28＋29－30 ＝（1＋2－3）＋（4＋5－6）＋（7＋8－9）＋……＋（28＋29－30） ＝0＋3＋6＋……＋27 ＝3×（1＋2＋3＋……＋9） ＝3×45 ＝135 【点睛】此题考查简便算法，认真观察算式找出数字和符号的特点，寻找合适的方法来计算。 变式3．（2024六年级下·全国·专题练习）计算下题。 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋8＋7—6—5＋4＋3—2—1 【答案】1000 【详解】 变式4．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。 【答案】 【详解】 ＝（1＋2＋4＋…＋256＋512）＋（） ＝1023＋（） ＝1023＋ ＝ 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养．整体思想 阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为为，则原式． 请用上面的方法计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法和整体思想的应用，并考查学生观察分析的能力，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解答本题的关键． （1）根据题意设为为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设设为为，原式变形后计算即可求出值. 【详解】解：（1）设为为， 则原式； （2）设为为， 则原式． 例2．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 【答案】 【详解】设＝a， 原式化为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋） ＝a＋＋a2＋－a－ a2－ ＝ 变式1．（2024六年级上·辽宁·专题练习）算一算。 （1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） （2） 【答案】； 【分析】（1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）可以设最短的式子为a，次短的式子为b，则设＋＋＝a；＋＋＋＝b，即原式变为：（1＋a）×b－（1＋b）×a，之后运用乘法分配律即可化简，再代入式子即可求解； （2）可以设＝a，＝b，即原式变为：（1＋a）×b－（1＋b）×a，之后运用乘法分配律即可化简，再代入式子即可求解； 【详解】（1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） 设＋＋＝a；＋＋＋＝b 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝b＋ab－a－ab ＝b－a 将＋＋＝a；＋＋＋＝b代入得： 原式＝（＋＋＋）－（＋＋） ＝＋＋＋－－－ ＝ （2） 设＝a，＝b 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝ b＋ab－a－ab ＝b－a 将＝a，＝b代入式子 原式＝－ ＝ 变式2．（2024六年级下·全国·专题练习）计算。 【答案】 【点睛】本题考查了分数的简便计算，要观察算是特点，找到合适的方法。 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据裂项相消可得结果； （2）仿照解析（1）采用裂项的方法进行解答即可； （3）根据裂项相消可得结果； 解题的关键是熟练掌握裂项的方法，准确计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）能简算的要简算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算：通过观察可知分子分母的差为1，先写成1加减分数单位，整数分组计算，分数简算时，根据裂项公式先拆分，再简算． 【详解】解：原式 ． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算及乘法运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用，将带分数分为整数和分数分别进行计算，将分数进行变形，简化计算． 【详解】解：原式 ． 例4．（23-24六年级下·四川成都·期末）选择适当的方法计算。 【答案】 【详解】（4） ＝－＋－……＋－ ＝＋－（＋）＋＋－……＋＋－（＋） ＝＋－－＋＋－……＋＋－－ ＝－ ＝ 例5．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题。 （1）        （2） 【答案】； 【分析】（1），，……，可得规律：，据此计算即可； （2）根据及裂项消去法代入化简即可。 【详解】（1） （2） 变式1．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式2．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 【答案】 【详解】 ＝1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－ ＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1－－－－－－－－－ ＝9－（＋＋＋＋＋＋＋＋） ＝9－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝9－（1－） ＝9－ ＝ 变式3．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。                  【答案】 【分析】，把原式×，原式化为：×（＋＋＋＋），再把化为－，化为：－，化为－，化为－，化为－，原式化为：×（－＋－＋－＋－＋－），再进行计算； ，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，再化为：（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋），再把化为1－，化为－，化为－，化为－，化为－，化为－，原式化为：6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－），再进行计算； ，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，原式化为：（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋），再把（＋＋＋＋）×，原式化为：5＋×（＋＋＋＋），再把化为－，化为－，化为＋，化为－，化为－，原式化为：5＋×（－＋－＋＋＋－＋－），再进新计算； ，把原式化为：（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－）；去掉括号，原式化为：1×99－（＋＋＋…＋），再把化为，化为，＝，……，化为，原式化为：1×99－（＋＋＋…＋），再把化为1－，化为－，化为－…化为－，原式化为：1×99－（1－＋－＋－＋…＋－），最后化为：1×99－（1－），再进行计算。 【详解】 ＝×（＋＋＋＋） ＝×（－＋－＋－＋－＋－） ＝×（－） ＝× ＝ ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋） ＝6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝6＋（1－） ＝6＋ ＝ ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋） ＝5＋×（＋＋＋＋） ＝5＋×（－＋－＋＋＋－＋－） ＝5＋×（－） ＝5＋× ＝5＋ ＝ ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－） ＝1×99－（＋＋＋…＋） ＝1×99－（1－＋－＋－＋…＋－） ＝1×99－（1－） ＝99－ ＝ 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 【答案】885 【详解】 ＝＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋…＋（＋＋＋…＋） ＝＋1＋＋2＋…＋ ＝＋＋＋＋…＋ ＝ ＝ ＝885 例2．（2024·全国·小升初模拟）脱式计算，能简算的要简算。 【答案】 【详解】 例3．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） 【答案】（1）1001；（2） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ 例4．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，明确题意，发现图形和数字得变化规律是解题的关键． （1）仿照阅读材料求解即可； （2）仿照阅读材料求解即可； （3）根据有理数乘方的意义，表示出，然后寻找到规律即可解答． （4）根据(1)的方法，进行计算即可． 【详解】（1）解：设① 将等式①的两边同时乘以3得： ② 由②-①得：， ∴，即． （2）解：设①， 将等式①的两边同时乘以，得：②， 由①-②得：， ∴，即； （3）解：； 故答案为：； （4）解：根据题意得：① 设， 可得：②， ①-②得：， ∴ ∴． 变式1．（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110） 【答案】 【分析】去掉括号后，利用加法交换律，将10个1相加，剩下的项相加，而剩下的10项分别是的1倍，2倍，3倍，……，10倍，所以提取，利用乘法分配律进行巧算，最后将这两组的和相加得到原式的结果。 【详解】 变式2．（2024·四川·小升初真题）计算。 【答案】 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式3．（23-24七年级上·福建·期末）阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可设M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=， 即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值． （1）1+4+42+43+…+420． （2）5101+5102+5103+…+52026． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题目信息，设S=1+4+42+43+…+420 ，求出4S，然后相减计算即可得解； （2）设P=5101+5102+5103+…+52026，求出5P，两式相减计算即可得． 【详解】解：（1）设S=1+4+42+43+…+420 ①，     则4S=4+42+43+…+420+421②，          ②﹣①得：3S=421﹣1，         ∴S=，                          即1+4+42+43+…+420=； （2）设P=5101+5102+5103+…+52026①，         则5P=5102+5103+…+52026+52027②， ②﹣①得：4P=52027﹣5101， ∴P=， 即5101+5102+5103+…+52026=． 【点睛】本题考查有理数的乘方和数字的变化类，读懂题目信息，解题关键是理解求和的运算方法． 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2). 【答案】(1)100； (2)4 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 例2．（2024六年级·全国·竞赛）计算： 【答案】50.5 【分析】本题分别化简分数的分子与分母，求出结果后，就比较好计算了。 分子用到平方差公式即化简分子： ，最后发现分子是等差数列求和，根据等差数列的求和公式：Sn＝（首项＋末项）×项数÷2可以简便的计算出和。 同理分母也是等差数列求和。分别计算，达到简算目的。 【详解】 【点睛】此题为计算题，难度较大，但只需认真分析，化繁为简。灵活运用乘法分配律、分数裂项，高斯求和等一些方法达到更加简便的运算。 例3．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算题：   【答案】330 【分析】分母部分利用完全平方公式：化简；分子部分观察数字规律，将66×22改写成33×44，再提取公因数进行简便运算； 【详解】 变式1．（2024·山东·六年级培优）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)9996；(2)9801；(3) 【分析】（1）根据，计算求解即可；（2）根据，计算求解即可． （3）处理数字以后再运用乘法的分配律和完全平方公式进行简算，； 【解析】 (1)解：． (2)解：． (3)原式 【点睛】本题考查平方差公式与完全平方公式的应用．解题关键在于熟练掌握平方差公式与完全平方公式． 变式2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据乘法分配律的逆运算法则把原式变形为，再利用完全平方公式求解即可 【详解】解： 变式3．（23-24七年级下·重庆·阶段测试）计算： 【答案】 【分析】先根据把原式裂项，进而得到，再利用平方差公式化简求解即可 【详解】解： 题型7、利用图形特征简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）我们通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 【答案】探究三：图见见解析； 解决问题：图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可； 解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式 (2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以即可得解； (3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解． 【详解】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分， 其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， 阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分， …， 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分， 所有阴影部分的面积之和为：， 最后的空白部分的面积是， 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以3，得； 解决问题： （1） 故答案为： （2）， 故答案为：； （3）拓广应用： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解题的关键． 变式1．（23-24七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 【答案】探究三：见解析；解决问题：，；拓广应用： 【分析】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． 解决问题：利用规律解决问题即可． 拓广应用：用转化的思想解决问题即可． 【详解】解：探究三 第次分割图如图所示：    所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第次分割图可得等式； 两边同除以3，得； 解决问题 根据前面探究结果： ， ， ． 根据第次分割图可得等式，， 所以． 拓广应用 ． 【点睛】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 变式2．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 【答案】（1）；（2）①，②；（3），图和过程见解析 【分析】（1）根据给定的计算方法，进行计算即可； （2）①根据已有点阵图，得到第个点阵图中点的个数为，再进行计算即可；②根据规律进行计算即可； （3）将一个面积为1的正方形分割为和两部分，再将正方形的分割为和两部分，，依次进行分割，再进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）由点阵图可知：个数时和为， 个数时和为， 个数时和为， ， 个数时和为． ∵中有个数， ∴． ∵中有个数， ∴． 故答案为：；； （3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为， 第次将正方形分割为和两部分， 第次将正方形的分割为和两部分， •••，以此类推， 第次分割后，剩余的面积为， 那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：， ∴． 【点睛】本题考查图形的规律探究，有理数的混合运算，数形结合思想．解题的关键是将代数问题转化为几何图形，利用数形结合的思想，进行简便运算． 1．（2024·河南驻马店·小升初真题）用你喜欢的方法计算。          52×3.7＋37%×260＋0.22×370           【答案】5；370； 31.25；1.2 【分析】（1）先计算小括号里的加法，然后计算中括号里的乘法，再算中括号里的减法，最后算中括号外的除法； （2）（3）两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，积不变，这叫做乘法分配律，根据乘法分配律简便计算； （4）先计算两个括号里的除法和乘法，然后算前面括号里的减法，最后算除法； 【详解】（1） ＝[－]÷1.6 ＝[－]÷1.6 ＝8÷1.6 ＝5 （2）52×3.7＋37%×260＋0.22×370 ＝52×3.7＋3.7×26＋22×3.7 ＝（52＋26＋22）×3.7 ＝100×3.7 ＝370 （3）×7.4－＋3.6×3.125 ＝3.125×7.4－3.125＋3.6×3.125 ＝（7.4－1＋3.6）×3.125 ＝10×3.125 ＝31.25 （4） ＝ ＝（9.6－8.4）÷1 ＝1.2÷1 ＝1.2 2．（2024·广西柳州·小升初真题）计算题。                        0.125×32×78.5× 139×137×                 [）]÷ 【答案】；78.5； 138； 【分析】第一题根据四则运算顺序先算乘法，再算减法，最后算加法； 第二题先将32看成4×8，再利用乘法的交换律和结合律进行简便计算； 第三题把139看成138＋1，把137看成138－1，然后分别利用乘法分配律进行简便计算； 第四题根据四则运算顺序先算小括号里的减法，再算中括号里的加法，最后算括号外的除法。 【详解】 ＝ 0.125×32×78.5× ＝0.125×（4×8）×78.5× ＝（0.125×8）×（4×）×78.5 ＝1×1×78.5 ＝78.5 139×137× ＝（138＋1）×（1381）× ＝138×＋138× ＝138＋ ＝138 [）]÷ ＝[）]× ＝[]× 3．（2024·四川绵阳·小升初真题）能简算的要简算。                                            【答案】11； 33；2 【分析】（＋－）÷，先根据分数除法将除以改成成24，然后根据整数乘法运算定律推广到分数，利用乘法分配律简便计算； ÷7根据分数除以计算即可； （＋＋＋）×（2－），根据整数加法运算定律推广到分数，先利用加法交换律和结合律计算出第一个小括号里的结果，再利用乘法分配律简便计算即可； （＋）÷，先将和约分，然后根据整数乘法运算定律推广到分数，利用乘法分配律简便计算即可。 【详解】（＋－）÷ ＝（＋－）×24 ＝×24＋×24－×24 ＝12＋3－4 ＝15－4 ＝11 ÷7 ＝÷7 ＝× ＝ ＝ （＋＋＋）×（2－） ＝（＋＋＋）×（2－） ＝[（＋）＋（＋）] ×（2－） ＝[5＋15]×（2－） ＝20×（2－） ＝20×2－20× ＝40－7 ＝33 （＋）÷ ＝（＋）÷ ＝（＋）÷ ＝÷＋÷ ＝1＋1 ＝2 4．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题。            9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 【答案】2；1111104 【分析】先将分数转化为小数，转为小数就是0.25，转化为小数是0.05，再利用积的变化规律，即2.5×0.3825＝0.25×4.825，38.25×0.05＝3.825×0.5，再根据乘法的分配律提出3.825，将剩下数相加，最后得出结果是3.825，再减去1.825。 将9看成10－1，99看成100－1，999看成1000－1，9999看成10000－1，99999看成100000－1，再将这些数相加，最后利用交换律，将10、100、1000、10000、100000、1000000相加，将剩下的1相加，最后相减即可。 【详解】 9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 ＝10－1＋100－1＋1000－1＋10000－1＋100000－1＋1000000－1 ＝（10＋100＋1000＋10000＋100000＋1000000）－（1＋1＋1＋1＋1＋1） ＝1111110－6 ＝1111104 5．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 【答案】0 【分析】运用乘法分配律，原式＝－＋－－－＋3，再运用“带符号搬家”的方法，把分母相同的分数放在一起，最后用“添括号”的方法把同分母分数相加减进行简算。 添括号方法：如果括号前面是加号，括号里面不变号；如果括号前面是减号，括号里面的加号要变成减号，减号要变成加号。 【详解】1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 ＝－＋－－－＋3 ＝3－＋－－－＋ ＝3－（－）－（＋）－（－） ＝3－1－1－1 ＝0 【点睛】运用乘法分配律去掉括号，再根据“带着符号搬家”和“添括号”的方法，把分母相同的分数相加减是解题的关键。 6．（23-24六年级下·安徽蚌埠·期末）用简便方法计算。 100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1 【答案】100 【分析】观察算式，100－98＝2；99－97＝2；96－94＝2；95－93＝2；4－2＝2；3－1＝2；因此直接用2乘2的个数即可，每两个数为一组，先计算出1－100里面有多少组，100÷2＝50（组），因此直接用2乘50即可。 【详解】100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1 ＝（100－98）＋（99－97）＋（96－94）＋（95－93）＋…＋（4－2）＋（3－1） ＝2×50 ＝100 7．（2024·河南平顶山·小升初真题）计算下面各题，能简便的用简便方法计算。 （1）10－0.34－0.66                （2） （3）             （4） 【答案】（1）9；（2）6 （3）；（4） 【分析】（1）根据减法的性质把原式化为10－（0.34＋0.66）进行简算； （2）根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把（＋）×8化为×8＋×8，再根据加法结合律化为5＋（＋）进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为－＋－＋－＋－＋－＋1－，通过消项简算。 【详解】（1）10－0.34－0.66 ＝10－（0.34＋0.66） ＝10－1 ＝9 （2） ＝×8＋×8＋ ＝5＋（＋） ＝5＋1 ＝6 （3） ＝×[÷] ＝×[×8] ＝×3 ＝ （4） ＝－＋－＋－＋－＋－＋1－ ＝1－ ＝ 8.（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算： 【答案】 【分析】根据题目式子的特点，将式子变形，然后裂项作差即可求得所求式子的值． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的加减法的简便运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特点，裂项作差解答． 9．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)153；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的混合计算，平方差公式： （1）根据有理数的四则混合计算法则求解即可； （2）把原式变形为，再去括号约分即可得到答案； （3）根据题意可得原式，据此求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 10．（2023·四川成都·小升初真题）用灵活而合理的方法计算。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）100；（3）1；（4）5050 【分析】（1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将1.25化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为381＋1，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1。 （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为100＋99＋98＋97＋96＋…＋1，然后首尾依次相加，将算式变为（100＋1）×50进行简算即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 11．（2024七年级·全国·专题练习）计算的值． 【答案】 【分析】设原式可变形为化简后即可求解． 【详解】解：设，则原式 ． 【点睛】本题考查了特殊分式值化简，熟练掌握设特殊值法是解决本题的关键． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)1； (2)5151 【分析】题目主要考查利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用平方差公式进行因式分解，然后求解计算即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，然后求解计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 13．（2023六年级·全国·竞赛）计算： 【答案】20 【分析】6个括号里面内容的差再相加，可以直接去掉括号，应用加法的交换律，用6个整数相加的和减去6个同分母分数相加的和，据此解答。 【详解】 【点睛】本题考查四则混合运算的简便算法，灵活应用加法的交换律及去括号原则是解题关键。 14．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算题。 【答案】；；5055；3 【分析】第一、第二小题，利用公式“”，可以简算； 第三小题，利用公式：1＋2＋3＋…＋n＝n（n－1），即可简算。 第四小题，观察算式发现，原式等于“”，进一步化简即可。 【详解】 ＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（1＋2＋3＋…＋100）＋ ＝（1＋100）×100÷2＋ ＝5050＋ ＝5050＋5 ＝5055 ＝ ＝ ＝3 15．（2025六年级下·全国·专题练习）计算题。 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】（1）先把化为，再根据除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数计算； （2）把2014写成2013＋1，根据乘法分配律把原式的分子变为：2013＋2012×（2013＋1）＝2013＋2012×2013＋2012＝2013×（1＋2012）＋2012＝2013×2013＋2012；分母变为：2013×（2013＋1）－1＝2013×2013＋2013－1＝2013×2013＋2012，据此计算； （3）因为1＝2×（1-），，，根据乘法分配律把原式变形，再消项即可简算。 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】分数的简便运算，相办法把原式变形为可约分形式；较长的算式则相办法把原式变形为工消项形式。 16．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3）      （4） 【答案】（1）；（2）752；（3）100；（4）；（5）1001；（6） 【分析】（1）观察分数的分母，发现分母可以利用乘法的分配律可以将式子转化成，再利用平方差公式为：，则。最后分子分母进行化简，将好约分的约分。 （2）利用乘法的交换律将式子化简成，再利用乘法分配律计算。 （3）将小数转化为带分数，发现可以利用乘法的分配律。将括号里面的带分数转化成整数和分数相加，再同分母的分数相加再计算。 （4）对式子进行整理，发现可以转化成，将括号去掉后整数和整数相加，分数和分数相加。根据公式可以简便计算。 （5）同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。 （6）观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、、 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 1．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。              【答案】；；1； 【分析】，把原式化为：×（＋＋＋…＋），再把化为：－；化为：－；……化为：－；原式化为：（－＋－＋…＋－），最后化为：×（－），再进行计算； ，把8×12×10，化成4×（2×3×5），10×15×25化成：5×（2×3×5），再根据乘法分配律，分子化为：（2×3×5）×（1＋4＋5）；把分母12×20×28，化为：4×（3×5×7）；15×25×35，化为：5×（3×5×7），分母根据乘法分配律化为：（3×5×7）×（1＋4＋5）；原式化为：，再进行计算； ；把化成小数，＝9.625，把化成小数，＝96.25，原式化为：（×9.625＋×9.625）÷96.25 ，再根据乘法分配律，原式化为：[9.625×（＋）]÷96.25，再进行计算； ；把化为：1＋，化为1＋；化为：1＋，化为：1＋，化为：1＋，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋；化为：5＋（＋＋＋＋）；再把（＋＋＋＋）乘，原式化为：5＋×（＋＋＋＋）；再把化为：－，化为：－，化为：－，化为：－，化为：－，原式化为：5＋×（－＋－＋－＋－＋－），再进行计算。 【详解】 ＝×（＋＋＋…＋） ＝（－＋－＋…＋－） ＝×（－） ＝×（－） ＝× ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（×9.625＋×9.625）÷96.25 ＝[9.625×（＋）]÷96.25 ＝[9.625×10]÷96.25 ＝96.25÷96.25 ＝1 ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝5＋（＋＋＋＋） ＝5＋×（＋＋＋＋） ＝5＋×（－＋－＋－＋－＋－） ＝5＋×（－） ＝5＋× ＝5＋ ＝ 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用有理数的混合运算的法则和运算律解答即可； （2）根据先将看着一个整体，利用乘法分配律把后面乘法部分展开，再逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．灵活运用乘法分配律进行计算． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算 【答案】 【分析】设a=，b=，对原式进行化简，计算即可求解． 【详解】解：设a=，b=， 则原式=a(1+b)-b(1+a)=a+ab-b-ab=a-b =- =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用整体思想、换元思想进行计算，能正确地设a=，b=是解决此题的关键． 4．（2024六年级·全国·竞赛）计算： 【答案】2 【分析】可以设，将等式的两边同时乘2，则使S这个式子里面的每个2的次数增加了一个，再将两个式子相减，将式子化简得出算式的值是2。 【详解】设（1） 在等号的两边同时乘2，则 （2） （2）－（1） 【点睛】算式是一个等比数列的差，利用错位相减的方法，先设算式的值是S，再乘这个等比数列的公比。再将两个式子相减即可。 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了数字类规律探究和有理数的乘方运算， 根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； 根据规律可得第第个数是；仿照中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 6．（2024六年级·全国·竞赛）。 【答案】 【分析】这个算数是100个乘法算式相加的和，可以设这个算式为S100，再将算式两边同时乘3，再利用错位相减的方法用原来的等式减乘3之后得到的等式，得到﹣2S100＝。根据等比数列的求和公式＝（末项×公比－首项）÷（公比－1）。再将等式的两边同时除以（﹣2），除以一个负数，则要改变原来的符号，即改成，改成。最后再除以2。 【详解】设：S100＝（1） 将两边同时乘3，得 3S100＝（2） （2）－（1），得 ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ ﹣2S100＝ 两边同时除以（﹣2） S100＝ S100＝ S100＝ 则 7．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）计算。（用适当方法完成计算） 【答案】； 【分析】（1）先把带分数拆解为整数和真分数，然后根据加法的交换律和加法结合律，把整数与整数相加，分数与分数相加，可以分解为，可以分解为，其他的分数也都分解为两个分数相减的形式，然后再加减相抵消，最后再与整数部分相加。 （2）假设，，则，再把字母代入算式中，再根据乘法分配律、加法的交换律、结合律及减法的运算性质，进行简便运算。 【详解】 ＝ 假设，，则。 【点睛】先观察分数之间的关系，再进行合理的拆解和简化，运用加法的交换律、加法结合律、乘法的分配律以及减法的运算性质进行简便。 2 / 70 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点01 运算与技巧 学习要求 1 知识衔接 2 题型探究 3 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 3 题型2、巧分组法 4 题型3、换元法 5 题型4、分数裂项计算 5 题型5、数列求和（等差、等比数列） 7 题型6、运用乘法公式运算 9 题型7、利用图形特征简算 9 基础通关 14 拓展提优 16 小学阶段 初中阶段 主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 数域扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个质的飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接指引 小学阶段主要针对于正数和零的简单四则混合运算，要求学生熟练地掌握运算顺序，提高计算的正确率和准确率，按题目中要求完成即可。 初中阶段难度和深度进一步提升，不仅将数的范围扩充到实数域，还需要在运算法则和符号法则上多加深入考虑，在运算方法和技巧上，对于具有不同特征点的题目，也有不尽相同的处理方法，掌握多种运算方法并综合起来灵活运用，对于有理数的运算有事半功倍之效。对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1、活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2024·河南周口·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。     857×1.9－8.57×80－85.7      例2．（2024·全国·小升初模拟）脱式计算。            例3．（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（）÷（） 变式1．（2024·山西吕梁·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 0.25×5.32×4         变式2．（2024·河南南阳·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。                                     变式3．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）计算。      （12345＋23451＋34512＋45123＋51234）＋（1＋2＋3＋4＋5） 变式4．（2023·陕西西安·小升初真题）计算。                          题型2、巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： 例2．（24-25六年级下·江苏·单元测试）计算：（1＋6＋11＋16＋…＋126）－（2＋7＋12＋…＋122） 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋2013－2014－2015＋2016+2017-2018-2019+2020+2021-2022-2023+2024． 例4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 变式1．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算题，写出计算过程和结果． （1）    （2） 变式2．（2024六年级下·全国·专题练习）计算。 1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋28＋29－30 变式3．（2024六年级下·全国·专题练习）计算下题。 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋8＋7—6—5＋4＋3—2—1 变式4．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养．整体思想 阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为为，则原式． 请用上面的方法计算： (1) (2)． 例2．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 变式1．（2024六年级上·辽宁·专题练习）算一算。 （1）（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） （2） 变式2．（2024六年级下·全国·专题练习）计算。 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 例2．（2024七年级上·全国·专题练习）能简算的要简算：． 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）计算：． 例4．（23-24六年级下·四川成都·期末）选择适当的方法计算。 例5．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题。 （1）        （2） 变式1．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） 变式2．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 变式3．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。                  题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 例2．（2024·全国·小升初模拟）脱式计算，能简算的要简算。 例3．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） 例4．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）【阅读】 求值 解：设 ① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②-①得：， 即： 【运用】 仿照此法计算： (1)； (2)． 【延伸】 如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为 选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形， ，依次操作2024次，依次得到小正方形 ． 完成下列问题： (3)小正方形的面积等于 ； (4)求正方形的面积和． 变式1．（2025六年级下·全国·竞赛）计算：（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110） 变式2．（2024·四川·小升初真题）计算。 变式3． （23-24七年级上·福建·期末）阅读理解：为了求1+3+32+33+…+3100的值，可设M=1+3+32+33+…+3100，则3M=3+32+33+34+…+3101，因此3M﹣M=3101﹣1．所以M=， 即1+3+32+33+…+3100=．问题解决：仿照上述方法求下列式子的值． （1）1+4+42+43+…+420． （2）5101+5102+5103+…+52026． 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1)； (2). 例2．（2024六年级·全国·竞赛）计算： 例3．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算题：   变式1．（2024·山东·六年级培优）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)． 变式2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）计算： 变式3．（23-24七年级下·重庆·阶段测试）计算： 题型7、利用图形特征简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 例2．（23-24七年级上·山东青岛·期中）我们通过具体实例体会一下化归思想的运用： 数学问题，计算(其中是正整数，且，)． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……； …… 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……， …… 第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分制图可得等式：， 两边同除2，得， 探究三：计算． (仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程) 解决问题．计算． (在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)． (1)根据第n次分割图可得等式：___________． (2)所以，___________． (3)拓广应用：计算___________． 变式1．（23-24七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 变式2．（23-24七年级上·重庆黔江·期末）（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得． 用此方法，可求得 （直接写结果）． （2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题： 填空：① ； ② ． （3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）． 1．（2024·河南驻马店·小升初真题）用你喜欢的方法计算。          52×3.7＋37%×260＋0.22×370           2．（2024·广西柳州·小升初真题）计算题。                        0.125×32×78.5× 139×137×                 [）]÷ 3．（2024·四川绵阳·小升初真题）能简算的要简算。                                            4．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题。            9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 5．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 1998×（－）＋11×（－）－2009×（＋）＋3 6．（23-24六年级下·安徽蚌埠·期末）用简便方法计算。 100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1 7．（2024·河南平顶山·小升初真题）计算下面各题，能简便的用简便方法计算。 （1）10－0.34－0.66                （2） （3）             （4） 8.（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算： 9．（23-24七年级下·重庆·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； 10．（2023·四川成都·小升初真题）用灵活而合理的方法计算。 （1） （2） （3） （4） 11．（2024七年级·全国·专题练习）计算的值． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）用简便方法计算： (1) (2) 13．（2023六年级·全国·竞赛）计算： 14．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算题。 15．（2025六年级下·全国·专题练习）计算题。 （1） （2） （3） 16．（2024·四川成都·小升初真题）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3）      （4） 1．（2024六年级上·辽宁·专题练习）计算。              2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）简便计算： (1)； (2)． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算 4．（2024六年级·全国·竞赛）计算： 5．（24-25七年级上·全国·课后作业）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 6．（2024六年级·全国·竞赛）。 7．（23-24六年级下·四川绵阳·期末）计算。（用适当方法完成计算） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$