第三讲-指、对、幂函数讲义-2026届高三数学一轮复习

幂函数与二次函数 【知识梳理】 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.． *补充 1．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 2.一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 根的分布 图像 限定条件 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 【基本题型】 题型一：幂函数的定义及其图像 【例题精讲】 例1．已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ） A．p，q均为奇数，且 B．q为偶数，p为奇数，且 C．q为奇数，p为偶数，且 D．q为奇数，p为偶数，且 【巩固练习】 1. 已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数. （1）求的解析式； （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由. 题型二：幂函数性质的综合应用 【例题精讲】 例1. 已知实数a，b满足，，则（       ） A．-2 B．0 C．1 D．2 例2. 已知函数，若关于的方程有两个不同的实根， 则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 例3. 已知，函数的图象不可能是（       ） A．B．C．D． 【巩固练习】 1. 不等式的解集为：_________． 2. 已知函数，若方程有8个相异的实数根，则实数的取值范围是_________________________ ． 3. 已知幂函数在上单调递减. （1）求的值并写出的解析式； （2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 题型三：二次方程的实根分布及条件 【例题精讲】 例1. 设：二次函数的图象恒在x轴的上方，：关于的方程的两根都大于－1，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2. 函数且，函数. (1)求的解析式； (2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围. 【巩固练习】 1. 已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2. 已知函数，． (1)求的最大值及取最大值时的值； (2)设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围． 题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 【例题精讲】 例1. 已知，，若的值域为，，的值域为，，则实数的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 例2. 已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足． (1)求的表达式； (2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围． 【巩固练习】 1. 已知二次函数满足． （1）求的解析式； （2）若在上有最小值，最大值，求a的取值范围． 2. 设函数（），满足，且对任意实数x均有. (1)求的解析式； (2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围. 指数与指数函数 【知识梳理】 知识点一、根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二、分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 知识点三、指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【基本题型】 题型一：指数运算及指数方程、指数不等式 【例题精讲】 例1. 甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 例2. 不等式的解集为___________. 【巩固练习】 1. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 2. 化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 题型二：指数函数的图像及性质 【例题精讲】 例1. 函数，的图象如图所示，则（       ） A． B． C． D． 例2. 函数恰有一个零点，则m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例3. 函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________. 【巩固练习】 1. 函数，下列关于函数的说法错误的是（       ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．不等式的解集是 D．是增函数 2. 已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（       ） A． B． C． D． 2. 已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________. 3. 已知函数（为常数，）是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 题型三：指数函数中的恒成立问题 【例题精讲】 例1. 设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 例2. 已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【巩固练习】 1. 已知函数为实常数. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 2. 已知函数． （1）若函数在，上有最大值，求实数的值； （2）若方程在，上有解，求实数的取值范围． 3. 已知函数， （1）当时，求的值域； （2）若对，成立，求实数的取值范围； （3）若对，，使得成立，求实数的取值范围． 题型四：指数函数的综合问题 【例题精讲】 例1. 已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为(       ) A．3 B．4 C．5 D．6 例2. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例3. 已知函数，则______． 已知函数的定义域为，满足，且当时，，则______． 【巩固练习】 1. 已知函数，则不等式的解集为___________. 2. 设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为_______． 对数与对数函数 【知识梳理】 知识点一、对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 知识点二、对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0). (3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1). 知识点三、对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 性质 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 【基本题型】 题型一：对数运算及对数方程、对数不等式 【例题精讲】 例1. （1）已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：； （2）若60a＝3，60b＝5，求的值． 例2. 若，，则（       ） A．a＋b＝100 B．b－a＝e C． D． 例3. 已知实数，满足，，，，，，则（       ） A．2 B．4 C．6 D．8 例4. 已知函数则不等式的解集为______． 【巩固练习】 1. （1）计算； （2）已知，求实数x的值； （3）若，，用a，b，表示． 2. （1）求的值. （2）已知，，试用，表示 3. 已知函数，则关于的不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 4. 设函数（且）的图像经过点. （1）解关于x的方程； （2）不等式的解集是，试求实数a的值. 题型二：对数函数的图像 【例题精讲】 例1. 已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（       ） A． B． C． D． 例2. 函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. （多选题）已知函数（且）的图象如下所示．函数的图象上有两个不同的点，，则（       ） A．， B．在上是奇函数 C．在上是单调递增函数 D．当时， 2. 已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______. 题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域）） 【例题精讲】 例1. 己知实数，且，则（       ） A． B． C． D． 例2. 函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是（       ） A．0 B．1 C．2 D．a 【巩固练习】 1. 已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 2. 若函数有最小值，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型四：对数函数中的恒成立问题 【例题精讲】 例1. 已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 例2. 已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________. 例3. 若不等式在内恒成立，则a的取值范围是 例4. 已知函数，已知实数，若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【巩固练习】 1. 已知函数在上的最大值与最小值之和为． （1）求实数的值； （2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2. 已知函数. (1)若，求a的值； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 3. 已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 题型五：对数函数的综合问题 【例题精讲】 例1. 已知定义域为的单调递增函数满足：，有，则方程的解的个数为（       ） A．3 B．2 C．1 D．0 例2. 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（       ）． A． B． C． D． 例3. 已知，且，则（       ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1. 已知函数在上先增后减，函数在上先增后减.若，，，则（       ） A． B． C． D． 2. 已知，e是自然对数的底，若，则的取值可以是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知是函数的零点，则_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$