第02讲 矩形的性质与判定（知识清单+7必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

第02讲 矩形的性质与判定 题型梳理 题型方法 题型一 矩形的定义及对称性 题型二 矩形内角和对角线的性质 题型三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 题型四 根据矩形的定义判定 题型五 根据对角线判定 题型六 根据直角的个数判定 题型七 矩形的性质与判定的综合应用 知识清单 知识点1：矩形的定义 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 知识点2：矩形的性质 矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意： (1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． (2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． 对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 知识点4：矩形的判定 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 题型方法 【题型一】矩形的定义及对称性 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，对角线相交于点， ∴，，， 故选项A、B、D正确，选项C不一定成立，故选项C错误， 故选：C 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故A、B说法正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故C正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （填序号）． ①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是；⑥既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】④⑤⑥ 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，根据平行四边形的性质以及矩形的性质进而分析得出答案即可． 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是： ④对角线相等； ⑤4个角都是； ⑥既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：④⑤⑥． 【变式3】（20-21八年级下·山西晋城·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝2，即可得出答案． 【详解】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长． 【题型二】矩形内角和对角线的性质 【例2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，长方形性质，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．记，，旋转后的对应点为，，，交于点．利用旋转的性质，长方形性质，平行线性质得到，即可解题． 【详解】解：记，，旋转后的对应点为，，，交于点． 由旋转的性质可知四边形为长方形， ， ， ， ， 旋转角可以为， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则 度． 【答案】25 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 【变式3】（20-21九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点O，，且，求矩形的面积．    【答案】． 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，从而可得，然后利用勾股定理可得AD的长，最后利用矩形的面积公式即可得． 【详解】四边形ABCD是矩形， ， 又， 是等边三角形， ， ， 在中，， 则矩形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 【题型三】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米， ∴千米， 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质； 连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：如图，连结，    ∵，是的中点， ∴， 又∵在中，是的中点，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）先求得，推出四边形是平行四边形，利用有一个是直角的平行四边形是矩形即可判断结论成立； （2）先证明四边形是平行四边形，利用直角三角形斜边中线的性质及角直角三角形的性质证明，推出，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：，点是的中点， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 四边形是矩形， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ， 又， ， ， 【变式3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ． ， ． 在中，，， ，   ． 【题型四】根据矩形的定义判定 【例4】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和勾股定理的逆定理等知识，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，掌握此点是解答本题的关键．利用勾股定理的逆定理和矩形的判定即可求解． 【详解】解：中，交于点， A. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     B. ，则四边形为菱形，故该选项符合题意；     C. ，可知是直角三角形，是直角，可有证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；     D. ，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；     故选：B． 【举一反三】【变式1】（2023·河北保定·一模）下列图形一定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：A、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B、只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C．有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意； D、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【答案】 90 矩 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， 故答案为：90，矩 【变式3】（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定方法．熟练掌握平行四边形的性质以及矩形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到，，再结合题目条件，得到且，可证明四边形是平行四边形，再根据得到即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【题型五】根据对角线判定 【例5】（22-23八年级下·河北沧州·期末）依据所标数据，下列一定为矩形的是（   ）    A．只有③ B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理进行求解即可. 【详解】解：图②可根据有三个角是直角的四边形是平行四边形证明该四边形是矩形，符合题意； 图③可由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明该四边形是矩形，符合题意； 根据现有条件无法证明图①中的四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是 ． 【答案】丁 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误； 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误； 一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误； 两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确； 故答案为：丁． 【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是菱形，分别延长，到点，，连接，，，．若，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，根据菱形的性质可知，根据，，可证四边形是平行四边形，根据可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证结论成立． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ，， ，， ， 四边形是矩形． 【变式3】（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 【题型六】根据直角的个数判定 【例6】（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，于点于点F，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．证明，即可得出结论； 【详解】证明：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，点O为边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，，求证：四边形是矩形； 【答案】见解析 【分析】证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； 【详解】证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形。 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且．求证：四边形为矩形。 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； 【详解】证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【变式3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，，由得到，进而得到，再通过证明得到，最后利用矩形的判定即可证明； （2）根据角平分线的定义得到，再利用平行线的性质得到，则有，由（1）中的结论可得，在和利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为矩形； （2）解：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， ∵， ， ， 在中，． 【题型七】矩形的性质与判定的综合应用 【例7】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，连接，证明四边形是矩形，得出，再根据当时，最短，即可推出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵、，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 由题意可知，当时，最短，， 即的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． （1）根据平行四边形的性质得出，，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证； （2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积是：． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件后，可以得到四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形判定性质逐一判断即可，熟知矩形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：A、，平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边形是平行四边形，， ，， 平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； D、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 【答案】B 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·广西玉林·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点．交于点H．下面四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 【答案】A 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故①正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故②正确； ，， 四边形是平行四边形， ，故③正确； ，， ，， ，即，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识，熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形性质．连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，且， ， 又， ， ， ， ，即． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形，E为中点，F为线段上一点，连接、，若，，．则的长为 ． 【答案】2或4 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据矩形的性质可得，再分两种情况：①当点靠近点时，②当点靠近点时，过点作于点，利用勾股定理求出的长，然后利用线段的和差求解即可得． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∵为中点， ∴． ①如图1，当点靠近点时，过点作于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，当点靠近点时，过点作于点， 同理可得：， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为2或4， 故答案为：2或4． 6．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，首先结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 7．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 8．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线分别交边于点，点是的中点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质 ，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）先利用矩形的性质，求出，再证明四边形是菱形，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知四边形是菱形，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，进而证明是等边三角形，得，则，再由勾股定理求出，则，然后由矩形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴四边形的面积， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)试确定的关系，并说明理由； (3)作于点F，若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)且；见解析 (3) 【分析】（1）证明，可得出四边形是矩形； （2）先证明，可得到，再由，得出，从而得出，可得出结论； （3）过点N作，并交于点P，设，则，可得出，，得出由勾股定理可得，列出方程，求得，最后由面积法求得结果． 【详解】（1）证明：，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D， ， 四边形是矩形； （2）解：，，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点N作，并交于点P， ， ， 四边形是矩形， ， 设，则， ， ， ， 中，， ， （负值舍去）， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 矩形的性质与判定 题型梳理 题型方法 题型一 矩形的定义及对称性 题型二 矩形内角和对角线的性质 题型三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 题型四 根据矩形的定义判定 题型五 根据对角线判定 题型六 根据直角的个数判定 题型七 矩形的性质与判定的综合应用 知识清单 知识点1：矩形的定义 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 知识点2：矩形的性质 矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意： (1) 矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． (2) 矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． 对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 知识点4：矩形的判定 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 题型方法 【题型一】矩形的定义及对称性 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 （填序号）． ①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是；⑥既是轴对称图形又是中心对称图形． 【变式3】（20-21八年级下·山西晋城·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是 ． 【题型二】矩形内角和对角线的性质 【例2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，将长方形绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，将两个矩形叠合放置，如果，那么等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则 度． 【变式3】（20-21九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，矩形的对角线相交于点O，，且，求矩形的面积．    【题型三】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【例3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【举一反三】【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是 ． 【变式2】（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【变式3】（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【题型四】根据矩形的定义判定 【例4】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）中，交于点，再添加一个条件使其为矩形，不能是下列的（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（2023·河北保定·一模）下列图形一定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【变式3】（24-25八年级下·福建龙岩·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接，．求证：四边形是矩形． 【题型五】根据对角线判定 【例5】（22-23八年级下·河北沧州·期末）依据所标数据，下列一定为矩形的是（   ）    A．只有③ B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测： 甲：量得窗框两组对边分别相等； 乙：量得窗框对角线相等； 丙：量得窗框的一组邻边相等： 丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等． 检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是 ． 【变式2】（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是菱形，分别延长，到点，，连接，，，．若，，求证：四边形是矩形． 【变式3】（23-24八年级下·重庆南川·期中）如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【题型六】根据直角的个数判定 【例6】（2025·陕西渭南·二模）如图，在中，于点于点F，求证：四边形是矩形． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，点O为边的中点，连接并延长交的延长线于点E，连接，，求证：四边形是矩形； 【变式2】（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且．求证：四边形为矩形。 【变式3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在中，，两点分别在边，上，连接，，，，且． (1)求证：四边形为矩形； (2)若平分，且，，求的长． 【题型七】矩形的性质与判定的综合应用 【例7】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，，则的最小值 ． 【变式2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件后，可以得到四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（    ） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 3．（24-25八年级下·广西玉林·期中）在平行四边形中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点．交于点H．下面四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知矩形，E为中点，F为线段上一点，连接、，若，，．则的长为 ． 6．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为 ； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是 ． 8．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线分别交边于点，点是的中点，连接．若，则的度数为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，交的延长线于点E，． (1)求证：四边形是矩形； (2)F为的中点，连接，．已知，，求的长． 10．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 11．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知四边形是菱形，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则四边形的面积为________． 12．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，，点M在的延长线上，于N，交于点E，分别过点A，M作的垂线，它们交于点D，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)试确定的关系，并说明理由； (3)作于点F，若，，直接写出线段的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$