第01讲 菱形的性质与判定（知识清单+6必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

第01讲 菱形的性质与判定 题型梳理 题型方法 题型一 菱形的定义 题型二 菱形的性质 题型三 根据菱形的定义进行判定 题型四 根据菱形的对角线进行判定 题型五 根据菱形的四边进行判定 题型六 菱形的性质与判定的综合应用 知识清单 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 知识点2：菱形的性质（重难点） 菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意： (1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等 的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 知识点3：菱形的判定（重难点） 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 题型方法 【题型一】菱形的定义 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定方法，解决此题的关键是熟练掌握菱形的判定方法；根据菱形的判定可知，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得到答案。 【详解】解：，可判断是矩形，不能判断是菱形，故选项A错误，不符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项B错误，不符合题意； 对角线互相垂直，可知判断是菱形，故选项C正确，符合题意； ，是已具有的性质，不能判断是菱形，故选项D错误，不符合题意； 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加，能判定是菱形，故A不符合题意； 添加，能判定是菱形；故B不符合题意； 添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项C符合题意； 添加，能判定是菱形；选项D不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，则四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据菱形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：根据邻边相等的平行四边形是菱形，故添加， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型二】菱形的性质 【例2】（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点 O，下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质．由菱形中，对角线、交于点，根据菱形的两条对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案． 【详解】A. 在菱形中，，故A正确，不符合题意； B. 在菱形中，，故B正确，不符合题意； C. 在菱形中，，故C正确，不符合题意； D. 在菱形中，不能得出，故D错误，符合题意； 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质及菱形面积的求法，解题的关键是根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：连接，交于点    在菱形中，，， ，， ， ， 菱形的面积． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为 ． 【答案】9.6 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由菱形的对角线、交于点，，，可求得的长，菱形的面积，继而求得菱形的高． 【详解】解：菱形的对角线、交于点，，， ，，， ， ， ． 故答案为：9.6． 【变式3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质以及利用菱形的性质证明，解题的关键是利用菱形性质证明以及利用菱形内角的关系进行角度计算． （1）利用四边形是平分，有因为，， 得出； （2）先根据菱形邻角互补求出，再求出，进而得出的度数，最后根据求出结果． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 平分， ，， ． （2）四边形是菱形，， ． ，， ． ， ． 【题型三】根据菱形的定义进行判定 【例3】（23-24八年级下·福建厦门·期中）依据所标数据，下列一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的判定，灵活运用菱形的判定方法是解题的关键．根据菱形的判定逐项排查即可解答． 【详解】解：A、对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； B、同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知邻边相等，故该四边形是菱形，符合题意； C、只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； D、的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可得答案． 【详解】解：∵甲测量出两组对边分别相等， ∴该地板砖是平行四边形， ∴当一组邻边相等时，该地板砖是菱形， ∴乙测量出一组邻边相等， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可添加条件． 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，交于点E，F是上的一点，连接，且．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，等角对等边等等，先由平行四边形的性质得到，再证明，进而证明四边形是平行四边形，接着根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E，点F在边上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【题型四】根据菱形的对角线进行判定 【例4】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 【举一反三】【变式1】（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明得到，即可得四边形是平行四边形，再由即可求证，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件：，理由如下： ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，矩形的对角线交与点O，过点B做，过点C作，与相交于点P，试判断四边形的形状，并说明理由．    【答案】四边形是菱形，理由见解析 【分析】先根据矩形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，由此即可证明四边形是菱形． 【详解】解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形，且对角线交于点O， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，熟知矩形的对角线互相平分且相等，有一组邻边相等的平行四边形是菱形是解题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，对角线、相交于点，，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据题意可证明是等边三角形，得到，即可得证． 【详解】证明：，， 是等边三角形， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【题型五】根据菱形的四边进行判定 【例5】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，是的垂直平分线，E是上一点，交于F，连接．，试证明四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形综合．熟练掌握线段垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，菱形综合的判定，是解题关键． 根据垂直平分，得出，，根据轴对称性质和，得出，得到，得到，可得，得到，即可得到结论． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴，， 由对称性知，． ∵， ∴， ∴， ∴． 又， ∴， ∴． ∴， ∴四边形是菱形． 【举一反三】【变式1】（20-21八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，是的垂直平分线，是上一点，交于，连接．，试证明四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【分析】首先根据AC垂直平分BD，得出再证明，得出，结合已知条件得出AB∥CD，即可得出结合得出即可证明结论． 【详解】证明：∵AC是BD的垂直平分线， ∴ 在和中 ∴, ∴ , 又∵, ∴ ∴AB∥CD， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解题关键是掌握相关知识点进行综合推理． 【变式2】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）桁架桥指的是以桁架作为上部主要承重构件的桥梁（如图1），图2是桁架桥的部分示意图，已知，，为线段的中点，是等边三角形，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据等边三角形的性质可证，根据点为线段的中点，可证，从而可证是等边三角形，从而可得，根据四条边都相等的四边形是菱形可证结论成立． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 为线段的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形． 【变式3】（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． (1)求证：． (2)若，试证明四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据SSS证明△ABC≌△ADC，即可解决问题； （2）先证明AD=CD，根据已知可得AB=AD=CB=CD，利用四边相等即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC； （2）证明：∵， ∴∠BAC=∠DCA， ∵∠BAC=∠DAC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴AD=CD， ∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题 【题型六】菱形的性质与判定的综合应用 【例6】（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的判定定理得到是菱形，得到，得到是等边三角形，得出，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 是菱形， ， 是等边三角形， ． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，作，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可，解题的关键是证明四边形为菱形． 【详解】解：作，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：点A到的距离为； 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【变式3】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形BCFE的面积为24 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可解决． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，， ∴菱形的面积， 故选：B． 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是菱形，得到，再求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意掌握菱形的对角线互相垂直且平分定理的应用是解此题的关键．由菱形的性质可求得与的长，在中，由勾股定理求得边的长，即可求解． 【详解】解：设的交点为O， ∵菱形中，， ∴，，， ∴， ∴菱形的周长， 故选：B． 4．（22-23八年级下·云南·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据题意和菱形的判定进行选择即可，先证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ①∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ③∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形； ④∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 综上所述：选择①③④，使得四边形是菱形， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的面积公式“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解题的关键．根据菱形面积的计算公式求得，再根据菱形对角线互相垂直平分线，利用勾股定理求出，进而利用菱形面积等于底×高，计算出菱形的高即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为12， ∴， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， ∴． ∴． 故答案为：． 7．（21-22八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形． 【答案】DF∥AB 【分析】添加DF∥AB，根据DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，可以判断四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立． 【详解】解：DF∥AB，理由如下： ∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F， ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD， ∴FA＝FD， ∴平行四边形AEDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 【点睛】本题主要考查了添加条件，菱形的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，角平分线定义，菱形的判定，添加DF∥AB． 三、解答题 8．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，四边形的对角线、相交于点，且，，，求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】证明，可得，结合题意，根据对角线互相平分，可证四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可证明结论成立． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， 又， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 9．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，点是的中点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了菱形的判定、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据所对的边是斜边的一半可得，然后由旋转的性质可得、，即是等边三角形，则即可证明结论． 【详解】证明：∵，点是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 10．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、菱形的定义．证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 11．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在四边形中，，，的角平分线交于点E，连接、，交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点E是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，从而推出，即可证明； （2）由菱形的性质可得，再结合线段中点，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ， ， 点E是的中点， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 菱形的性质与判定 题型梳理 题型方法 题型一 菱形的定义 题型二 菱形的性质 题型三 根据菱形的定义进行判定 题型四 根据菱形的对角线进行判定 题型五 根据菱形的四边进行判定 题型六 菱形的性质与判定的综合应用 知识清单 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 知识点2：菱形的性质（重难点） 菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意： (1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等 的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 知识点3：菱形的判定（重难点） 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 题型方法 【题型一】菱形的定义 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期末）在下列条件中选取一个作为增加条件，能使成为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在中，添加下列条件仍不能判定是菱形的是（） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 （填一个即可）． 【变式3】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，的对角线与交于点，请你添加一个条件使它是菱形，你添加的条件是 ． 【题型二】菱形的性质 【例2】（22-23八年级下·北京海淀·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点 O，下列结论错误的是（   ）    A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【变式2】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为 ． 【变式3】（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在菱形中，过点作于点，作于点． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型三】根据菱形的定义进行判定 【例3】（23-24八年级下·福建厦门·期中）依据所标数据，下列一定为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出________，最后得到结论：地板瓷砖是菱形．则横线处应填（   ） A．两组对边分别平行 B．一组邻边相等 C．两条对角线相等 D．一组邻角相等 【变式2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 【变式3】（23-24八年级下·云南德宏·期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，交于点E，F是上的一点，连接，且．求证：四边形是菱形． 【题型四】根据菱形的对角线进行判定 【例4】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点，已知．请你添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【变式2】（22-23八年级下·陕西商洛·期末）如图，矩形的对角线交与点O，过点B做，过点C作，与相交于点P，试判断四边形的形状，并说明理由．    【变式3】（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，对角线、相交于点，，，求证：四边形是菱形． 【题型五】根据菱形的四边进行判定 【例5】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，是的垂直平分线，E是上一点，交于F，连接．，试证明四边形是菱形． 【举一反三】【变式1】（20-21八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，是的垂直平分线，是上一点，交于，连接．，试证明四边形是菱形． 【变式2】（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）桁架桥指的是以桁架作为上部主要承重构件的桥梁（如图1），图2是桁架桥的部分示意图，已知，，为线段的中点，是等边三角形，求证：四边形是菱形． 【变式3】（21-22八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． (1)求证：． (2)若，试证明四边形是菱形． 【题型六】菱形的性质与判定的综合应用 【例6】（24-25八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，则对角线等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，则点A到的距离为 ． 【变式2】（23-24八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，菱形的两条对角线相交于点，若，，则菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，是菱形的对角线，若，则菱形的周长为（　　） A．10 B．20 C．14 D．28 4．（22-23八年级下·云南·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，在条件：①；②；③；④平分中，选择一个条件，使得四边形是菱形，可选择的条件是（    ）      A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 5．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则 °． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点A作于点H，若，菱形的面积为12，则的长为 ． 7．（21-22八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，请你添加一个条件 ，使四边形AEDF是菱形． 三、解答题 8．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，四边形的对角线、相交于点，且，，，求证：四边形是菱形．    9．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，点是的中点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接．求证：四边形是菱形． 10．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 11．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，在四边形中，，，的角平分线交于点E，连接、，交于点O． (1)求证：四边形是菱形； (2)若点E是的中点，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$