高一数学下学期期末考前必刷押题卷（范围：北师大版必修第二册）

高一数学下学期期末考前必刷押题卷 （范围：北师大版2019必修第二册 综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，且为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、复数的基本概念 【分析】运用复数的定义和四则运算进行求解. 【详解】解法一： 由题可得， 因为为纯虚数，所以，解得. 故选：D. 解法二： 因为为纯虚数，所以可设， 化简得，则，. 故选：D. 2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成的角的定义，利用平行线转化为相交直线所成角，即可求解. 【详解】因为，所以异面直线与所成的角为. 故选：B 3．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角和的正弦公式求解即可. 【详解】 . 故选：D. 4．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】求出把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数，求出再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数. 【详解】把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）后的函数为， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为. 故选：B. 5．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理的推论、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据条件得到，由共线定理的推论得到方程，求出答案. 【详解】，故， ，故， 因为三点共线，故，解得. 故选：C 6．已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由同角三角函数的商数关系，结合两角和与差的正弦公式求解. 【详解】由，得， 又，得，即， 可得，， . 故选：B. 7．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】根据余弦函数单调性计算求解参数即可得出最大值. 【详解】由题， 因为在区间内单调递增， 所以在区间内单调递减， 所以，， 解得，， 又，所以只有当时，不等式有解，解集为， 所以的最大值为. 故选:A. 8．在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 【分析】由得，得，利用基本不等式运算即可. 【详解】， , ， ，， ， ， 即， ， 当且仅当时等号成立， ，即的最大值是. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的大致图象可以是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【知识点】正弦函数图象的应用、辅助角公式 【分析】根据辅助角公式结合正弦函数的平移规则判断即可. 【详解】函数，其中，，，取. 又函数的图象是由的图象向左平移个单位得到的，AC符合题意， 故选:AC. 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】利用三角函数的周期性来判断ACD，利用正弦函数的单调性来判断B. 【详解】选项A：由题意可知，函数的最小正周期，所以，A正确. 选项B：当时，，所以在上不单调，B错误. 选项C：若，则或，所以的最小值为，C正确. 选项D：若，则，，所以的最小值为，D错误. 故选：AC. 11．如图，正方体的棱长为是线段上的一个动点，下列结论正确的是（    ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．三棱锥的体积为 D．以点为球心，为半径的球的表面积的最小值为 【答案】AB 【知识点】锥体体积的有关计算、球的表面积的有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据的形状，可判定当为中点时，最小，求此时的值，可判断A的真假；转化成平面上两点之间，线段最短，结合解三角形的知识可判断B的真假；举特例，可判断C的真假；利用点到直线上点的距离，垂线段最短，确定球的半径的最小值，求表面积可判断D的真假. 【详解】对于选项A，显然为等边三角形，其边长为的最小值为边上的高，易求得高为，故选项A正确； 对于选项B，如图，    将等边三角形绕边旋转到与平面共面， 显然，故选项B正确； 对于选项C，当点与点重合时，，故选项C错误； 对于选项D，显然当为的中点时，球的半径最小，此时球的半径为，因此该球的表面积的最小值为，故选项D错误. 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． ． 【答案】 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的余弦函数公式化简，再根据特殊角的三角函数值即可得到结果． 【详解】. 故答案为：． 13．所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、棱柱及其有关计算 【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 14．一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里. 【答案】2 【知识点】距离测量问题 【分析】作出示意图，利用余弦定理，即可得解． 【详解】设轮船从点出发到达点，灯塔在点，如图所示，    由题意结合图可知，，海里， 在中，由余弦定理知，， 所以，即， 解得或（舍负）， 所以灯塔与轮船原来的距离为2海里． 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，求实数的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）或；（2） 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）利用诱导公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】（1）根据三角函数的定义可得. 若时，符合题意； 若时，则可化简得， 解得. 综上，或. （2）由， 得， 所以. 16．（15分） 的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据题给条件及余弦定理、同角三角函数的基本关系即可求解. （2）根据三角形的面积公式可求，再根据余弦定理即可求，即可得的周长. 【详解】（1）由余弦定理可知，. 因为，所以， 即. 由，且， 解得，则. （2）的面积，则. 因为，所以由， 可得， 则， 故的周长为. 17．（15分） 如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧． (1)求曲线段的解析式和的大小； (2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值． 【答案】(1)曲线段的解析式为， (2)；当时，取得最大值 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、辅助角公式 【分析】（1）由题意可得，，即可求出，从而可得曲线段的解析式，令时，可得的值，根据几何知识求； （2）根据题意可得，利用三角恒等变换化简可得；根据正弦函数的有界性分析求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，即， 且，则， 所以曲线段的解析式为， 当时，， 又因为，则， 可知锐角，所以； （2）由（1）可知，，且, 则， 可得， 则 ； 因为，则， 可知当，即时，， 所以当时，取得最大值． 18．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【知识点】求点面距离、证明面面垂直、求二面角 【分析】（1）根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】（1）由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 19.（17分） ，其中，．称为非零复数的三角形式． (1)已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和． (2)已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． (3)已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【知识点】求复数的模 【分析】（1）根据题意，求出对应的点，再用两点间的距离公式求解即可； （2）根据两点间的距离公式推导出四边形的所有边与所有对角线的平方和，由此可求最大值； （3）同（2）可得边形的所有边与所有对角线的平方和，据此可求最大值. 【详解】（1）因为，其中. 当时，，对应点， 当时，，对应点， 当时，，对应点. 因为两点和的距离平方为，故 的距离为， 的距离为， 的距离为， 所以三条边的平方和：. （2）因为，所以复数对应的所有点都在单位圆上，所以 ， 所以两点和的距离平方为： ， 所有点对的平方和为： ， 因为，， 所以. 因为 ，所以， 所以， 即， 所以 ， 当四个点在单位圆上均匀分布（如正方形顶点），， 此时达到最大值：； （3）类似（2），所有点对的平方和为： . 利用向量和的性质： ， 所以 ， 当个点均匀分布（正边形），，此时达到最大值， . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学下学期期末考前必刷押题卷 （范围：北师大版2019必修第二册 综合卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，且为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．6 2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ） A． B． C． D． 3．的值为（   ） A． B． C． D． 4．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D．. 5．如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 8．在中，内角所对的边分别为，若D是边上的一点，且,则的最大值是（   ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的大致图象可以是（   ） A．   B．   C．   D．   10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调 C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为 11．如图，正方体的棱长为是线段上的一个动点，下列结论正确的是（    ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．三棱锥的体积为 D．以点为球心，为半径的球的表面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． ． 13．所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 14．一艘轮船按照北偏东方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东方向上，经过10分钟的航行，轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为 海里. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） （1）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，求实数的值； （2）若，求的值. 16．（15分） 的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 17．（15分） 如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧． (1)求曲线段的解析式和的大小； (2)若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值． 18．（17分） 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 19.（17分） ，其中，．称为非零复数的三角形式． (1)已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和． (2)已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． (3)已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$