暑假作业13 点线面的位置关系（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 点线面的位置关系 1．锥体中平行于底面的截面的性质 在锥体中，用平行于底面的截面截原锥体，得到一个小锥体，则小锥体与原锥体有如下比例关系： ＝＝＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式． 2．有关棱柱直截面问题 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式： S棱柱侧＝C直截l(其中C直截，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)． 3．证明点共线与线共点都需用到基本事实3． 4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   4．一平面截球得到一个面积为的圆面，且球心到这个圆面的距离为2，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 5．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（　　） A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1） 6．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作.《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式.如图所示的几何体，上底面与下底面相互平行，且与均为长方形.《九章算术》中称如图所示的图形为“刍童”.如果，，，，且两底面之间的距离为，记“刍童”的体积为，则（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（　　） A．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 B．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 C．正棱锥的底面边长和侧棱长相等 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 8．下列说法中，错误的是（    ） A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．正四面体是一种特殊的正三棱锥 C．平行六面体是一种特殊的斜四棱柱 D．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 9．如图，正四面体的各棱长均为1，则它的表面积是 . 10．已知圆柱的高为，且其上下底面圆周都在同一个表面积为的球面上，则此圆柱的底面半径为 . 11．根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称. (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形； (2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面是有一个公共顶点的全等三角形； (3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰所在直线能相交于一点. 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为2，，将沿对角线向上折起，得到平面，二面角的大小为，则（   ） A．当时 B．当时，二面角是锐角 C．当时，四面体各条棱长相等 D．当时，四面体的外接球表面积为 4．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ． 5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） (1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？ (2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 点线面的位置关系 1．锥体中平行于底面的截面的性质 在锥体中，用平行于底面的截面截原锥体，得到一个小锥体，则小锥体与原锥体有如下比例关系： ＝＝＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式． 2．有关棱柱直截面问题 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式： S棱柱侧＝C直截l(其中C直截，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)． 3．证明点共线与线共点都需用到基本事实3． 4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，它的侧面展开图的扇环的圆心角为，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆台母线长度，再结合圆台侧面积公式即可求解. 【详解】圆台的母线长度为， 故所求即为. 故选：B. 2．已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为， 由 ，则， 则圆锥的体积为 . 故选：A 3．下图有一个正方体纸盆的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是（   ）.    A．   B．   C．    D．   【答案】C 【分析】由各个面图像相对位置来排出错误选项. 【详解】A选项：直线和长方形在直观图中一定没有交点，故错误； B和D选项由展开图得到的直线和黑色三角没有交点，而直观图由交点，故错误； 故C选项符合题意. 故选：C. 4．一平面截球得到一个面积为的圆面，且球心到这个圆面的距离为2，则球的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径即可. 【详解】设面积为的圆面的半径为，球的半径为 则， 由勾股定理得球的半径：， 所以球的直径为， 故选：D.. 5．一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（　　） A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1） 【答案】D 【分析】 根据相似比求得正确答案. 【详解】 设截后棱锥的高为h，原棱锥的高为H， 由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截， 若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，， 则此正棱锥的高被分成的两段之比：. 故选：D 6．《九章算术》是中国古典数学最重要的著作.《九章算术》的“商功”一章中给出了很多几何体的体积计算公式.如图所示的几何体，上底面与下底面相互平行，且与均为长方形.《九章算术》中称如图所示的图形为“刍童”.如果，，，，且两底面之间的距离为，记“刍童”的体积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据几何体的特点，分别考虑几何体为棱柱、棱锥的可能，采用排除法选出正确的选项. 【详解】当时，此时几何体为棱柱，所以体积，此时可排除B，D选项； 当，此时几何体为四棱锥，所以体积，排除C； 故选：A. 【点睛】本题考查特殊几何体体积计算，根据几何体的特征，采用排除法可更高效的解决问题，主要考查学生对空间几何体的结构特征的认识，难度一般. 7．下列说法中正确的是（　　） A．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 B．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的 C．正棱锥的底面边长和侧棱长相等 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】BD 【分析】由柱、锥、台的定义依次判断即可. 【详解】A选项：底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行，但不能作为底面，错误； B选项：由圆柱的定义知，任意两条母线所在直线互相平行，正确； C选项：正棱锥的底面边长都相等，但底面边长和侧棱长不一定相等，错误； D选项：由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，正确. 故选：BD. 8．下列说法中，错误的是（    ） A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．正四面体是一种特殊的正三棱锥 C．平行六面体是一种特殊的斜四棱柱 D．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出此平面图形的直观图恰好是一个边长为2的等边三角形，则原平面图形的面积是 【答案】AC 【分析】根据棱台的概念可判断A；根据正棱锥的概念可判断B；根据棱柱的概念可判断C；根据直观图与原图面积关系可判断D. 【详解】对于A：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台， 只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故A错误； 对于B：正四面体是四个面都是全等的正三角形的四面体， 而正三棱锥的定义是：底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心的三棱锥， 因此正四面体是一种特殊的正三棱锥，故B正确； 对于C：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体， 而侧棱不垂直于底面的四棱柱叫做斜四棱柱， 因此平行六面体不一定是斜四棱柱，故C错误； 对于D：直观图面积为， 根据直观图与原图面积关系可得，故D正确. 故选：AC. 9．如图，正四面体的各棱长均为1，则它的表面积是 . 【答案】 【分析】利用椎体的表面积求法求解. 【详解】因为是正三角形，其边长为1，所以, 因此，四面体的表面积. 故答案为: . 10．已知圆柱的高为，且其上下底面圆周都在同一个表面积为的球面上，则此圆柱的底面半径为 . 【答案】 【分析】求出圆柱外接球的半径，设圆柱的底面半径为，根据圆柱的几何性质可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设球的半径为，则，所以， 设圆柱的底面半径为，则，解得. 故答案为：. 11．根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称. (1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形； (2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面是有一个公共顶点的全等三角形； (3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰所在直线能相交于一点. 【答案】(1)六棱柱 (2)四棱锥 (3)三棱台 【分析】（1）结合六棱柱的定义来求得正确答案. （2）结合四棱锥的定义来求得正确答案. （3）结合三棱台的定义来求得正确答案. 【详解】（1）该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，满足棱柱的定义，故该几何体是六棱柱. （2）该几何体的其中一个面是正方形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥. （3）该几何体上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，因此该几何体是三棱台. 1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析出三棱锥的外接球是一个长方体的外接球，是其外接球的直径，求出长方体的外接球的半径，再由球的表面积公式求解即可. 【详解】将三棱锥放在一个长方体中，如图所示， 则是长方体外接球的直径， 因为是直角三角形，且， 所以， 所以球的直径， 所以半径为，球的表面积为.    故选：C 2．若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，上底面半径为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CC 【分析】过作于，根据条件求母线长及下底面半径长，再利用圆台的侧面积公式，即可求出结果. 【详解】如图，过作于，由题知，， 所以，， 又，记上底面半径为，下底面半径为，则， 所以圆台的侧面积为， 故选：C. 3．已知菱形的边长为2，，将沿对角线向上折起，得到平面，二面角的大小为，则（   ） A．当时 B．当时，二面角是锐角 C．当时，四面体各条棱长相等 D．当时，四面体的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，通过平行得出异面直线所成的角，然后利用余弦定理计算即可得出结论;对于B，通过二面角的定义做出二面角的平面角，结合余弦定理计算即可得出结论；对于C，结合A选项的结论，利用余弦定理求出的长度，即可判断；对于D，结合C选项的结论，将四面体放入正方体中即可得解. 【详解】对于A，如下图所示，取与的中点，分别为，连接，则,所以异面直线所成的角为（或其补角）， 当时，由题意可知，为二面角的平面角，即， 所以，又菱形的边长为2，，所以, 所以，又, 所以，所以不垂直，故A错误； 对于B，取的中点为，连接，因为，所以因此为二面角的平面角，又A选项知，，所以, 由题意知，所以，所以，所以二面角为锐角，故B正确. 对于C，当时，由题意易知为二面角的平面角，所以，由A选项知，，所以，所以四面体各条棱长均为2，故C正确. 对于D，由C选项知，四面体为正四面体，将其放入下图所示正方体中， 由图可知，正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长度，又，所以，所以 所以四面体的外接球表面积为，故D正确. 故选：BCD. 4．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ． 【答案】 【分析】画图直观图可得该几何体为棱锥,再计算高求解体积即可. 【详解】解：如图,是一个四棱锥的平面展开图,其中间是边长为的正方形, 上面三角形是等边三角形,左、右三角形是等腰直角三角形, 此四棱锥中,是边长为的正方形, 是边长为的等边三角形, 故,又, 故平面平面, 的高是四棱锥的高, 此四棱锥的体积为: ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四棱锥中的长度计算以及垂直的判定和体积计算等,需要根据题意 5．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3） (1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？ (2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少的颜料？ 【答案】(1)个； (2). 【分析】（1）求出一个陀螺的体积，再求出其质量，然后可解； （2）利用圆锥和圆柱的表面积公式求出一个陀螺的表面积，然后可得. 【详解】（1）因为，所以， 圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为， 所以一个陀螺的体积为，质量为， 所以该箱中共有陀螺个. （2）易知， 则圆锥的侧面积为，圆柱侧面积为， 底面面积为， 所以一个陀螺的表面积为， 所以， 所以，给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂多少的颜料. 如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求： （1）蚂蚁经过的最短路程； （2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示， 则的长就为最短路线，由勾股定理求出，再比较即可求解； （2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线，求和即可 【详解】（1）将长方体与顶点相关的两个面展开，共有三种方式，如图所示： 则的长就为最短路线． 若蚂蚁沿前侧面和上底面爬行，如图1， 则经过的最短路程为， 若蚂蚁沿侧面爬行，如图2， 则经过的最短路程为， 若蚂蚁沿左侧面和上底面爬行，如图3， 则经过的最短路程为， ， ∴所以蚂蚁经过的最短路程是； （2）最长的路线应该是依次经过棱长为的路线， 由， 所以最长路程是． / 学科网（北京）股份有限公司 $$