暑假作业10 正余弦定理（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 正余弦定理 在△ABC中，常有以下结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB. (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos ＝sin. (5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 2．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．21 3．在中，，，，则等于 A． B． C． D． 4．已知的内角的对边分别为，且满足．若，则（    ） A． B． C． D． 5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角的对边分别为，已知，点为边上一点，且，则的值为（    ） A．5 B．1 C．1或5 D．4 7．在中，下列式子与的值相等的有（     ） A． B． C． D．(R为ABC的外接圆半径) 8．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆半径为 9．在中，，，，则的面积等于 ． 10．中，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为 . 11．已知的面积为，且. （1）求； （2）若点为边上一点，且与的面积之比为1:3. ①求证：； ②求内切圆的半径. 1．如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，是边长为3的等边三角形，的面积为，则的周长为（    ） A．9 B． C． D．6 2．在中，，，分别为，，的对边，为的外心，且有，，若，，则（    ） A．0 B． C．1 D．-2 3．已知圆O内接四边形中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C．该外接圆的直径为 D． 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是 ． 5．已知的内角的对边长分别为,且. (1)求角的大小; (2)若,求周长的取值范围. 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（其中S为的面积）． (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求a的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业10 正余弦定理 在△ABC中，常有以下结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB. (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC； tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos ＝sin. (5)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，进而求得正确答案. 【详解】三角形ABC中，， 由正弦定理得， 因为，则B是锐角，所以 故选：A 2．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．21 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角函数的同角公式，求出，再根据三角形面积公式，即可求解． 【详解】，，， 则， ， ， 的面积为．     故选：． 3．在中，，，，则等于 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：由三角形面积公式可得，所以等于或 考点：三角形面积公式 4．已知的内角的对边分别为，且满足．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意，化简为，再利用正弦定理将角化成边，代入数值，即可求解. 【详解】由题意可得 由正弦定理得 因为 所以 综上， 故选： 【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦定理的应用，属于基础题. 5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理对变形得，从而可求出，由余弦定理结合基本不等式可得，进而可求出三角形面积的范围 【详解】因为，所以，即． 又，所以sinA＝，即．因为，所以． 由余弦定理知，． 因为，所以，当且仅当b=c时取等号 故△ABC的面积． 故选：D 6．在中，角的对边分别为，已知，点为边上一点，且，则的值为（    ） A．5 B．1 C．1或5 D．4 【答案】A 【分析】首先利用三角恒等变形得，并结合余弦定理求，最后在中，利用余弦定理求的值. 【详解】, 得,, 所以，,， 因为，所以是等边三角形， 所以,得，又 , 设，中，利用余弦定理，， 解得：或（舍） 所以. 故选：A 7．在中，下列式子与的值相等的有（     ） A． B． C． D．(R为ABC的外接圆半径) 【答案】CD 【分析】利用正弦定理对选项进行一一验证，即可得答案； 【详解】对A，取，显然，故A错误； 对B，取，，故B错误； 对C，D，，， 故C，D正确； 故选：CD 8．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C．的最大内角是最小内角的2倍 D．若，则外接圆半径为 【答案】CD 【分析】由已知可求的值，然后分别结合正弦定理，余弦定理及二倍角公式，同角三角函数平方关系分别对选项进行检验． 【详解】由，可得， 故可设，，， 由正弦定理可得，，A错误； 由题意可知为最大角，由余弦定理可得，， 故为锐角，从而可知是锐角三角形，B错误； 因为最小内角为最小角，，故， 故，C正确； 由，，结合正弦定理可得， 故，D正确． 故选：CD 9．在中，，，，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】先由余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得： ， 解得：， 所以的面积为： . 故答案为：. 10．中，，为边上的中点，则与的外接圆的面积之比为 . 【答案】 【分析】根据边长，在中利用正弦定理求得的正弦值比，据正弦定理求得与外接圆直径，即可得外接圆的面积之比. 【详解】因为，，，由正弦定理得, 从而△与 △的外接圆的半径分别为和， ∴, 因此对应外接圆的面积之比为 故答案为： 11．已知的面积为，且. （1）求； （2）若点为边上一点，且与的面积之比为1:3. ①求证：； ②求内切圆的半径. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②. 【详解】试题分析：（1）由面积公式确定，再由余弦定理确定，然后结合正弦定理即可得到； （2）①由勾股定理易得二者垂直；②利用面积公式建立半径方程，解之即可. 试题解析：（1）∵的面积为，∴， ∴ 由余弦定理得，∴， ∴由余弦定理得 （2）①∵与的面积之比为，∴， 由余弦定理得， ∴，∴即 ②（法一）在中， （法二）设的周长为，由得 考点：解三角形. 1．如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，是边长为3的等边三角形，的面积为，则的周长为（    ） A．9 B． C． D．6 【答案】B 【分析】法一：在中，利用余弦定理得到，再根据的面积为，求得即可；法二：新根据的面积为，求得CD，再在中，利用余弦定理求得BC即可. 【详解】法一：因为是边长为3的等边三角形， 所以． 由余弦定理得． 所以， 因为的面积为， 所以， 解得． 所以，所以， 的周长为． 法二：因为是边长为3的等边三角形， 所以， 因为的面积为， 所以， 解得， 在中由余弦定理得， 所以，的周长为． 故选：B 2．在中，，，分别为，，的对边，为的外心，且有，，若，，则（    ） A．0 B． C．1 D．-2 【答案】B 【分析】设三角形的内角，，所对的边分别为，，，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得，，，再将的两边点乘，，运用向量数量积的定义和性质，可得，的方程组，解方程可得，的值，即可得到所求值． 【详解】解：设三角形的内角，，所对的边分别为，，， ，， 可得，， 即为，即有， 可得，， 所以， 因为 所以，， 若可得， 即有， 化为， 又可得， 即有， 化为， 解得，， 则， 故选：B． 3．已知圆O内接四边形中，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C．该外接圆的直径为 D． 【答案】ABD 【分析】根据圆内接四边形的性质，以及余弦定理，正弦定理，以及三角形的面积公式，即可判断ABC，再根据平面向量数量积的几何意义，即可判断D. 【详解】A.由题意可知，，， 所以， 即，且， 所以，则，，故A正确； B.，故B正确； C.中，根据余弦定理，即， 设四边形外接圆的半径为，则，即，故C错误； D.取的中点，由垂径定理，结合向量数量积的几何意义可知， ，故D正确. 故选：ABD 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简等式，结合钝角三角形即可求出.由正弦定理可知由此即可求出外接圆的半径R的取值范围. 【详解】因为， 所以， 又因为：， 所以， 由正弦定理有：, 而, 又因为为钝角三角形，不妨设,则，则, 所以, 所以外接圆的半径. 故答案为：. 5．已知的内角的对边长分别为,且. (1)求角的大小; (2)若,求周长的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得，从而可求的大小. （2）利用基本不等式和三角形两边之和大于第三边可求的取值范围，从而可求周长的取值范围. 【详解】(1)在中，， 即， 因为，所以，， (2)由于由余弦定理有， ， 又根据基本不等式有，所以 解得(当且仅当时等号成立) 又因为三角形两边之和大于第三边，所以. 因为，所以周长的取值范围为. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（其中S为的面积）． (1)求角B的大小； (2)若为锐角三角形，且，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知条件可得，则可得，从而可求出角B， （2）由角B的大小和三角形是锐角三角形可求出，再由正弦定理结三角函数恒等变换公式可得，再结正切函数的性质可得结果 【详解】（1）依题意，则， 又因为，所以，则． （2）由为锐角三角形及， 得， ∴， 由正弦定理得， ∴． ∵，∴，∴， ∴，即所求a的取值范围是． / 学科网（北京）股份有限公司 $$