暑假作业14 空间中的平行关系（巩固培优）高一数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 空间中的平行关系 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β． 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 4．若α∥β，a⊂α，则a∥β． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系的基本事实直接判断选项即可. 【详解】依题意，直线必与平面内的某直线平行， 又，因此直线与平面的位置关系是平行或直线在平面内． 故选：D 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据线线平行即可得∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，由三角形的边角关系即可求解. 【详解】连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O是AC，BD的中点，连接OE， 由于E是PC的中点，所以， 则∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，OE=PA=2，BO=， 由于PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，而平面, 所以，则. 故选：D    3．空间四边形中，且AC垂直BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【分析】根据中位线定理即可得出结论． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴由中位线定理，可得，， 又，则， ∴四边形为菱形， 又， ∴， ∴四边形为正方形， 故选：D． 4．已知平面，点,直线，则直线AB与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 【答案】D 【分析】由题意，当点时，此时直线与相交；当点时，此时直线与是异面直线，即可得到答案． 【详解】由题意，当点时，此时直线与相交； 当点时，此时直线与是异面直线，所以与是相交直线或是异面直线， 故选D． 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的判定，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 5．设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【答案】D 【分析】结合点线面的位置关系对选项一一判断，即可得出结论. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，如图所示，，，，，但，故C错误； 对于D，因为，所以过有唯一平面， 又，，所以， 又，，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 6．在正方体中，是棱的中点，是四边形内的动点，且平面，下列说法正确的个数是（    ） ①点的轨迹是一条线段 ②与不可能平行 ③与是异面直线 ④当与不重合时，平面不可能与平面平行 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据空间几何的点、直线、平面之间的位置关系的基本定理及基本性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】取中点M，中点N，连接，易得，则平面平面，所以当点F在线段上，即有平面，所以点F的轨迹是一条线段，故①正确；当点F与点M重合时，与平行，故②不正确；与既不平行也不相交，所以直线与是异面直线，故③正确；假设平面与平面平行，因平面平面，则平面与平面表示同一个平面，与已知矛盾，所以平面不可能与平面平行，故④正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查点、直线、平面之间的位置关系. 7．正方体，以下直线不和平面平行的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】ABD 【分析】根据线面平行的判定定理判断各选项. 【详解】对于A，平面，则直线与平面不平行,故A正确； 对于B，同选项，故B正确； 对于C，，平面，平面，可证平面，故C不正确；； 对于D，同选项，故D正确；. 故选：ABD. 8．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】根据直线与直线的位置关系可判断A；根据面面平行的判定定理可判断B；根据线面的位置关系判断C；根据面面平行的性质定理判断D. 【详解】对于A，若，，则可能平行、异面或相交，A错误； 对于B，若，，，，不一定为相交直线， 只有当为相交直线时，才可得到，故B错误； 对于C，当，时，可能是，推不出一定是，C错误； 对于D，若，，根据面面平行的性质可知，D正确， 故选：ABC 9．正方体中异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】由正方体的性质可以知道：,根据异面直线所成角的定义,可以知道就是异面直线与所成角,根据正方体的性质可以求出的大小. 【详解】如图所示：连接,因为,所以就是异面直线与所成角,而 是正方体面的对角线,它们相等,故三角形是等边三角形,所以 ,因此异面直线与所成角的大小为. 故答案为 【点睛】本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键. 10．如图，已知平面，，，,、分别是、的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 【答案】 【详解】试题分析：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∴∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．设AP=BC=2，由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF= ，ED=2，cos∠EDF＝．∴sin∠EDF＝，tan∠EDF= ． 考点：异面直线所成角 11．如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】先根据线面平行的判定定理证明平面，平面，再根据面面平行的判定定理即可得证。 【详解】证明：四边形与四边形均为直角梯形， 且有，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，得证. 1．如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是棱和的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，由异面直线NO与AM所成角即为与AM所成角求解. 【详解】如图所示： 取的中点，连接，，易知， 所以异面直线NO与AM所成角就为与AM所成角， 因为，M分别是正方形的边AD，的中点， 所以由正方形知识可知， 所以异面直线NO与AM所成角的大小为90°． 故选：D 2．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】取中点G，连接，先证面BFG面AEC，由面面平行证面BFG，再结合条件证，即可得长度在边BG上高的长度与FG、BG较大边的长度之间，最后直接求解即可判断 【详解】如图，取中点G，连接， 点，分别是棱，的中点，则， 又，面BFG，面AEC，所以面BFG面AEC， 因为平面，故面BFG， 又是侧面正方形内一点（含边界），面BFG 面，故， 易得，，边FG上的高，故由等面积法，边BG上的高，故，又， 故选：D 3．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则(    )    A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 【答案】AB 【分析】作出过的截面判断选项A；取中点为，证明其满足选项B；当在运动时，确定截面的形状，引入参数(如)计算出面积后可得取值范围，判断选项C，过与底面平行的平面截正方体得出的下半部分为长方体，其外接球也是过C，M，B，N四点的球，由此求得球半径，得表面积，判断选项D． 【详解】选项A，连接，，正方体中易知， 分别是中点，则，所以，即四点共面，当与重合时满足B，N，P，Q四点共面，A正确；    选项B，如图，取中点为，连接， 因为分别是中点，则与平行且相等，是平行四边形， 所以，又是中点，所以，所以， 平面，平面，所以平面，B正确；    选项C，正方体中，分别是中点，则， 在上，如图，作交于，连接，延长交延长线于点，连接延长交延长线于点，连接交于点，交于点，为所过三点的截面， 由正方体的对称性可知梯形与梯形全等， 由面面平行的性质定理，，从而有，由正方体性质， 设，，则，， 是中点，，则，所以，同理， ，，， 梯形是等腰梯形，高为， 截面面积， 设，，， 在上递增，，， 所以，C错； 选项D， 取中点，中点，连接，则是正四棱柱（也是长方体），它的外接球就是过四点的球，所以球直径为，半径为，表面积为，D错．    故选：AB． 4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，点在棱上，且平面，则 ．    【答案】2 【分析】连接、，设、，连接，过点作交于点，连接、，即可证明平面平面，从而得到平面，再根据线段平行得到线段的关系，即可得解. 【详解】连接、，设、，连接， 过点作交于点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 同理可得平面，，平面， 所以平面平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，则为的中点， 又为的中点，所以，， 所以，又，所以， 所以，又为的中点， 所以， 则， 所以.    故答案为： 5．如图，平面.判断c与a，c与的位置关系，并说明理由. 【答案】见解析. 【解析】由题意，由平面与平面平行的性质定理可得，由可得，由直线与平面平行的判定定理可得. 【详解】解：.理由如下： ∵平面. 又.又. 【点睛】本题主要考查平面与平面平行的性质定理及直线与平面平行的判定定理，需注意定理的灵活运用. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F． （1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值． 【答案】（1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析 【分析】(1)设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AF∥GH，由此能证明在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG． (2)选择①AB⊥BC，推导出AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F﹣AC﹣D的余弦值．选择②FC与平面ABCD所成的角为，取BC中点E，连结 AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，FM⊥平面ABCD，FC与平面 ABCD所成角为∠FCM，，推导出AE，AD， AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择③∠ ABC，推导出PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，推导出 AE，AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 F﹣AC﹣D的余弦值． 【详解】(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG． 证明如下：如图所示： 设PC的中点为H，连结FH， 因为，， ，， 所以 所以四边形AGHF为平行四边形， 则AF∥GH， 又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC， ∴AF∥平面PGC． (2)选择①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直， 以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵PA＝AB＝2， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，(﹣2，﹣1，1)， 设平面FAC的一个法向量为(x，y，z)， ∴， 取y＝1，得(﹣1，1，﹣1)， 平面ACD的一个法向量为(0，0，1)， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， 则cosθ， ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为． 选择②FC与平面ABCD所成的角为： ∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM， 则FM∥PA，且FM＝1， ∴FM⊥平面ABCD， FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴， 在Rt△FCM中，CM， 又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直， 以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)， 设平面EAC的一个法向量为(x，y，z)， 则， 取x，得( ，﹣3，3)， 平面ACD的一个法向量为：(0，0，1)， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， 则cosθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为． 选择③∠ABC： ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE， ∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形， ∵E是BC的中点，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直， 以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ∵PA＝AB＝2， ∴A( 0，0，0)，B( ，﹣1，0)，C(，1，0)， D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， ∴(0，1，1)，( ，0，1)， 设平面EAC的一个法向量为(x，y，z)， 则， 取x，得( ，﹣3，3)， 平面ACD的法向量(0，0，1)， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， θ则cosθ． ∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为． 【点睛】本题主要考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解能力、逻辑推理能力，属于中档题． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业14 空间中的平行关系 1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β． 2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ． 3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 4．若α∥β，a⊂α，则a∥β． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（    ）    A． B． C．1 D． 3．空间四边形中，且AC垂直BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．已知平面，点,直线，则直线AB与 的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．异面 D．无法确定 5．设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 6．在正方体中，是棱的中点，是四边形内的动点，且平面，下列说法正确的个数是（    ） ①点的轨迹是一条线段 ②与不可能平行 ③与是异面直线 ④当与不重合时，平面不可能与平面平行 A．1 B．2 C．3 D．4 7．正方体，以下直线不和平面平行的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．设有两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，下列命题中错误的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，则 9．正方体中异面直线与所成角的大小为 . 10．如图，已知平面，，，,、分别是、的中点，则异面直线与所成角的正切值为 . 11．如图，多面体中，四边形与四边形均为梯形.已知点四点共面，且.证明：平面平面. 1．如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是棱和的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为（    ） A． B．2 C． D．3 3．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则(    )    A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点，点在棱上，且平面，则 ．    5．如图，平面.判断c与a，c与的位置关系，并说明理由. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为，③∠ABC． 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F． （1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由； （2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$