高一数学下学期期末考前必刷押题卷（范围：沪教版2020必修第二册 综合卷）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

高一数学下学期期末考前必刷押题卷 （范围：沪教版2020必修第二册 综合卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若复数满足，则 ． 【答案】/ 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 2．已知向量，且，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据题给条件求出，再根据向量的数量积公式及模长公式即可求解. 【详解】由，得， 则， 则. 故答案为：. 3．若，则 ． 【答案】/ 【知识点】诱导公式一、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式化简即得 【详解】∵， ∴ 故答案为：. 4．若函数的最小正周期为，则 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由正弦型函数最小正周期计算公式计算即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以. 故答案为：. 5．已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 6．如图为函数的图象的一段，则 . 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】由题意可求得，，再代入点，结合，即可得答案. 【详解】解：由图象可得. 又，即， 所以. 又图象过点， 因此， 解得， 又，所以. 故答案为： 7．在中，，则面积的最大值是 ． 【答案】6 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】先由同角三角函数的平方关系得，由余弦定理及基本不等式得，根据三角形面积计算公式即可求解． 【详解】因为是三角形的内角，，所以． 由余弦定理得， 整理得，即， 当且仅当时，等号成立． 所以的面积， 所以面积的最大值是6， 故答案为：6． 8．已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 9．已知，，，点在直线上运动，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】根据向量共线可设，将转化为，从而得到，然后求二次函数的最小值即可. 【详解】因为点在直线上运动，设，所以， 因为，，所以，， ，， 所以 ， 当时，有最小值. 故答案为： 10．已知复数，满足，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由题可得表示以A为圆心，半径为1上的点到原点的距离，据此可得答案. 【详解】设，则， 则，即B在以A为圆心，半径为1的圆上， 则表示圆上点B到原点的距离， 由图可得当B，A，O三点共线时取最大值，为. 故答案为：. 11．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【知识点】求含cosx的二次式的最值、三角函数在生活中的应用 【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，逐项判断即可求解. 【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，， 又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米， 所以第分钟，点距离地面的高度为：， 第分钟，距离地面的竖直高度为：， 化简得， 所以，故①正确； 当，即时，得最大值，为，故②错误； 若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需, 所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误； 因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 故答案为：①③. 12．计算： .（填近似值不得分） 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】令，则，应用三角恒等变换可得，即可求函数值. 【详解】令，则，故， 由 ，而， 所以，可得，故（负值舍）， 所以. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的相等 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 14．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】根据向量的坐标加法运算及向量垂直的数量积坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，解得，故A正确. 故选：A. 15．已知在中，，，则的值为（   ） A． B．－2 C．2 D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先求出，从而得到，再由两角和的正切可求. 【详解】因为为三角形内角且，故， 故，故， 故选：D. 16．已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】先根据函数的对称性，确定的值，利用辅助角公式把函数化成的形式，再利用数形结合法，观察曲线与在的交点个数. 【详解】因为恒成立，所以为的一条对称轴， 那么，所以， 解得，， 与的图象如图所示： 由图可知，曲线与的交点个数为4． 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数． (1)求实数m的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）根据复数的运算得出的表达式，进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案； （2）由（1）得出，然后根据共轭复数的概念得出，进而根据复数的乘法运算计算化简即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，. 因为是纯虚数，所以有，解得. （2）由（1）可知，，， 所以， 所以. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】（1）根据菱形的几何性质，结合向量的加法以及数量积的运算律，可得答案； （2）根据菱形的几何性质以及相似三角形的判定与性质，结合向量的线性运算与数量积的运算律，利用二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）在菱形中，易知，， 所以 . （2）在菱形中，，易知， 由，则，即， 所以 ， 故，所以当时，取得最小值为. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 记的内角的对边分别为，，的面积为． (1)求的大小； (2)若外接圆的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理得，再由的面积，得到，进而求得，即可得到的大小； （2）设外接圆的半径为，求得，由正弦定理得到，再由，得到，由余弦定理，列出方程求得，进而得到的周长. 【详解】（1）解：在中，因为 由余弦定理可知：， 又因为的面积，所以． 所以， 因为，所以． （2）解：设外接圆的半径为，则，所以， 由正弦定理得，所以， 因为的面积，所以， 由余弦定理得， 所以，即，所以， 所以的周长为． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：二次函数的最值问题，利用开口向上，在顶点处取得最小值，可得不等关系，进而转化为不等式恒成立问题处理是关键. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 新定义：若函数（为非零整数），则称为的“b级飘带函数”. (1)试判断：是否为某个函数的“级飘带函数”，并说明理由； (2)已知为的“b级飘带函数”.小张同学研究的性质中得出以下两个命题： 命题①：的奇偶性与相同； 命题②：的周期性与相同. 请你判断命题是否正确，若正确，请证明；若错误，请修改成真命题. (3)已知为的“b级飘带函数”，若，求：的最小值 【答案】(1)是，理由见解析 (2)命题①正确，证明见解析；命题②错误，答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】函数新定义、求正切（型）函数的周期、函数奇偶性的定义与判断、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据正切函数、余切函数的关系，结合“级飘带函数”的定义进行判断. （2）根据函数奇偶性的判断方法证明命题①；结合函数的周期性改写命题②并证明. （3）结合“耐克函数”的图象分情况求函数的最小值. 【详解】（1）是，当时，是的“1级飘带函数”. （2）命题①正确，命题②错误.命题①的证明如下： 若是偶函数，即，则 即也是偶函数； 若是奇函数，即，则 .即：也是奇函数 综上，与奇偶性相同 对命题②： 当，时，首先函数是以为周期的周期函数. 再者：. 是周期为的周期函数. 所以的周期性与相同，这一说法错误. 命题②可订正为：存在，，使得的周期与的周期不同. （3）可求得值域为. 当时，令，由定义法可证明为严格增函数，则当时，取得最小值. 当时，结合耐克函数的性质可得，在上单调递减，在上单调递增. 所以：当，即，又因为为非零整数，所以该情况不成立； 当，即（即或时），由基本不等式易得取得最小值（2或）. 当，即时，由耐克函数图象性质易得当时，取得最小值. 综上可知：当且时，的最小值为； 当时，的最小值为2； 当且时，的最小值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学下学期期末考前必刷押题卷 （范围：沪教版2020必修第二册 综合卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若复数满足，则 ． 2．已知向量，且，则 . 3．若，则 ． 4．若函数的最小正周期为，则 ． 5．已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 6．如图为函数的图象的一段，则 . 7．在中，，则面积的最大值是 ． 8．已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 9．已知，，，点在直线上运动，则的最小值为 ． 10．已知复数，满足，，则的最大值为 ． 11．如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论： ①； ②最大值是35； ③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到的距离等于15米． 其中所有正确结论的序号为 ． 12．计算： .（填近似值不得分） 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．已知平面向量，，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 15．已知在中，，，则的值为（   ） A． B．－2 C．2 D． 16．已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，，，i为虚数单位，且是纯虚数． (1)求实数m的值． (2)求的值． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 记的内角的对边分别为，，的面积为． (1)求的大小； (2)若外接圆的面积为，求的周长． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 新定义：若函数（为非零整数），则称为的“b级飘带函数”. (1)试判断：是否为某个函数的“级飘带函数”，并说明理由； (2)已知为的“b级飘带函数”.小张同学研究的性质中得出以下两个命题： 命题①：的奇偶性与相同； 命题②：的周期性与相同. 请你判断命题是否正确，若正确，请证明；若错误，请修改成真命题. (3)已知为的“b级飘带函数”，若，求：的最小值 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$