专题02 高一下学期期末真题精选（考题猜想，压轴10大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

专题02 高一下学期期末真题精选（考题猜想，压轴10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角形周长（边长代数和）问题（难点） · 题型二 三角形面积问题（高频） · 题型三 三角函数中的零点问题（难点） · 题型四 三角函数中的恒成立问（难点） · 题型五 三角函数中的新定义问题 · 题型六 平面向量基本定理（高频） · 题型七 向量的数量积（含最值范围）（难点） · 题型八 向量的模（含最值范围）（难点） · 题型九 平面向量中的新定义题 · 题型十 复数模的最值（范围）问题（重点） 题型一 三角形周长（边长代数和）问题 1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 2．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 3．（23-24高一下·上海·期末）在△中，，，则的取值范围是 . 4．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 6．（23-24高三上·上海普陀·期末）在中，为的平分线，，，则的最大值为 . 7．（23-24高三上·上海松江·期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 题型二 三角形面积问题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 2．（24-25高一下·上海长宁·开学考试）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为 ． 3．（22-23高一下·上海奉贤·期末）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 4．（24-25高一下·上海·开学考试）数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补． ②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． ③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： (1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度； (2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小． 5．（2022·上海金山·一模）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）. (1)若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） (2)园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由. 6．（2022·上海徐汇·一模）已知向量，且， (1)求函数在上的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 题型三 三角函数中的零点问题 1．（22-23高二下·上海·期末）已知向量，函数，． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为﹣1，求实数m的值； (3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期和单调区间. (2)若在区间上恰有3个零点，试求的取值范围. 3．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 4．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 5．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 题型四 三角函数中的恒成立问 1．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数， (1)求出函数的单调增区间 (2)当时，求函数的最大值 (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 5．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知的面积为，且满足，设和的夹角为. (1)求的取值范围； (2)求函数的取值范围； (3)若不等式对于在取值范围内的任意值恒成立，求实数的取值范围. 6．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)求函数严格增区间； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型五 三角函数中的新定义问题 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）小丁同学在某数学练习书上看到一道题：已知，求. 题目附有解答如下：. (1)小丁认真研究题目和解答，判断（    ） A．题目正确，解答巧妙！  B．题目错误！  C．解答推理错误！ 爱思考的她仿照老师对问题进行改编并推广，她想研究（为正整数），查阅资料后她有下面的结论：若（为正整数），则的表达式为一个最高次为次的多项式. (2)求的表达式； (3)请帮她判断函数的奇偶性； (4)试帮她确定系数（用含的代数式表示）. （可使用以下她预习的证明方法） 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当取第一个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，对任意实数，当时，有成立.将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 3．（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 4．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合 (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求t的取值范围； (3)设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 5．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 6．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 题型六 平面向量基本定理 1．（23-24高一下·上海浦东新·期中）矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是 . ①若，则的面积为定值            ②若，则的最小值为4     ③若，则满足的点不存在    ④若，，则的面积为 2．（2023·上海浦东新·一模）如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为 . 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点A） ，若，则的最小值为 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． (1)若，，，求的值； (2)若，为线段上一点，且，求实数的值； (3)设，，求的取值范围． 题型七 向量的数量积（含最值范围） 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 3．（24-25高一下·上海·期中）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 . 4．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 . 6．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 ． 题型八 向量的模（含最值范围） 1．（2023高三·上海·专题练习）已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为 . 2．（2023·上海长宁·二模）已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 3．（2023·上海闵行·一模）已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 4．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 题型九 平面向量中的新定义题 1．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 2．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 3．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 4．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)设，若对恒成立，求 的最大值. 5．（24-25高一下·上海·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 6．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. (1)计算的值， (2)若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求的值； ②求的面积： 题型十 复数模的最值（范围）问题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为 ． 2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 4．（24-25高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 5．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 6．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . $$专题02 高一下学期期末真题精选（考题猜想，压轴10大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 三角形周长（边长代数和）问题（难点） · 题型二 三角形面积问题（高频） · 题型三 三角函数中的零点问题（难点） · 题型四 三角函数中的恒成立问（难点） · 题型五 三角函数中的新定义问题 · 题型六 平面向量基本定理（高频） · 题型七 向量的数量积（含最值范围）（难点） · 题型八 向量的模（含最值范围）（难点） · 题型九 平面向量中的新定义题 · 题型十 复数模的最值（范围）问题（重点） 题型一 三角形周长（边长代数和）问题 1．（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、基本不等式求积的最大值、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】先求角，再结合基本不等式和余弦定理可求三角形周长的取值范围. 【详解】由， 因为为三角形内角，所以，所以，所以. 由余弦定理：，即. 所以，所以，所以. 又，所以. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是 【答案】 【知识点】等差中项的应用、正弦定理边角互化的应用、正、余弦齐次式的计算、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】求出的值，设等差数列、、的公差为，求出的取值范围，利用正弦定理、两角和与差的余弦公式、弦化切，可求得所求代数式的取值范围. 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等比数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以，， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以， . 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）在△中，，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、由导数求函数的最值（不含参）、求三角形中的边长或周长的最值或范围、用基底表示向量 【分析】根据题意画出图形，用余弦定理，，，两边平方转化为边长，，，有三点共线的向量表达式结论知道，将构造成函数，借助导数先求出的范围，再开方即可. 【详解】根据题意，画出草图如下， 用余弦定理知道，； ，两边平方得到， ，即， 由于，由三点共线的向量表达式结论知道， ， 令，则． 令，． 由于，令，求导，解得. ,，单调递减； ,，单调递增；则，有最小值． ，故的值域为， ，，即， 开方即得. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海宝山·期末）中，，当时，的最小值为，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】令，取点使，则可可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和，从而可数形结合构造出点关于的对称点为，得到，再利用余弦定理计算出后即可得解. 【详解】令，则， 又，则点在线段上， 取上靠近点的三等分点，连接，则， 则， 令点关于的对称点为，则， 即有，设，则在中， 有， 即，即， 又，则， 则有， 即，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于数形结合，在线段上取点，使，从而可将所给条件借助向量的线性运算转化为两线段之和. 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本（均值）不等式的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（23-24高三上·上海普陀·期末）在中，为的平分线，，，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值、三角形面积公式及其应用 【分析】利用平面向量数量积的定义可得出，利用等面积法可得出的表达式，利用基本不等式可求得长的最大值. 【详解】在中，记内角、、的对边分别为、、， 由平面向量数量积的定义可得，可得， 因为，即， 可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故长的最大值为. 故答案为：. 7．（23-24高三上·上海松江·期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得. 【详解】由正弦定理得，即， ， 由于，所以为锐角，, 所以， 由正弦定理得， 则. 故答案为： 题型二 三角形面积问题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知是大于3的正整数，平面直角坐标系中，正边形内接于单位圆.若集合，则集合表示的平面区域的面积为 .（结果用表示） 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】根据给定信息，确定集合表示的平面区域，再结合三角形面积求解即得. 【详解】由，得点在线段的垂直平分线分平面含点一侧的区域， 线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 照此进行，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点， 集合表示的平面区域是正边形及内部，其内切圆半径为， 显然，，， 所以集合表示的平面区域的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设信息，确定集合表示的平面区域对应的图形是求解本题的关键. 2．（24-25高一下·上海长宁·开学考试）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用 【分析】由题意首先确定面积最大时点的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，由圆的性质可知当为弧的中点时，到的距离最大， 此时阴影部分的面积取最大值， 此时， 面积的最大值为 . 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海奉贤·期末）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）分别在、中，应用正弦定理求、，即可得解析式； （2）根据正弦定理得到，即. （3）根据计算得到的最小值. 【详解】（1）由题知，，， 在中， 则， 在中， 则. 所以. （2）由题意，而， 则， 所以， 结合（1）知：. （3）由（2）知， 又， 所以，当，时，. 4．（24-25高一下·上海·开学考试）数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①四边形的四个顶点共圆的充要条件是四边形的内对角互补． ②（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． ③婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： (1)见图1，若，求线段长度的最大值，并求出此时线段长度； (2)见图2，若，求四边形面积的最大值，并求出此时角的大小． 【答案】(1)， (2)； 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据“托勒密定理”表示出边长的关系即可求出. （2）连接，分别在和利用余弦定理，再结合四点共圆后同角三角函数关系解出角A ，最后由三角形的面积公式得到四边形的面积. 【详解】（1）设，则 ， 由材料可知， ， 即 ， 解得 ， 所以线段长度的最大值为． 由托勒密定理可知为圆的直径，， 所以， 所以. （2）由材料可知，当四点共圆时，四边形的面积达到最大． 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在 中，由余弦定理得： ，② 因为 四点共圆，所以，从而，③ 由①②③，解得 ， 因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 5．（2022·上海金山·一模）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）. (1)若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟） (2)园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由. 【答案】(1)3 (2)当时，室外游乐场的面积最大. 【知识点】距离测量问题、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）由三角形PBC为等腰直角三角形，利用勾股定理求出PC的长，在三角形PAC中，利用余弦定理求出的PA长即可，进而计算即可得出结果； （2）在三角形PBC中由的度数表示出的度数，利用正弦定理表示出PB与PC，进而表示出三角形PBC面积利用正弦函数的值域确定出面积的最大值即可. 【详解】（1）由题设，米，米，在中，由余弦定理得 ，于是 米. 游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为分钟， 游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为分钟， 所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快分钟. （2）,设则 ， 在中，.由正弦定理得 ， 得. 所以面积， 当时，面积的最大值为平方米. 【点睛】思路点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强解答这类问题，两角和与差的正余弦公式，诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 6．（2022·上海徐汇·一模）已知向量，且， (1)求函数在上的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求三角形面积的最值或范围、余弦定理解三角形、向量垂直的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出，进而求出函数在上的单调递减区间； （2）根据，求出，利用余弦定理和基本不等式求出面积最大值. 【详解】（1）∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：， 因为，所以，所以， 函数在上的单调递减区间为； （2），即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 题型三 三角函数中的零点问题 1．（22-23高二下·上海·期末）已知向量，函数，． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为﹣1，求实数m的值； (3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【详解】（1） ， 当时，， 则； （2）∵， ∴， ∴， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， ②当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）， ③当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， 综上：若的最小值为﹣1，则实数． （3）令，得或， ∴方程或在上有四个不同的实根， 则，解得，则， 即实数m的取值范围是． 2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期和单调区间. (2)若在区间上恰有3个零点，试求的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，单调区间见解析； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）分别求出函数的最小正周期，再由周期的意义求出的最小正周期；分段去绝对值符号，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数在长为一个周期的区间上的零点，再分析求出的取值范围. 【详解】（1）函数的最小正周期是，函数的最小正周期是， 而，即不是的周期， 所以的最小正周期是. 当时，，求导得， 由，得或，解得 或， 由，得或，解得 或； 当时，，求导得， 由，得或，解得或， 由，得或，解得或， 所以的增区间为：， 的减区间有. （2）由（1）知，函数的周期为， 当时，由，得，解得或， 即或或，因此在区间上函数恰有3个零点， 显然当时，函数也恰有3个零点，或或， 当时，函数也恰有3个零点，或或， 当，且时，函数在区间恰有3个零点，则， 所以的取值范围是. 3．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 4．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为坐标原点，对于函数，称向㝵为函数的互生向量，同时称函数为向量的互生函数． (1)设函数，试求的互生向量； (2)记向量的互生函数为，求函数在上的严格增区间； (3)记的互生函数为，若函数在上有四个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性、向量新定义 【分析】（1）利用诱导公式化简，接着结合互生向量定义即可得解. （2）求出并化简得到的解析式，再结合正弦函数的单调性以及变量范围求解即可得解. （3）分离参数得，将函数在上有四个零点 转化成 则函数与在上的图象有四个交点，利用三角函数性质数形结合作出函数图象，则由图象即可得解. 【详解】（1）因为，所以的互生向量. （2）由题意可得，所以， 令，解得， 因为，所以， 所以函数在上的严格增区间为. （3）由题，则， 若函数在上有四个零点，则在上有四个实数根， 则函数与在上的图象有四个交点， 因为， 所以， 则由三角函数性质作其函数图象如图所示， 由三角函数图象及性质可知k的取值范围为. 【点睛】思路点睛：分离参数和数形结合是解决函数零点问题基本方法，所以对于函数在上有四个零点求参数k，先分离参数得，从而将零点问题转化成函数与在上的图象有四个交点，再数形结合利用三角函数性质作出函数图象，由图象即可得解. 5．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】(1) (2) (3)；函数在区间上恰有个零点 【知识点】由对称性求函数的解析式、根据零点求函数解析式中的参数、正、余弦齐次式的计算、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【详解】（1）由题意， 所以，故，又， 所以，故. （2）因为，且为锐角， 所以 故由（1）. （3）由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 题型四 三角函数中的恒成立问 1．（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、函数不等式能成立（有解）问题、辅助角公式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【详解】（1）由二倍角公式及辅助角公式可得 . （2）由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. （3）由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知函数， (1)求出函数的单调增区间 (2)当时，求函数的最大值 (3)若当时，恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、函数不等式恒成立问题、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由辅助角公式得到，利用整体法求出单调递增区间； （2）求出，结合正弦图象得到最大值； （3）先求出，，当时，，当时，令，将其看作关于一次函数，其中，得到不等式组，求出参数取值范围. 【详解】（1）， 令，解得，， 所以函数的单调增区间为，； （2）由（1）知，， 时，， 由于在上单调递增， 故当时，取得最大值，最大值为； （3）由（2）知，当时，取得最小值，最小值为， 故， ， ①当时，， ②当时，令， 将看作关于一次函数，其中， 则需满足，解得且， 综上所述，的范围为. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 4．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知函数 (1)求函数的周期； (2)若函数，求函数在区间上的值域； (3)若恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的最小正周期、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【详解】（1）由诱导公式，， ， ∴的周期． （2）由（1），知， ， ， 由，则， 故，则. 故在区间上的值域为. （3）∵， ， ， ∴当时，， ∵恒成立， 等价于， ∴，即， 解得， ∴实数的取值范围为． 5．（21-22高一下·上海黄浦·期末）已知的面积为，且满足，设和的夹角为. (1)求的取值范围； (2)求函数的取值范围； (3)若不等式对于在取值范围内的任意值恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角形面积公式及其应用、向量夹角的计算 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义结合三角形底面面积公式可求得的取值范围，结合可求得的取值范围； （2）利用三角恒等变换化简的表达式，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围； （3）根据已知条件可得出，结合（2）可得出的取值范围. 【详解】（1）解：由题意可得， 的面积为，，变形可得， ， 由，可得，解得， 又，向量夹角的范围为. （2）解： ， 因为，则，所以，， 所以，. 即的取值范围是. （3）解：因为，则，所以，， 即，故. 6．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知函数，. (1)求函数的值域； (2)求函数严格增区间； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）首先化简函数，再代入函数的定义域，求函数的值域； （2）由（1）可知，，结合正弦函数的单调性，即可求解； （3）参变分离得恒成立；转化为求函数的最值. 【详解】（1）. 因为，所以， 所以，所以的值域为； （2）因为，又在上严格增， 所以当时，严格增，解得 所以函数的严格增区间为； （3）因为，所以不等式等价于恒成立；即， 因为， 所以当时，有最大值； 所以实数的取值范围为. 题型五 三角函数中的新定义问题 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）小丁同学在某数学练习书上看到一道题：已知，求. 题目附有解答如下：. (1)小丁认真研究题目和解答，判断（    ） A．题目正确，解答巧妙！  B．题目错误！  C．解答推理错误！ 爱思考的她仿照老师对问题进行改编并推广，她想研究（为正整数），查阅资料后她有下面的结论：若（为正整数），则的表达式为一个最高次为次的多项式. (2)求的表达式； (3)请帮她判断函数的奇偶性； (4)试帮她确定系数（用含的代数式表示）. （可使用以下她预习的证明方法） 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当取第一个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立. 那么，命题对于从开始的所有正整数都成立.这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）. 【答案】(1)B (2) (3)当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 (4) 【知识点】数学归纳法、函数新定义、函数奇偶性的定义与判断、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）B，原解答假设可以接受不同的参数，比如，而通过变量替换的方式得到结果，但题目中可能存在是否定义在某个特定区间或者是否有唯一性的问题，原解答可能没有意识到这一点，直接进行了变量替换，所以解答过程可能有错误. （2）利用三角恒等式 ，得 ，令，则 （3）根据函数奇偶性的定义即可判断； （4）根据数学归纳法的步骤即可作答． 【详解】（1）B， 题目中函数 的定义存在矛盾。例如，当 和 时，，但 分别取 1 和 −1，导致 无法唯一确定，因此解答错误. （2）， 令，则. （3）判断的奇偶性.通过观察的性质，当为偶数，是偶函数，对应的多项式应仅包含偶次项，如，故为偶函数。当为奇数时，虽然本身是偶函数，但多项式展开后仅包含奇次项，如，因此为奇函数， 例如，当为偶数时，，所以，即偶函数； 当为奇数时，，但根据多项式的展开后仅包含奇次项，因此为奇函数， 所以 因此，可以判断，当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数. （4）证明存在一个次项系数为的次多项式，使得： ①当时，；当时，； ②假设当，（为正整数）时，结论成立， 即存在一个次和次多项式和， 使得，， 则当时，由于， 两式相加得， 综上所述，由数学归纳法得存在一个次多项式， 使得，且的次项系数为. 【点睛】对于新定义新方法下的即时应用问题，应该根据给出的定义和给出的方法进行推理，注意依据定义合理变形. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中. (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在且上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，对任意实数，当时，有成立.将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、根据函数的最值求参数、二倍角的正弦公式 【分析】（1）利用正弦的二倍角公式化简函数解析式，由函数图象的性质确定最小正周期，即可求出的值； （2）由图象的平移变换得到函数，结合和，求得的值，根据零点个数可知，要使最小，则恰好为零点，由此可求出的最小值； （3）根据，，可得，当且仅当，时取等号，进而求出. 【详解】（1）函数 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，由，解得； （2） 所以 所以或， 解得或， 又，得，所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点，所以的最小值为； （3）由题意， 因为，所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10，所以同时取得最大值1， 所以，所以，所以满足条件的的最小值为. 【点睛】求参数的取值范围的题目中，一般从三方面着手，一是在研究的图像与性质时，可以令，根据定义域，求的范围；二是可以先做出的图象，然后研究函数区间内的极值点、零点、单调区间等；三是已知函数在上单调，则利用，可大概求出的取值范围. 3．（24-25高一下·上海·期中）若函数和的定义域均为，则记. (1)已知，证明：是的周期. (2)命题：若均是和的最小正周期，则是的最小正周期，试判断该命题的真假性，若为真命题，请证明；若为假命题，请举反例. (3)若.请根据的周期性，求的值域和最值. 【答案】(1)证明见解析 (2)假命题，答案见解析 (3)答案见解析，值域为，最大值为，最小值为 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、函数新定义、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）利用正弦函数性质和余弦函数性质结合周期性的定义求解即可. （2）先判断原命题是假命题，再利用正弦函数的性质证明即可. （3）利用诱导公式求出，再利用正弦函数和余弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）由正弦函数性质得， 由余弦函数性质得， 则 故是的周期. （2）该命题是假命题，令， 由正弦函数性质得与最小正周期均为， 但最小正周期为，故原命题为假命题. （3）由已知结合诱导公式得， 得到， 由正弦函数和余弦函数性质得 令，由正弦函数性质得在上单调递增， 故由正弦函数性质得， 令，由余弦函数性质得在上单调递增， 在上单调递减；故 而，故值域为， 且的最大值为，最小值为. 4．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的定义域是D，对于任意的，定义集合 (1)设，定义域，求； (2)设，定义域，若，求t的取值范围； (3)设，定义域．求实数a的取值范围，使得对任意的，且，都有 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】复合函数的单调性、比较正弦值的大小、二倍角的余弦公式、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据正弦函数的单调性即可求解； （2）先求，由即可求解； （3）根据定义判断出函数单调递减，由，令，，则，，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由，定义域， 所以，所以； （2）因为，所以， 又因为，所以， 所以； （3）因为对任意，，都有， 若，则，所以，又， 所以在上单调递增， 因为， 令，，则， 由在单调递减，根据复合函数的单调性，只需在单调递减即可， 所以，即， 综上所述，. 5．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若对于任意的，等式总是成立，求，的值； (2)若为偶函数，对于任意的，是否存在，使不等式总是成立？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由； (3)若的最大值为2，对于任意的，总是存在，使等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将化简，即可得解； （2）首先求出的值，即可求出在上的值域，依题意，即可得到关于的不等式组，解得即可； （3）首先求出的值，再令，结合二次函数的性质求出的值域，依题意可得，求出的范围，结合正弦函数的性质得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为 ， 又且， 所以，； （2）因为为偶函数， 所以，则， 当时，，所以，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以，解得， 所以不存在使得恒成立； （3）因为的最大值为，且，所以，则， 令，则， 因为，所以当时取得最大值，即， 当时取得最小值，即， 所以， 因为对于任意的，总是存在，使等式成立， 所以， 当时， 又，所以，又，， 所以，解得，即的取值范围为； 6．（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、利用正切函数的单调性求参数 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【详解】（1）由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. （2）当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故，   所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点，       于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 题型六 平面向量基本定理 1．（23-24高一下·上海浦东新·期中）矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是 . ①若，则的面积为定值            ②若，则的最小值为4     ③若，则满足的点不存在    ④若，，则的面积为 【答案】①③④ 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】根据、的不同取值，分析点所在的位置，结合题意逐项分析即可. 【详解】 对于①，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 在中，以为底边，高为点到的距离， 所以为定值，故①正确； 对于②，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上， 当位于点处时， 有最小值2，故②错误； 对于③，当时，取的中点，的中点，连接， 此时点位于上，如图点与重合，此时、夹角为， 同理，若点与重合，此时、夹角也为， 若不与、重合，设、夹角为，则， 又因为，， 所以 ， 因为、，所以、， 所以，由题意知，， 、夹角为，所以， 又因为、夹角为， 所以， ，，且，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以，所以、夹角为锐角， 综上，无论怎么移动，，都不会垂直，故③正确； 对于④，当，时，由向量加法的平行四边形法则作图， 此时到的距离为， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 2．（2023·上海浦东新·一模）如图，在中，点D、E是线段BC上两个动点，且，，则的最小值为 . 【答案】8 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】以向量为基底，表示向量,结合平面向量基本定理可得，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】设，，则，，，，所以， 所以，又， 所以，所以， 因为，，所以，，所以， 即，同理可得，若则，，因为，，所以，所以，即，此时三点重合，与已知矛盾，所以，同理 所以， 当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为8． 故答案为：8． 3．（24-25高一下·上海·期中）在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点A） ，若，则的最小值为 【答案】/ 【知识点】求二次函数的值域或最值、已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】设，由点 为 的三等分点，得到，求得，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，因为在线段上，可设，其中， 又因为点 为线段 的三等分点（靠近点），可得， 所以， 因为，所以，其中， 则，其中， 设，可得的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以. 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． (1)若，，，求的值； (2)若，为线段上一点，且，求实数的值； (3)设，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，在中，利用余弦定理可求得；（2）设，由已知可得，进而可得，结合已知可求； （3）设，由已知可得，结合平面向量基本定理可得，计算可求的取值范围. 【详解】（1）因为在等腰梯形中，所以为锐角， 又，所以， 在中，，，由余弦定理可得， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为为线段上一点，所以，又， 所以，解得； （3）因为为线段上的一个动点，所以存在实数，使， ， 又，所以，所以， 由，因为，可得， 所以， 因为，所以. 所以的取值范围为． 题型七 向量的数量积（含最值范围） 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 2．（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海·期中）已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值、数量积的坐标表示 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】 设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查了平面向量数量积的最值问题，难度较大，解答本题的关键在于通过条件得到，然后建立平面直角坐标系，结合坐标运算求解. 4．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量的模、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形、向量与几何最值 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 6．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】三角恒等变换的化简问题、数量积的运算律、正弦定理解三角形 【分析】根据题意，由正弦定理可得，然后分与讨论，再由平面向量数量积的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，所以， 所以，且，则或， 则或， 当时，， 所以 ，，则， 当时，即时，取得最小值； 当时，， 所以 ，，则， 则无最值； 综上所述，的最小值是 故答案为： 题型八 向量的模（含最值范围） 1．（2023高三·上海·专题练习）已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】向量的模、数量积的坐标表示 【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，判断出对应坐标满足的轨迹，由此确定正确答案. 【详解】依题意，， 在平面直角坐标系中，设，对应向量， ，对应向量，则，则， 由于，所以对应终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 依题意，恒成立，两边平方并化简得恒成立， 所以，整理得， 设，则， 所以对应点的轨迹是直线. 则表示圆上的点和直线上的点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解向量问题可以有两个方向，一个是利用几何法来求解，另一个是利用坐标法来求解.用坐标法来求解，是根据题目的已知条件，建立适当的平面直角坐标系，然后用坐标表示向量，由此来对问题进行求解. 2．（2023·上海长宁·二模）已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、垂直关系的向量表示 【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值. 【详解】 依题意，如图分别作，其中,, 由知，依题意知点有两个位置，即点和点， 又,，由知, 即点的轨迹是以线段为直径的圆. 故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决. 3．（2023·上海闵行·一模）已知平面向量、、和实数满足，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】根据，可得，利用平面直角坐标系取则，设，结合已知条件可得，，利用平面向量的坐标运算可得，故可得的取值范围. 【详解】解：因为，所以， 则，所以，于是有， 因为，所以 则如图所示，在平面直角坐标系中， 则，设， 因为，所以，则，即， 因为，所以 则，即，解得， 则 因为 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，当时，，当时，，所以 故的取值范围是. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海黄浦·期末）如图，已知为平行四边形．    (1)若，，，求及的值； (2)记平行四边形的面积为，设，，求证： 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】（1）由，根据数量积的运算律求出，再根据计算可得； （2）由面积公式得到，将两边平方，再由同角三角函数的基本关系、夹角公式及数量积、模的坐标表示计算可得. 【详解】（1）在平行四边形中， 所以 ， 即，解得， 所以 . （2）因为，将两边平方可得， 又， 所以， 整理得， 又，，， 所以， 所以. 题型九 平面向量中的新定义题 1．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、向量新定义 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其图像的最高点从左到右依次记为，，，，，其图像与轴的交点从左到右依次记为，，，，，则 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、求cosx（型）函数的最值 【分析】根据条件可得出，，，，，，，，， 然后得出，，，，这样即可得出答案. 【详解】根据题意得，，，， ，，，，，， ， ，， ， . 故答案为： 3．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 【答案】(1) (2)1 (3)答案见解析 【知识点】向量垂直的坐标表示、向量新定义、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量的线性运算、新定义运算可得答案； （2）根据向量的数量积运算可得答案； （3）设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案；或设，，的充要条件为. 【详解】（1）， 所以，向量； （2）由已知，有，， ； （3）设，，求的斜坐标表示公式， ，， ， 或，设，，的充要条件为. 4．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)设，若对恒成立，求 的最大值. 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【知识点】向量新定义、已知数量积求模、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据条件有，再利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【详解】（1）因为，则，又， 则. （2）不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 5．（24-25高一下·上海·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作.两个复向量的数量积记作，定义为，复向量的模定义为.记为虚数单位. (1)设，求复向量与的模； (2)对两个复向量与，若时，称与平行.设，，是否存在实数，使与平行，若存在，求出；若不存在，请说明理由. (3)我们知道对于任意平面向量与，都有；对任意两个复向量与，不等式是否仍成立，试给出判断，并说明理由； 【答案】(1)；； (2)不存在，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【知识点】向量新定义、数量积的坐标表示 【分析】（1）由复向量的模的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由给定的平行条件代入计算，即可判断； （3）根据题意，由复数的三角不等式代入计算，即可判断. 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）不存在 ， 得， 若与平行，则， 得， 得，而，则此方程无实数根， 故不存在实数，使得与平行. （3）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知，. 【点睛】关键点睛：本题主考考查了向量的新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解所给定义并且结合向量坐标运算的相关知识解答. 6．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】数量积的运算律、向量加法的法则、向量加法的运算律 【分析】（1）直接使用等分点的向量性质即可； （2）设，然后分和两种情况证明结论. 【详解】（1） 记的中点为，则由已知有. 所以. （2）对，设，则，. 同时，由于，. 故，. 若，取，，则，. 若，不妨设. 由于，， 故我们可以找到正整数，使得，. （换言之，是满足的正整数的最大值） 由于，故. 取，，则 ，且 . 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对数量积的运算律的运用. 7．（23-24高二下·上海宝山·期末）从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量. (1)计算的值， (2)若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知 ①求的值； ②求的面积： 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的坐标表示、数量积的运算律 【分析】（1）直接根据数量积的定义求解； （2）①根据数量积定义求的值；②求出各边长，再求其面积. 【详解】（1） 同理， 所以. （2）①， ， 所以 ②， 同理， ， ， 等腰中，可计算得边上的高为， 所以的面积为. 题型十 复数模的最值（范围）问题 1．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，，，，，，若，且，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】把条件代表的几何意义表示出来，然后把问题转化成点到直线的距离之和，通过梯形转化成点D到直线的距离，再转化成点D到过圆心且平行于的直线的距离，最后通过即可计算出答案. 【详解】由，得复数在复平面内对应点，复数在复平面内对应点．   ，，，记与夹角为 ，，所以,， 到直线的距离， 到直线的距离， 即求的最大值． 设点D为的三等分点，且， 则D到直线的距离， ，即求的最大值， 设D到直线距离为 ，即求最大值． 由，，可知， 点，在圆上运动，， 故当时，取得最大值，取得最大值， 取得最大值， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到条件和问题的几何意义，通过图形的转化，计算出答案. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模的几何意义，即可求得的取值范围. 【详解】解：表示在复平面上对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 最小距离为，最大距离为， 的取值范围为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数和复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】复数代数形式的乘法运算、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】结合复数模的公式，得到复数表示的几何图形，再结合复数的几何意义，利用数形结合求的最大值. 【详解】设，则，整理为， 所以复数表示的点的轨迹是以点为圆心的圆面， ，，表示的几何意义是圆面上的点到原点距离，如图， 的最大值为连结圆心和原点的距离再加半径，所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式不等式、求复数的模、求二次函数的值域或最值、不等式综合 【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围． 【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为， 则在上，函数图像上的点要在函数上面. 分情况讨论， 当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意. 当，不等式的解集不为，不合题意， 所以若不等式的解集为，必有. 根据图像知道，在1处刚好取等即可，则， 可得． 令，这是一个二次函数，函数图象开口向上． 当时，． 所以， 综上所得， 的取值范围是． 故答案为：．    5．（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 6．（2025·上海青浦·模拟预测）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】由模长运算，可得复数的模长，根据复数的几何意义与圆的性质，可得答案. 【详解】已知，则. 因为，所以， 表示复数所对应的点到所对应的点的距离， 说明对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上半径，即. 故答案为：. $$