专题01 高一下学期期末真题精选（考题猜想，常考27大题型）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（沪教版2020必修第二册）

专题01 高一下学期期末真题精选（考题猜想，常考27大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 任意角与弧度制（易错） · 题型二 三角函数定义（易错） · 题型三 同角三角函数基本关系 · 题型四 诱导公式化简问题（易错） · 题型五 两角和差公式（易错） · 题型六 二倍角公式（高频） · 题型七 利用正、余弦定理解三角形 · 题型八 判断三角形形状 · 题型九 三角形个数问题 · 题型十 三角形周长问题（重点） · 题型十一 三角形面积问题 （易错） · 题型十二 三角形的实际应用（高频） · 题型十三 三角函数的图象与性质（难点） · 题型十四 三角函数图象变化（难点） · 题型十五 求三角函数解析式（重点） · 题型十六 生活中的三角函数模型 · 题型十七 平面向量的概念 · 题型十八 平面向量的加减数乘运算（高频） · 题型十九 平面向量的数量积（重点） · 题型二十 向量的模（易错） · 题型二十一 向量的夹角（重点） · 题型二十二 利用向量解决几何问题（重点） · 题型二十三 向量中新定义题（重点） · 题型二十四 复数的四则运算（重点） · 题型二十五 复数的模（高频） · 题型二十六 复数的类型（高频） · 题型二十七 实系数一元二次方程（难点） 题型一 任意角与弧度制 1．（24-25高一上·上海·期末）已知角，则的终边在第 象限 2．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角大小为，且半径为 2，则扇形的面积为 . 3．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为 ． 4．（24-25高一上·上海·期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度 . 5．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为 . 6．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·期末）勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 题型二 三角函数定义 1．（23-24高一下·上海·期末）已知角的终边经过点，则 . 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知角的终边经过点则 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）函数（且）的图象都过定点P，且点P在角的终边上，则 ． 4．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 5．（23-24高一上·上海·期末）已知点在角的终边上，且，则 ． 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（23-24高一上·上海·期末）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦，正切及余切值. 题型三 同角三角函数基本关系 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则 . 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，则 ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若．则 ． 5．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 6．（24-25高一上·上海·期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 7．（21-22高一上·上海黄浦·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 题型四 诱导公式化简问题 1．（24-25高一上·上海·期末）已知角α的终边经过点，则= ． 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则 ． 3．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 5．（23-24高一上·湖南·期末）化简： . 6．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 7．（24-25高一上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． (1)若点坐标为，求的值； (2)化简并求值． 8．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知. (1)求； (2)若角为第二象限角，且，求的值. 9．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求点的坐标. 10．（23-24高一上·上海·期末）（1）已知，若、是关于x的一元二次方程的两实根，求的值； （2）已知，且，求及的值. 题型五 两角和差公式 1．（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 . 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 5．（23-24高一上·上海·期末）已知为锐角，，则 . 6．（23-24高三上·上海松江·期末）已知，，则的值为 7．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 8．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 题型六 二倍角公式 1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，则 ． 4．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若，则 . 5．（23-24高一上·上海·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 7．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 题型七 利用正、余弦定理解三角形 1．（24-25高二上·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 . 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 4．（2024·山西·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 5．（23-24高一下·上海·期末）在中，如果三条边，那么角 ．（用反三角形式表示角） 6．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则 ． 7．（23-24高一下·上海·期末）在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于 . 题型八 判断三角形形状 1（23-24高一上·上海·期末）对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．（22-23高三下·上海杨浦·开学考试）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 4．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 5．（2023·上海虹口·一模）设的内角 所对的边分别为 ，已知． (1)求角A； (2)若，求证：是直角三角形． 6．（22-23高一下·上海青浦·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 题型九 三角形个数问题 1．（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 2．（2024·上海闵行·模拟预测）已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为 .（请写出所有正确答案的序号） 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知的外接圆半径为5， ，，则此三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不能确定 4．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，分别根据下列条件求B： (1)①，②，③，④，⑤； (2)根据上述计算结果，讨论使B有一解、两解或无解时a的取值情况． 题型十 三角形周长问题 1．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 2．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到.    已知点在圆上，且，记. (1)求在上的投影； (2)若，求镂空四边形的周长.    4．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 题型十一 三角形面积问题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 3．（24-25高二上·上海宝山·期末）对于函数，其中. (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，求的面积. 4．（23-24高二上·上海·期末）设的内角、、的对边长分别为、、，. (1)若，求角的大小； (2)若，求的值和的面积. 5．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 6．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设方程在上的两解为和，求的值； (3)在中，角的对边分别为．若，，且，求的面积． 题型十二 三角形的实际应用 1．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 2．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 4．（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 题型十三 三角函数的图象与性质 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 2．（23-24高一下·上海·期末）函数，的单调增区间为 ． 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，，则角为 . 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 6．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 7．（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 9．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 10．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 题型十四 三角函数图象变化 1．（23-24高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则 ． 2．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 题型十五 求三角函数解析式 1．（22-23高一下·上海黄浦·期中）设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图像，则需将的图象向右最小平移 个长度单位．    3．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为 ．    4．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的图象的一部分如图所示，则的初相为 ． 题型十六 平面向量的概念 1．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）在长方体中，与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 4．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 题型十七 平面向量的加减数乘运算 1．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 2．（23-24高一下·上海·期末）若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 . 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 4．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 5．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型十八 平面向量的数量积 1．（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 . 2．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 4．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 5．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 7．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，则 ． 8．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 9．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 题型十九 向量的模 1．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 2．（23-24高二下·上海松江·期末）已知向量满足，则 ． 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量，其中，则的取值范围是 . 4．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 5．（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 6．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知是平面上一点，，且. (1)若，求； (2)若，求实数的值； (3)求的最小值. 题型二十 向量的夹角 1．（23-24高一下·上海·期末）已知平面向量，满足：．若对区间内的三个任意实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为 ． 2．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 . 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若向量，则 ． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·上海静安·期末）已知一元二次方程． (1)在复数范围内解该方程； (2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 6．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 题型二十一 利用向量解决几何问题 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 3．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 5．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 题型二十二 向量中新定义题 1．（23-24高一下·上海·期末）平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则 ． 2．（2023·上海杨浦·三模）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 3．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 4．（21-22高一下·上海奉贤·期末）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量” (1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围； (2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明． 题型二十三 复数的四则运算 1．（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 2．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数满足，则复数 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）复数（是虚数单位）的虚部是 . 4．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数满足，则 . 5．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 6．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 8．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 9．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 题型二十四 复数的模 1．（24-25高二上·上海·期末）已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是 . 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知复数，其中为虚数单位，则的值为 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 4．（23-24高一下·上海·期末）若复数是方程的一个根，则 ． 5．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（i是虚数单位），则 ． 6．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 7．（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 8．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 9．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位， (1)若，求实数的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 题型二十五 复数的类型 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）若复数是纯虚数，则实数 ． 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为 . 4．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）设复数，． (1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围； (2)若为纯虚数，求． 6．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和. (1)求点的坐标； (2)设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数. 题型二十六 实系数一元二次方程 1．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 2．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 3．（23-24高一下·上海·期末）已知复数是实系数二次方程的一根，则b= . 4．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内方程的解为 . 5．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 6．（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 7．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值. 8．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设常数，已知关于的方程. (1)若，求该方程的复数根； (2)若方程的两个复数根为、，且，求的值. 9．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． $$专题01 高一下学期期末真题精选（考题猜想，常考27大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 任意角与弧度制（易错） · 题型二 三角函数定义（易错） · 题型三 同角三角函数基本关系 · 题型四 诱导公式化简问题（易错） · 题型五 两角和差公式（易错） · 题型六 二倍角公式（高频） · 题型七 利用正、余弦定理解三角形 · 题型八 判断三角形形状 · 题型九 三角形个数问题 · 题型十 三角形周长问题（重点） · 题型十一 三角形面积问题 （易错） · 题型十二 三角形的实际应用（高频） · 题型十三 三角函数的图象与性质（难点） · 题型十四 三角函数图象变化（难点） · 题型十五 求三角函数解析式（重点） · 题型十六 生活中的三角函数模型 · 题型十七 平面向量的概念 · 题型十八 平面向量的加减数乘运算（高频） · 题型十九 平面向量的数量积（重点） · 题型二十 向量的模（易错） · 题型二十一 向量的夹角（重点） · 题型二十二 利用向量解决几何问题（重点） · 题型二十三 向量中新定义题（重点） · 题型二十四 复数的四则运算（重点） · 题型二十五 复数的模（高频） · 题型二十六 复数的类型（高频） · 题型二十七 实系数一元二次方程（难点） 题型一 任意角与弧度制 1．（24-25高一上·上海·期末）已知角，则的终边在第 象限 【答案】一 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】把角化成到间角表示即可求出所在象限. 【详解】，即角与角终边相同，而角是第一象限， 所以的终边在第一象限. 故答案为：一 2．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的弧所对的圆心角大小为，且半径为 2，则扇形的面积为 . 【答案】/ 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，扇形面积为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期末）已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】利用扇形面积公式列方程求半径. 【详解】令扇形的半径为，则，可得. 故答案为：6. 4．（24-25高一上·上海·期末）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度 . 【答案】6或 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】直接利用扇形的周长公式和面积公式建立方程组，进一步求出圆心角的大小. 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以，解得或； 当，时，利用，解得； 当，时，利用，解得. 故答案为：6或. 5．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为 . 【答案】8 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：该扇形的面积为. 故答案为：8. 6．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】任意角的概念 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 7．（24-25高一上·上海·期末）勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】勒洛三角形的面积为3个圆心角为 60°的扇形面积减去2个正三角形面积，即可得解. 【详解】如图：，以为圆心的扇形面积是， 的面积是，    ∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 故选：B. 题型二 三角函数定义 1．（23-24高一下·上海·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据正切定义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）已知角的终边经过点则 ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据正弦函数值的定义求解即可. 【详解】依题意，. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）函数（且）的图象都过定点P，且点P在角的终边上，则 ． 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、指数型函数图象过定点问题 【分析】由题意先求出定点，然后结合三角函数定义即可得解. 【详解】因为，所以令，得，且此时，即点， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海普陀·期末）已知是角终边上一点，且，则 【答案】/ 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由角终边上的点及余弦值可得，再由定义求. 【详解】由题设，则， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海·期末）已知点在角的终边上，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由三角函数的定义可求得的值. 【详解】因为点在角的终边上，且，则， 且有，解得. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知角终边上一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 7．（23-24高一上·上海·期末）已知角的终边过点，求角的正弦、余弦，正切及余切值. 【答案】答案见解析 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义，求得角的正弦、余弦和正切值及余切值. 【详解】根据三角函数的定义可知，， 若时，，， ，， 同理若时，，，， 题型三 同角三角函数基本关系 1．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据得到的值，然后根据和构造齐次式计算. 【详解】， 原式 . 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据同角三角函数的基本关系式来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为 所以，解得 故答案为： 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）若．则 ． 【答案】8 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】对等式两边同时平方，由同角的平方关系可得，结合同角的三角函数关系化简计算即可求解. 【详解】由，得， 解得， 所以. 故答案为：8 5．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知，，则的值为 ； 【答案】/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】由求得，从而判断出的范围，进而可求出的值，得到的值. 【详解】将平方得， 所以， 因为，所以，所以， 而 所以 所以 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·期末）已知及是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】. 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由，可得，求出的值，再化简为即可求解. 【详解】因为 与 是关于 的方程 的两个实根， ， 将 两边平方可得： 即 整理得： ， 解得或， 当时原方程化为无解，舍去， 经检验符合题意， 7．（21-22高一上·上海黄浦·期末）（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【知识点】正、余弦齐次式的计算、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）根据题意，构造齐次式求解即可； （2）根据，并结合求解即可. 【详解】解：（1）因为 所以， （2）因为，所以， 因为，所以， 所以 所以 所以 题型四 诱导公式化简问题 1．（24-25高一上·上海·期末）已知角α的终边经过点，则= ． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用三角函数的定义可求得，结合诱导公式可求值. 【详解】因为角α的终边经过点，所以， 则． 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由诱导公式及同角三角函数的关系得，即可解出. 【详解】由，则， 又，则， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式得. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式即可得到答案. 【详解】， 则， 故答案为：. 5．（23-24高一上·湖南·期末）化简： . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据诱导公式化简，结合商数关系得解. 【详解】原式. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知是角终边上一点，且 (1)求：实数的值 (2)求： 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义运算求解即可； （2）先求得，再利用诱导公式运算求解即可. 【详解】（1）因为，解得 又，所以. （2）由（1）可知：，则， 所以. 7．（24-25高一上·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边在正半轴上，角的终边在第二象限，设终边上有一点，且． (1)若点坐标为，求的值； (2)化简并求值． 【答案】(1)2； (2)，. 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用正弦函数的定义求出. （2）由（1）求出，再利用诱导公式、同角公式化简并求值. 【详解】（1）依题意，，，，所以. （2）由（1）知， 所以. 8．（23-24高一上·上海宝山·期末）已知. (1)求； (2)若角为第二象限角，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】 （1）利用诱导公式整理得，进而代入求解即可； （2）根据同角三角关系可得，进而可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）若角为第二象限角，且，则， 可得， 所以. 9．（23-24高一上·上海奉贤·期末）已知平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角始边与轴的正半轴重合，终边与一次函数的图像交于点. (1)当时，求的值； (2)若，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）根据题意可得，结合齐次式问题分析求解； （2）根据诱导公式结合同角三角关系可得，结合三角函数的定义分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，可得 若，则， 所以. （2）因为， 可得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 10．（23-24高一上·上海·期末）（1）已知，若、是关于x的一元二次方程的两实根，求的值； （2）已知，且，求及的值. 【答案】（1）；（2）； 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】（1）利用韦达定理可得，同角三角关系分析求解，注意； （2）根据之间的关系结合诱导公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，解得或， 且， 又因为，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以； （2）因为，且， 即，可得， 且，可知，则， 又因为，且， 可得， 所以. 题型五 两角和差公式 1．（24-25高一上·上海·期末）已知 ，且 的终边与 的终边关于 轴对称，则 . 【答案】 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】先根据角的范围，结合平方关系求出的余弦值与的正弦值，从而可求，可得，再利用 的终边与 的终边关于 轴对称可得结果. 【详解】 ， ， . 因为 的终边与 的终边关于 轴对称， 所以， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和、差的余弦公式可求的值，从而可求的值，利用对数的运算性质可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用两角和差的余弦公式展开，即可求出，，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为， ， 所以，， 所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】3 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦齐次式的计算 【分析】根据两角和与差的余弦公式，再进行弦化切即可得到答案. 【详解】. 故答案为：3. 5．（23-24高一上·上海·期末）已知为锐角，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求值型问题 【分析】根据题意得到，进而结合同角三角函数关系得到的值，利用配角法求得答案即可. 【详解】因为为锐角，所以，所以， 所以， 又因为，所以， 所以 . 故答案为： 6．（23-24高三上·上海松江·期末）已知，，则的值为 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先求得，然后利用两角差的正切公式求得正确答案. 【详解】由于，， 所以， 所以，所以. 故答案为： 7．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则（    ） A． B． C．或 D．以上答案均不正确 【答案】B 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由求解. 【详解】解：因为，所以，则， 又因为，所以或， 若，则，与三角形内角和定理相矛盾， 所以，则， 所以 ， 故选：B 8．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，角、的终边分别与单位圆交于，两点，，两点的纵坐标分别为，． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）先求得两点的横坐标，然后求得. （2）利用诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，角、的终边分别与单位圆交于，两点， 且，两点的纵坐标分别为，， 所以. 所以. （2）由（1）得， ， . 题型六 二倍角公式 1．（23-24高一下·上海静安·期末）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】/0.28 【知识点】二倍角的余弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义以及余弦倍角公式即可计算求解. 【详解】由题得， 故由三角函数定义得， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】将条件等式两边平方，再根据二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】由，两边平方后得， 即，则. 故答案为： 3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式将化简，求出，再利用二倍角公式求值. 【详解】因为，所以，所以， 所以． 故答案为： 4．（23-24高三上·山东潍坊·期中）若，则 . 【答案】/ 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据可求出，从而求出，再根据即可求解. 【详解】， ， ， ， ， ， . 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】结合同角三角函数的商数关系及二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 解得， 故选：C. 6．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用平方关系可求得，再由二倍角公式计算可得结果； （2）由（1）求得，再利用两角和的正切公式即可计算出. 【详解】（1）由，且， 可得； 由二倍角公式可得； ； 所以； （2）由（1）可得， 所以 7．（23-24高一下·上海·期末）已知，，且. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值； （2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值． 【详解】（1）由，，得， ，于是. （2）由，得，又， ， 由得： ． 题型七 利用正、余弦定理解三角形 1．（24-25高二上·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理可得边长. 【详解】在中， 由正弦定理， 即，解得， 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）在中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得. 【详解】在中，由，，得， 由正弦定理得，. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和B．某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情．在A处观测到火情发生在北偏西方向，而在B处观测到火情在北偏西方向．已知B在A的正东方向处，那么火场C与A距离约为 ．（结果精确到） 【答案】14.6 【知识点】正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，，，则， 在中，由正弦定理可得， 即， 所以， 故答案为：14.6. 4．（2024·山西·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】因为在中，， 所以， 则. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期末）在中，如果三条边，那么角 ．（用反三角形式表示角） 【答案】． 【知识点】反三角函数、余弦定理解三角形 【分析】先设，然后结合余弦定理可求，进而可求． 【详解】解：在中，， 设， 根据余弦定理得，， 故． 故答案为：． 6．（23-24高一下·上海·期末）在中，，则 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理结合配方法就可以求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为， 所以，即， 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海·期末）在中，已知、、分别为角、、的对边，且，若，且，则边的长等于 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理角化边，再结合三角形的面积公式，求，再结合余弦定理求的值. 【详解】若，由正弦定理可知，， ，所以，得， 根据余弦定理, 所以. 故答案为： 题型八 判断三角形形状 1（23-24高一上·上海·期末）对于，角A、B、C的对边分别为a、b、c，有如下判断：①若，则为等腰三角形；②若，则；③若，，，则符合条件的有两个：④若，则是钝角三角形．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状、余弦函数图象的应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据余弦函数单调性判断①；根据正弦定理判断②；根据余弦定理判断③；根据两角和的余弦公式和余弦函数相关知识判断④. 【详解】对于①，若，由单调递减可知，，则为等腰三角形，故①正确； 对于②，若，则，由正弦定理可知，故②正确； 对于③，若，，，由余弦定理得，，则， 所以符合条件的有一个，故③错误； 对于④，若，则， 所以，因为，所以，所以是钝角三角形，故④正确. 综上所述，①②④正确，③错误，正确的个数为3. 故选：C 2．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、向量在几何中的其他应用、三角形的心的向量表示 【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案. 【详解】三个角所对的三边分别为， 取的中点，的中点，的中点， 连接，，，则，，， 所以， ， ， 因为， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以， 即为钝角三角形. 故选：C.      3．（22-23高三下·上海杨浦·开学考试）在中，“”是“为钝角三角形”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据三角函数线，充分与必要条件概念即可求解. 【详解】因为为的内角，所以， 又，由单位圆中三角函数线，可得， 所以是钝角三角形，则充分性成立； 反过来，若是钝角三角形，则不一定是钝角，所以必要性不成立， 所以“”是“为钝角三角形”的充分非必要条件， 故选：. 4．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)4，为等边三角形 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求； （2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状. 【详解】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 5．（2023·上海虹口·一模）设的内角 所对的边分别为 ，已知． (1)求角A； (2)若，求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析． 【知识点】二倍角的余弦公式、正、余弦定理判定三角形形状、三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及二倍角公式，化简，即可求得答案； （2）利用正弦定理边化角可得，结合两角和差的正余弦公式化简，求值，可得答案. 【详解】（1）由条件，得， 即，亦即， 故，因为，所以． （2）证明：由正弦定理及得， 由（1）知，故，于是， 则，即， 因，故，又， 从而， 所以，则， 因此是直角三角形． 6．（22-23高一下·上海青浦·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c (1)若，求∠B； (2)若，试判断△ABC的形状． 【答案】(1) (2)△ABC是等腰三角形 【知识点】二倍角的正弦公式、正、余弦定理判定三角形形状、特殊角的三角函数值、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由二倍角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而确定其大小； （2）由余弦边角关系可得，整理化简即可确定形状. 【详解】（1）由，而，故， 又，故. （2），故，即， 所以△ABC是等腰三角形. 题型九 三角形个数问题 1．（2024高一·上海·专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是 【答案】 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据求解即可得答案. 【详解】因为这个三角形有两解，故满足， 即，解得. 故答案为： 2．（2024·上海闵行·模拟预测）已知中，，，的对边分别为，，，若，，给出下列条件中：①，②，③，能使有两解的为 .（请写出所有正确答案的序号） 【答案】②③ 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】对于①，利用余弦定理即可求解；对于②，利用大边对大角及正弦定理即可求解；对于③，利用三角形的面积公式及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解. 【详解】选择①，由余弦定理，得，解得，所以只有一解.故①错误； 选择②，因为，所以,由正弦定理，得，解得， 所以,所以有两解，故②正确； 选择③，由，得,解得，因为， 所以或，所以有两解，故③正确； 故答案为：②③. 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知的外接圆半径为5， ，，则此三角形（    ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．不能确定 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理即可判断此三角形解的情况． 【详解】根据正弦定理，得， 因为的外接圆半径为5，，，所以， 所以， 因为，所以为锐角， 又因为， 所以， 则或，故此三角形有两解． 故选：B. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知，，分别根据下列条件求B： (1)①，②，③，④，⑤； (2)根据上述计算结果，讨论使B有一解、两解或无解时a的取值情况． 【答案】(1)答案见解析； (2)当时，无解；当或时，有一个解；当时，有两个解 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】（1）由条件利用正弦定理求得，再结合大边对大角，判断角的个数； （2）结合（1）的结果，讨论使有一解、两解、无解时的取值情况. 【详解】（1）根据正弦定理，得， ①当，时，，无解； ②当，时，， 而，所以； ③当，时，， 而，所以或； ④当，时，， 而，所以； ⑤当，时，， 而，由，得，. （2）由（1）得，， 当，即时，无解； 当或且，即或时，有唯一解； 当且，即时，有两解， 所以当时，无解；当或时，有唯一解；当时，有两解. 题型十 三角形周长问题 1．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、辅助角公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 2．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、诱导公式五、六、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【详解】（1）解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. （2）解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一，如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折，沿裁剪，展开就可以得到.    已知点在圆上，且，记. (1)求在上的投影； (2)若，求镂空四边形的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、平面向量数量积的几何意义、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）连接，因为是直径，所以，结合直角，利用投影的公式，即可求解； （2）作，利用面积公式，求得，再由余弦定理求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，连接，因为是直径，所以， 在直角中，， 所以在上的投影是. （2）解：如图所示，作于，得. 由面积公式，可得. 由余弦定理， 即， 整理得， 所以镂空四边形的周长.    4．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【详解】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 题型十一 三角形面积问题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据倍角公式结合三角形内角和关系分析求解； （2）由（1）可知：，由题意可知，利用余弦定理可得，代入面积公式即可得结果. 【详解】（1）因为，则， 即，解得. （2）由（1）可知：，且，可得， 由题意可知，即， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以的面积. 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 【答案】(1)米 (2)平方米 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 3．（24-25高二上·上海宝山·期末）对于函数，其中. (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、用定义求向量的数量积、三角形面积公式及其应用、辅助角公式 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，结合正弦函数的单调性解不等式求出结果； （2）由（1）及求出角A，根据数量积的定义求出，再利用三角形面积公式可得结果. 【详解】（1） 由， 可得， 所以函数的单调增区间是． （2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 4．（23-24高二上·上海·期末）设的内角、、的对边长分别为、、，. (1)若，求角的大小； (2)若，求的值和的面积. 【答案】(1) (2)，的面积为 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知三角函数值求角 【分析】（1）当时，求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用诱导公式结合两角和与差的余弦公式可得出的值，利用正弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）解：因为，当时，则有，可得， 因为，故. （2）解：因为 ， 所以，， 因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 所以，的面积为. 5．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【详解】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 6．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设方程在上的两解为和，求的值； (3)在中，角的对边分别为．若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、反三角函数 【分析】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求； （2）由题得，可解得，，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求； （3）由题可求，再结合正余弦定理及面积公式即求. 【详解】（1）由题意知， 由，得到， 所以函数的单调增区间为 （2）令，化简得， 解得或． 由于，故，． 于是． 令，则， 因此． （3）由题意知， 由于，解得． 在中，由正弦定理知， 故，，又 所以， 在中，由余弦定理知， 所以，解得， 因此的面积． 题型十二 三角形的实际应用 1．（23-24高一下·上海松江·期末）在滴水湖公园湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，，其中． (1)若米，求烧烤区的面积？ (2)为了保证烧烤区的占地面积最大，那么需要修建多长的隔离防护栏？ (3)在（2）条件下，为了使得花卉观赏区的面积也尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】(1) (2)修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大 (3)设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大 【知识点】三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先由余弦定理求出，即可由面积公式求解. （2）设米，先由余弦定理求出与的关系式，进而得，进而代入面积公式结合一元二次函数的性质研究最值即可得解. （3）先利用正弦定理求得，接着代入结合三角恒等变换公式计算即可求解. 【详解】（1）若，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为. （2）设米，则， 又，所以， 所以烧烤区的面积为， 所以当即时，烧烤区的面积最大为，此时米， 所以修建的隔离防护栏长米时，烧烤区的占地面积最大. （3）由（2）得米， 所以在中由题意得，即， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以当即时，有最大值为， 此时，， 所以在（2）条件下，设计观赏步道米时，花卉观赏区的面积最大. 【点睛】思路点睛：对求花卉观赏区的面积最大值，先在中利用正弦定理得，接着代入结合三角恒等变换公式计算化简得，再利用三角函数值的有界性即可求出解. 2．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【知识点】几何图形中的计算、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 3．（23-24高一下·上海闵行·期末）如图，某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速20km/h，送快件到C处，已知，，，，． (1)求的面积． (2)快递小哥出发25分钟后，公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速50km/h，问汽车能否先到达C处？ 【答案】(1) (2)汽车先到达C处，理由见解析 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、距离测量问题 【分析】（1）由余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案； （2）由正弦定理求出，得到汽车所需时间，由余弦定理求出，进而得到快递小哥出发25分钟的路程和剩余时间，作差比较后得到结论. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理得， 即，故， 解得，负值舍去， 故 （2）在中，由正弦定理得， 又，故， 因为，所以， ， 故汽车所需时间为h， 因为，由余弦定理得 ， 故， 故， 快递小哥出发25分钟，骑行路程为， 剩余路程为，到达C处所需时间为， 其中， 故，所以汽车先到达C处. 4．（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 【答案】(1)①平方米②平方米 (2)0.3米 【知识点】正弦定理解三角形、正、余弦定理的其他应用、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解； （2）根据正弦定理求出，再由三角恒等变换求最大值即可得解. 【详解】（1）①其为直线段且时， 米， 所以在中，，即（米）. 所以（平方米）； ②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米）， 圆心角，所以圆弧的长， 所以（平方米） （2）由题意，，， 由正弦定理可得：， 即 ，其中， 当，即时，（米）. 即有效遮挡区域高的最大值为米. 题型十三 三角函数的图象与性质 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，则当时，函数的值域为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式得到，利用整体思想得到的值域. 【详解】， ，，，，故的值域为. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海·期末）函数，的单调增区间为 ． 【答案】 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】由的取值范围求出的范围，再令，求出的范围，即可得解. 【详解】由，可得， 令，解得， 所以函数，的单调增区间为. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】余弦函数图象的应用、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求cosx(型)函数的值域 【分析】观察在上的图象，从而得到的取值范围. 【详解】观察在上的图象， 当时，或， 当时，， 所以的最小值为：， 的最大值为：， 所以的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，，则角为 . 【答案】/ 【知识点】已知三角函数值求角 【分析】根据条件，利用在区间上的单调性和的周期性，即可求解. 【详解】因为在区间上单调递增， 当时，由，得，又的最小正周期为， 又，所以角为， 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【详解】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 7．（23-24高一下·上海·期末）下列函数为奇函数，且在上是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含tanx的函数的单调性、求正切（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和单调性依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为定义域为，其在上是严格减函数，A错误； 对于B，定义域为，，为偶函数；B错误； 对于C，定义域为，， 为奇函数，由正切函数性质知在上是严格增函数，C正确； 对于D，定义域为，，为偶函数；D错误. 故选：C. 8．（23-24高一下·上海·期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】辅助角公式、sin2x的降幂公式及应用、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简解析式，即可求得周期. （2）由的范围求得的范围，再利用正弦函数的性质可得结果. 【详解】（1）依题意，， 所以的最小正周期. （2）由，得， 则当，即时，， 所以在区间上的最小值是. 9．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知函数的最大值为2． (1)求a的值，并求的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间． 【答案】(1)，最小正周期为 (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期； （2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果. 【详解】（1） ， 所以， 因为函数的最大为2，所以， 解得； 所以，因此最小正周期为； （2）由，得， 所以的单调递增区间为， 又，取， 得在上的单调递增区间为. 10．（23-24高一下·上海·期末）已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 题型十四 三角函数图象变化 1．（23-24高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则 ． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由图象确定正（余）弦型函数解析式、余弦定理解三角形 【分析】由重心定义得为中点，且由重心性质求出，进而得，从而结合函数图像以及周期公式可求出的解析式，进而求出B点坐标，再利用B点坐标和余弦定理可求出，接着利用同角三角函数的基本关系即可得解. 【详解】由重心定义得为中点，且由重心坐标形式的性质得， 即，故， 所以函数周期满足，又，故， 所以，故， 所以由图以及正弦函数性质得即， 又，故， 所以，则，即， 所以， 故， 又，故， 又，所以， . 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】三角函数图象的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可，即边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与交点中， 令,不妨取，即， 因为三个相邻的交点构成一个等边三角形， 当时，函数值为，故等边三角形的高为， 由此得到边长为，边长即为函数的周期， 故.所以 故选：A． 4．（23-24高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数图象的综合应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. （2）解：由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 6．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)，周期为 (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解； （2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为， 可得最小正周期，所以. 又由图象上一个最低点为，可得， 且，即，可得， 即，因为，所以， 所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为. （2）解：由（1）知， 当时，可得， 所以，当时，即时，函数取得最小值为； 当时，即，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 题型十五 求三角函数解析式 1．（22-23高一下·上海黄浦·期中）设是某地区平均气温（摄氏度）关于时间（月份）的函数.下图显示的是该地区1月份至12月份的平均气温数据，函数近似满足.下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】结合题意和函数图象，结合三角函数的性质求解即可. 【详解】由题意，，即. 由图可知，，解得，， 此时， 将点代入解析式， 可得，即， 所以，， 即，取，， 所以. 故选：A. 2．（23-24高三上·上海宝山·开学考试）函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图像，则需将的图象向右最小平移 个长度单位．    【答案】/ 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、相位变换及解析式特征 【分析】首先根据函数的图象确定、、的值，进一步确定解析式，然后利用函数图象的平移变换求得结果． 【详解】 根据函数的图象：，，所以， 由于，所以,故， 由于，取，得： 因此 要得到的图象，则需将的图象向右最小平移个单位即可． 故答案为： 3．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为 ．    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由图求出，根据周期求出，代入点求出. 【详解】由图知，且，解得，即，解得. 则，所以当时，， 即，则， 又，所以当时，，即. 故答案为: . 4．（24-25高一下·上海·阶段练习）函数的图象的一部分如图所示，则的初相为 ． 【答案】/ 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】由图象利用“五点法”求出函数的解析式，从而可求出初相. 【详解】由图可知， 周期，所以，所以， 因为点在函数图象上， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以初相为， 故答案为： 题型十六 平面向量的概念 1．（22-23高一下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则与的长度相等且方向相同或相反； B．若，且与的方向相同，则 C．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上； D．若，则与方向相同或相反 【答案】B 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、向量的模、零向量与单位向量 【分析】对于A，利用向量的模的定义即可判断；对于B，利用向量相等的定义判断即可；对于C，考虑向量的起点位置判断即可；对于D，考虑特殊向量即可判断. 【详解】对于A，由只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系，故A错误； 对于B，因为，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =，故B正确； 对于C，只有平面上所有单位向量的起点移到同一个点时，其终点才会在同一个圆上，故C错误； 对于D，依据规定：与任意向量平行，故当时，与的方向不一定相同或相反，故D错误. 故选：B. 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）在长方体中，与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相等向量 【分析】由向量相等的定义即可判断. 【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量， 故在长方体中，与相等的向量是、、， 故选：C 3．（23-24高一下·上海浦东新·期末）下列结论中，正确的是（    ） A．零向量只有大小没有方向 B． C．对任一向量，总是成立的 D．与线段的长度不相等 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据平面向量的概念，逐一判断即可得出答案． 【详解】既有大小又有方向的量叫向量，则零向量既有大小又有方向，故A错误； 由于与方向相反，长度相等，故B正确； 因为零向量的模为0，故C错误； 与线段的长度相等，故D错误． 故选：B． 4．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反 D．若，都是单位向量，则 【答案】A 【知识点】平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、相等向量 【分析】举特例否定选项A；由向量相等定义判断选项B；由向量平行定义判断选项C；由单位向量定义判断选项D. 【详解】A.若，满足，， 但是不满足，所以该选项错误； B．由向量相等定义可知，若，，则，所以该选项正确； C． 若与是非零向量且， 则与的方向相同或者相反，所以该选项正确； D． 若，都是单位向量，则，所以该选项正确． 故选：A 题型十七 平面向量的加减数乘运算 1．（23-24高一下·上海·期末）向量化简后等于 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】直接根据向量的加法法则写出结果即可. 【详解】由向量加法的运算法则，可得 . 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期末）若A、B、C三点共线，对任意一点O，有成立，则 . 【答案】或，. 【知识点】已知三角函数值求角、平面向量共线定理的推论 【分析】根据三点共线，系数和为1的结论即可得到答案. 【详解】因为A、B、C三点共线，则， 则，则或，. 故答案为：或，. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期末） ． 【答案】 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的加法法则求解即可． 【详解】 故答案为：． 4．（23-24高一下·上海·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则 . 【答案】 【知识点】向量加法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期末）若不平行，则下列向量中不能作为平面的一个基底是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基底的概念及辨析 【分析】利用向量共线的判断方法来推理，即可得到选项． 【详解】对于A，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项A中两个向量能作为基底，故A错误； 对于B，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项B中两个向量能作为基底，故B错误； 对于C，因为，所以与共线，即选项C中两个向量不能作为基底，故C正确； 对于D，不存在实数，使得，所以与不共线，即选项D中两个向量是能作为基底，故D错误； 故选：C． 题型十八 平面向量的数量积 1．（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则 . 【答案】1 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积的定义运算得解. 【详解】由题，. 故答案为：1. 2．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【详解】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据题意，得到，所以，作，则，连接，取的中点，连接，作，连接，得到，得出点在以为直径的圆上，得到当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大，进而求得最大值. 【详解】由向量，，可得， 可得，所以， 如图所示，作，则，且， 连接，取的中点，连接，则， 因为，可得，所以， 作，连接，则，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大， 由，, 因为，且，所以， 所以在上的最大投影为， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期末）已知是边长为3的正方形内（包含边界）的一点，则的最大值是 . 【答案】9 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设，结合向量数量积的概念可得结果. 【详解】以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设， 可得，所以， 故，当时，最大，最大值为9. 故答案为：9. 7．（23-24高一下·上海静安·期末）已知向量，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据向量数量积的坐标形式可求的值. 【详解】，故， 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海·期末）如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，以为原点建立平面直角坐标系，设点，则，将表示为关于的表达式，结合正六边形的性质算出的取值范围. 【详解】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值5， 当时，有最大值7，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为. 故答案为： 9．（23-24高一下·上海徐汇·期末）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.    (1)当时，试用表示； (2)当时，求的值； (3)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】（1）由条件得，，由向量的线性运算即可求解； （2）由基底表示出，再求出，最后求模即可； （3）由基底表示出，，从而表示出，再利用求函数的最值的知识求出最小值． 【详解】（1）由题意可得：， 当时，所以，. （2）因为，则， 由（1）可得：， 当时，则，， 所以 因为， 所以， 所以 （3）当时，，， 则，同理， 令， 当，2，3时，， 当时，上式有最小值为； 当 时，， 当，6，7时，，当时，上式有最小值为， 综上，的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据向量的线性运算得，即可结合数量积的运算求解. 题型十九 向量的模 1．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海松江·期末）已知向量满足，则 ． 【答案】1 【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据，求出，进行计算 【详解】由，则可得， 则. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量，其中，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、已知数量积求模 【分析】根据题目条件建立直角坐标系,分别求出坐标，进而求出结果. 【详解】   如图所示建立直角坐标系，，则, ，， 设，则， 所以，, ， 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【详解】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期末）已知向量， (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用向量垂直求参数、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意知 （2），， 6．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知是平面上一点，，且. (1)若，求； (2)若，求实数的值； (3)求的最小值. 【答案】(1)， (2) (3). 【知识点】坐标计算向量的模、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】（1）根据题意，直接由平面向量数量积的定义即可得到结果； （2）解法一，以为原点，方向为轴正向建立平面直角坐标系，通过平面向量的坐标运算即可得到结果；解法二，由平面向量的数量积运算，即可得到结果； （3）解法一，设， 设表示出向量的模长，然后结合基本不等式即可得到结果；解法二，建立平面直角坐标系，由平面向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】（1） （2）解法一： 以为原点，方向为轴正向建立平面直角坐标系. ，得 由 解得（舍去）和.所以满足要求的实数. 解法二： 由 解得（舍去）和.所以满足要求的实数. （3）解法一： 设，由题意可知，在之间， 设， ， 所以的最小值是，当且仅当时等号成立. 解法二： 因为， 以为原点，方向为轴正向建立平面直角坐标系， 设，满足 所以的最小值是. 题型二十 向量的夹角 1．（23-24高一下·上海·期末）已知平面向量，满足：．若对区间内的三个任意实数，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为 ． 【答案】 【知识点】给值求值型问题、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】设，如图，不妨设，设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 设，，分析得到，，求出，再求出的值即得解. 【详解】设，如图，    不妨设. 设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 则，则， 设，，点在平行四边形内（含边界）， 所以，由题知恒成立. 为了使最大，则为钝角，即点在第一或第四象限. 不小于到直线的距离，所以为点到直线的距离， 所以. 即，即 即， 可得.所以. 所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用坐标处理向量问题，结合向量的几何意义分析可得为了使最大， 则，进而运算求解即可. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据题意，由平面向量夹角公式代入计算，即可求解. 【详解】因为，， 则，又， 所以. 故答案为： 3．（23-24高一下·上海黄浦·期末）若向量，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角的坐标表示即可计算得出结果. 【详解】由可得，且； 所以，又， 可得. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】因为与的夹角是锐角，所以且不共线，所以求出且即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角， 所以且， 所以且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 5．（23-24高一下·上海静安·期末）已知一元二次方程． (1)在复数范围内解该方程； (2)设这个方程的两个复数根在复平面上所对应的向量分别为（为坐标原点），求与夹角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的坐标表示、复数范围内方程的根、向量夹角的坐标表示、复数的向量表示 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）可得，，再根据夹角公式求出，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以方程有一对虚数根，设为、， 又， 解得，． （2）由（1）可得，， 所以， 所以与夹角的大小为． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】复数的相等、复数范围内方程的根、向量夹角的坐标表示、复数的向量表示 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【详解】（1）不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以，或； （2）设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 题型二十一 利用向量解决几何问题 1．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 2．（22-23高一下·上海徐汇·期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（    ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量在几何中的其他应用 【分析】由动点满足，且，得到三点共线，进而得到答案. 【详解】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 3．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量的模、用定义求向量的数量积、余弦定理解三角形、向量与几何最值 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、用定义求向量的数量积、向量在几何中的其他应用 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示，    若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 5．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知平面向量、、、、、两两互不相等，且.若对任意的，均满足，则当且时，的值为 . 【答案】 【知识点】向量在几何中的其他应用 【分析】作出图形，根据图形的几何意义求解即可. 【详解】因为， 所以向量、、分别看作以为起点，以为终点， 且是边长为2的正三角形，为正三角形的中心，    又因为， 所以向量、、则是以为起点，正三角形各边中点为终点， 因为，当时，的值为， 故答案为：. 题型二十二 向量中新定义题 1．（23-24高一下·上海·期末）平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则 ． 【答案】1 【知识点】数量积的运算律、向量新定义、用定义求向量的数量积 【分析】由，，再结合平面向量的数量积公式得解； 【详解】由已知，有，，             . 故答案为：1. 2．（2023·上海杨浦·三模）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、向量新定义 【分析】由题意可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论． 【详解】因为，故． 又由，则，，可设，，令，，且， 又夹角，所以， 对，进行赋值即可得出，所以． 故答案为：． 3．（22-23高一下·上海静安·期末）如图，平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基.若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为.        (1)记向量，，求向量在这个基下的斜坐标； (2)设，，求； (3)请以（2）中的问题为特例，提出一个一般性的问题，并解决问题. 【答案】(1) (2)1 (3)答案见解析 【知识点】数量积的坐标表示、向量新定义、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据向量的线性运算、新定义运算可得答案； （2）根据向量的数量积运算可得答案； （3）设，，求的斜坐标表示公式，根据向量的数量积运算可得答案；或设，，的充要条件为. 【详解】（1）， 所以，向量； （2）由已知，有，， ； （3）设，，求的斜坐标表示公式， ，， ， 或，设，，的充要条件为. 4．（21-22高一下·上海奉贤·期末）对于一个向量组，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“好向量” (1)若是向量组的“好向量”，且，求实数的取值范围； (2)已知，，均是向量组的“好向量”，试探究的等量关系并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析. 【知识点】已知数量积求模、向量新定义 【分析】（1）由题意，用坐标表示向量的模，解之可得； （2）由“好向量”的定义得三个不等式，平方转化为向量的数量积，三式相加整理后可得． 【详解】（1）由题意，而，，， ， 所以，解得， 所以的范围是； （2）的等量关系是，证明如下： 由题意是向量组的“好向量”， 所以，则，即， 所以，同理，， 三式相加并整理得， 所以， 所以． 题型二十三 复数的四则运算 1．（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的除法运算得到，根据共轭复数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 2．（23-24高一下·上海松江·期末）已知复数满足，则复数 ． 【答案】1 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算和复数虚部的概念即可. 【详解】由， 则其虚部为1. 故答案为：1 3．（23-24高一下·上海·期末）复数（是虚数单位）的虚部是 . 【答案】/ 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数，即可求得虚部. 【详解】 复数的虚部是. 故答案为: . 4．（23-24高一下·上海·期末）设是虚数单位，若复数满足，则 . 【答案】5 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【详解】由得， 故，故， 故答案为：5 5．（23-24高一下·上海·期末）“”是“是纯虚数”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】D 【知识点】充要条件的证明、已知复数的类型求参数 【分析】依题意得，即可求解． 【详解】解：是纯虚数， 则，得， 则“”是“是纯虚数”的充要条件， 故选：D 6．（23-24高一下·上海黄浦·期末）已知（i是虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，那么p，q的值分别是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】将代入方程，即可求解. 【详解】由题意可知，， 则， 即，得，. 故选：A 7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、复数加减法的代数运算、复数的乘方、复数范围内方程的根 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 8．（23-24高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据复数乘法运算结果求参数、复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、由复数模求参数 【分析】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 9．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】复数范围内方程的根、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可得解得答案； （2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案； 【详解】（1）根据题意得，化简， 根据复数相等可得，解得. （2）由（1）可知， 题型二十四 复数的模 1．（24-25高二上·上海·期末）已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求复数的模、复数范围内方程的根 【分析】根据虚根特点及模的几何意义，分两种情况分别求出参数范围即可. 【详解】若方程有两个虚数根，设（且）， 所以，，，两个根、满足，， 复数分别对应的点在以为圆心2为半径的圆上以及圆的内部， 易知且，且点关于轴对称，所以且， 故. 若方程有两个实数根，由可得，， 同理可得，，所以， 即， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海金山·期末）已知复数，其中为虚数单位，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】先由，利用复数乘法求出，再用模长公式求其模长即得. 【详解】由，可得， 故. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知复数的模长都为1，且复数的实部为，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求复数的模 【分析】根据不等式求解. 【详解】因为，，的模长都为1，所以， 又的实部为，所以的虚部可能为， 所以，所以. 所以. 故答案为： 4．（23-24高一下·上海·期末）若复数是方程的一个根，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数范围内方程的根 【分析】求出方程的复数根即可求解. 【详解】（为虚数单位）， 故，即， 所以，故. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（i是虚数单位），则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】直接计算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海松江·期末）复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征、求复数的模 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 7．（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D 【详解】对于A，当时，，但，故A错误， 对于B，设，显然，，故B错误， 对于C，设， 所以， 所以 ， 又 所以，故C正确 对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误， 故选：C 8．（23-24高一下·上海·期末）若复数满足，则复数在复平面上对应的点的轨迹图形是（  ）. A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线的一支 【答案】B 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】设，根据复数的几何意义可得，结合圆的一般方程即可下结论. 【详解】设， 由，得， 整理得， 所以复数在复平面上对应的点的轨迹图形为圆. 故选：B 9．（23-24高一下·上海·期末）已知复数满足，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为. 故选：A 10．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，其中为虚数单位， (1)若，求实数的值； (2)求的最小值，并指出取到最小值时实数的值. 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、求二次函数的值域或最值、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）化简得到，求出； （2），从而得到时，取得最小值，最小值为. 【详解】（1），， 解得， 经检验，满足要求； （2） ， 当时，取得最小值，最小值为， 故最小值为，此时. 题型二十五 复数的类型 1．（22-23高一下·上海长宁·期末）若复数是纯虚数，则实数 ． 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义，列式计算作答. 【详解】复数是纯虚数，则有，解得， 所以实数. 故答案为： 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、已知复数的类型求参数 【分析】求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值. 【详解】因为 因为为纯虚数，则，可得， 可得，又因为，当时，正整数取最小值. 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据复数类型可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为复数为实数，则，解得. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）已知为虚数，且为实数． (1)求证：； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算 【分析】（1）设（且），根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简，再根据为实数，虚部为零，即可得到，从而得解； （2）由（1）可得，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，最后得到方程组，解出即可； 【详解】（1）解：设（且）， 则 ， 由题意可得，又可得， 所以 （2）由， 则 若为纯虚数，则，解得或， 所以或 5．（23-24高一下·上海闵行·期末）设复数，． (1)若在复平面上所对应的点在第一象限，求a的取值范围； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1) (2)4. 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据共轭复数的定义，并计算，由在复平面上对应的点在第一象限即可求解； （2）根据为纯虚数得，即可得. 【详解】（1）由题意可知，因为， 所以， 所以， 又因为在复平面上对应的点在第一象限， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. （2）因为为纯虚数， 所以，即， 所以， 故. 6．（22-23高一下·上海宝山·期末）已知复平面上有点、，向量与向量对应的复数分别为和. (1)求点的坐标； (2)设点对应的复数为，复数满足，，且为纯虚数，求复数. 【答案】(1)； (2). 【知识点】复数的向量表示、复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据给定条件，求出向量、的坐标，再利用向量的坐标运算求解作答. （2）求出，设出的代数形式，再结合已知求解作答. 【详解】（1）依题意，，，则， 所以点的坐标是. （2）依题意，，设，由，得， ，而为纯虚数，则， 由，得，解得， 所以. 题型二十六 实系数一元二次方程 1．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 【答案】． 【知识点】复数的平方根与立方根 【分析】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解． 【详解】令， ，由求根公式可知，， 故． 故答案为：． 2．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的平方根与立方根 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 3．（23-24高一下·上海·期末）已知复数是实系数二次方程的一根，则b= . 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、方程与不等式 【分析】由韦达定理、复数四则运算即可直接运算求解. 【详解】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的，故都是方程的解， 所以,. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内方程的解为 . 【答案】， 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】配方可得，解得即可. 【详解】方程，即， 解得，. 故答案为：， 5．（23-24高一下·上海·期末）已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】(1)； (2) 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【详解】（1）因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； （2）由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 6．（23-24高一下·上海·期末）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可. 【详解】（1）设，由得到， 因为， 则， 整理得， 可得，解得或， 所以或； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，且，互为共轭复数， 设，则，可得，， 因为，即 解得或， 所以或. 7．（22-23高一下·上海嘉定·期末）已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，求的值. 【答案】 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】由题意可得，求出的取值范围，求出实系数方程的两个虚根，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有两个虚根和， 则，解得， 由可得，可得，解得， 不妨取，， 所以，，解得，合乎题意. 因此，. 8．（22-23高一下·上海杨浦·期末）设常数，已知关于的方程. (1)若，求该方程的复数根； (2)若方程的两个复数根为、，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由复数模求参数、复数范围内方程的根 【分析】（1）利用配方法计算可得； （2）根据判别式的正负分类讨论后可得的值. 【详解】（1）若，则，即， 即，解得； （2）因为方程的两个复数根为、， 所以，， 若，即或 则， 故. 若，设，，则， 所以，， ， 又因为，所以，解得，所以， 所以． 综上， 9．（22-23高一下·上海普陀·期末）设、，已知（为虚数单位）是方程的一个根． (1)求、的值； (2)设方程的另一根为，复数、对应的向量分别是、．若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)、的值分别为、3 (2) 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、向量夹角的坐标表示、复数的向量表示 【分析】（1）根据复数的四则运算结合复数相等运算求解； （2）根据题意分析可得，结合数量积的符号以及向量共线运算求解. 【详解】（1）因为（为虚数单位）是方程的一个根， 则， 可得，解得， 所以、的值分别为、3. （2）由题意可知：，则， 可得， 若向量与的夹角为锐角， 可知且与不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围. $$