暑假作业03 二项式定理-【暑假分层作业】2025年高二数学暑假培优练（人教B版2019）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 二项式定理 (a+b)n的展开式形式上的特点: (1)项数为n+1; (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n; (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n; (4)二项式系数从,,一直到,. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．设，则 （     ） A．1 B．2 C．63 D．64 【答案】D 【分析】令即可得到答案. 【详解】令得. 故选：D. 2．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求答案. 【详解】因为的通项公式为， 令得，所以的系数为. 故选：D. 3．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】应用二项式定理写出展开式的通项，进而求的系数. 【详解】由展开式的通项为，， 令，解得，所以，故展开式中的系数为7. 故选：D 4．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法可得，然后求出，可得答案. 【详解】因为， 所以， 当时，； 当时，； 由等式左右两边系数相等可得， 所以， 故选：C. 5．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．24 C． D．48 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为求出，将的值代入通项求出展开式的常数项． 【详解】二项式展开式的通项为，令，解得，所以展开式的常数项为 故选：B 6．某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 【答案】B 【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解. 【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法， 他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法， 他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法， 所以此时满足题意的选法有， 综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种. 故选：B. 二、多选题 7．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为 C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1 【答案】AC 【分析】令代入二项式，可得各项系数之和，判断A正确；由展开式的二项式系数之和为，可求B错；根据展开式中共有项，可判断C正确；利用二项展开式的通项公式，可判断D错. 【详解】令，则各项系数的和为，故A正确； 展开式的二项式系数的和为，故B错； 展开式中共有2026项，故C正确； 展开式中的第项为， 因为，且，所以，因此展开式中无常数项，故D错； 故选：AC 8．在的展开式中，下列说法正确的有（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．有理项共4项 D．二项式系数最大的项为第4项 【答案】ABC 【分析】利用二项式系数和为判断A，令计算出所有项的系数，即可判断B，写出展开式的通项，即可判断C，根据二项式系数的特征判断D. 【详解】选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确； 选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确； 选项C：二项式的展开式的通项为（且）， 当时，，二项式的展开式的第一项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第三项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第五项为有理项， 当时，，二项式的展开式的第七项为有理项， 所以有理项有项，故C正确， 选项D：二项式系数最大的项为第项和第项，故D不正确； 故选：ABC． 三、填空题 9．若展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为 ． 【答案】5670 【分析】利用二项式定理的展开公式即可. 【详解】因为二项式系数和等于,所以, 由二项式展开式通项公式, 令解得,所以常数项为. 故答案为: 5670. 10．在的展开式中，x的系数为 .（用数字作答） 【答案】80 【分析】由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以， 即x的系数为. 故答案为：. 四、解答题 11．已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64. (1)求 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解； （2）根据二项式系数的性质可知第4项的二项式系数最大，再根据二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】（1）令，得展开式中各项系数之和为， 且二项式系数之和为， 由题意可得：，解得. （2）由（1）知，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项为. 一、单选题 1．的展开式中项的系数为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】， 的展开式的通项为， 则，， 所以的展开式中项的系数为， 故选：A. 2．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（    ）    A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果. 【详解】由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行 则“杨辉三角”第行各项之和为： 第行去掉所有为的项的各项之和为： 从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为： 则：，即至第行结束，数列共有项 第项为第行最后个不为的数，即为： 前项的和为： 故选：A 二、多选题 3．已知的展开式共有7项，则（   ） A．展开式的所有项的系数和为1 B．二项式系数和为128 C．展开式中的系数与的系数和为128 D．所有项的系数绝对值之和为729 【答案】AD 【分析】利用赋值法可判断AD；利用二项式系数和为判断B；利用二项式的通项公式可判断C. 【详解】因为的展开式共有7项，所以， 对于A，令，得的展开式中所有项的系数和为，所以A正确； 对于B选项，二项式系数和为，B错误； 对于C，因为展开式的通项公式为， 令，得，即的系数为， 又令，得，系数为， 所以这两项的系数和为，所以C错误； 对于D选项，由二项式的通项公式可知的系数正负交错排列， 所以令，得，所以D正确. 故选：AD 三、填空题 4．在的展开式中，的系数为 ．（结果填数字） 【答案】32 【分析】求出的展开式的的系数和的系数，即得解. 【详解】设的展开式通项为， 当时，，的系数为； 当时，，的系数为； 所以的系数为. 故答案为：32 四、解答题 5．已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 【答案】(1)； (2)常数项为60，为第5项. 【分析】（1）由二项式系数之比列式求解即可； （2）求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解． 【详解】（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， ∴，即，由，解得； （2）展开式的通项为 ， 令，解得， ∴， ∴常数项为60，为第5项. 若，求： (1)展开式中各项的二项式系数之和； (2)求的值； (3)的值． 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）二项式系数之和为，利用公式计算即可； （2）令即可； （3）分别令与再求解即可. 【详解】（1）展开式中各项的二项式系数之和为. （2）令，则， 故 （3）令有， 令有， 即， 两式相加除以，有. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 二项式定理 (a+b)n的展开式形式上的特点: (1)项数为n+1; (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n; (3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n; (4)二项式系数从,,一直到,. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．设，则 （     ） A．1 B．2 C．63 D．64 2．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D．7 4．设，则（    ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，常数项为（    ） A． B．24 C． D．48 6．某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（    ） A．70 B．140 C．252 D．504 二、多选题 7．关于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．各项的系数之和为0 B．二项式系数的和为 C．展开式共有2026项 D．展开式中常数项为-1 8．在的展开式中，下列说法正确的有（    ） A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．有理项共4项 D．二项式系数最大的项为第4项 三、填空题 9．若展开式的二项式系数之和为256，则展开式的常数项为 ． 10．在的展开式中，x的系数为 .（用数字作答） 四、解答题 11．已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64. (1)求 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 一、单选题 1．的展开式中项的系数为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（    ）    A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 二、多选题 3．已知的展开式共有7项，则（   ） A．展开式的所有项的系数和为1 B．二项式系数和为128 C．展开式中的系数与的系数和为128 D．所有项的系数绝对值之和为729 三、填空题 4．在的展开式中，的系数为 ．（结果填数字） 四、解答题 5．已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是. (1)求的值； (2)求展开式中的常数项，并指出是第几项； 若，求： (1)展开式中各项的二项式系数之和； (2)求的值； (3)的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$