3.1.3.1 组合与组合数-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修第二册 （人教B版2019）

3.1.3　组合与组合数 第1课时　组合与组合数 [学习目标]　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.掌握组合数公式并会用组合数公式进行计算.3.会利用组合的知识解决一些简单的组合问题． 导语 同学们，前面我们学习了排列的知识，我们知道排列的特点是元素的互异性和有序性，尤其是对顺序有特别的要求，但生活中也有这样的例子，比如班级中每个小组的成员，不管大家坐到哪一个位置，都是属于同一个小组，比如本班的全体学生，不管大家身在何处，大家都属于同一个班级，听起来是不是和集合的元素有相同之处，这就是我们本节课要研究的问题． 一、组合的概念 问题1　结合之前所学，请同学们写出集合{1,2,3,4}含有两个元素的所有子集． 提示　{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}． 知识梳理 组合的定义 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合． 注意点： (1)组合与排列的相同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象． (2)组合与排列的不同点：排列问题中对象有序，组合问题中对象无序． 例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题． (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题． 反思感悟　排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 跟踪训练1　判断下列问题是组合问题还是排列问题． (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生． 解　(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题． (2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题． (3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题． 二、组合数公式的计算 问题2　小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，他有多少种不同的选择方案？ 提示　A.完成上述过程，实际上他是分两步来完成：先选再排，第一步先从3所大学选择2所，有x种不同的方案，然后将选出的学校进行全排列，有A种不同的方法，根据分步乘法计数原理可知x·A＝A. 知识梳理 1．组合数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示． 2．组合数公式 (1)A＝CA. (2)C＝＝＝. (3) 规定C＝1. 注意点： (1)C中m≤n，且m，n∈N＋； (2)组合数公式的展开式中分子是从n开始m个正整数相乘，分母是m的阶乘． 例2　(1)已知C＝10，则n的值为(　　) A．10 B．5 C．3 D．2 答案　B 解析　由C＝＝10，得n2－n－20＝0，解得n＝5或n＝－4(舍)． (2)求C＋C的值． 解　由组合数定义知 即 ∴≤n≤， ∵n∈N＋， ∴n＝10， ∴C＋C＝C＋C＝＋＝＋31＝466. (3)证明：C＝C. 证明　右边＝C＝·＝＝C＝左边． 所以原式成立． 反思感悟　(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别． (2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去． 跟踪训练2　(1)计算：C－C·A； (2)证明：mC＝nC. (1)解　原式＝C－A＝－7×6×5 ＝210－210＝0. (2)证明　mC＝m· ＝ ＝n·＝nC. 三、组合数公式的简单应用 例3　一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人． (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 解　(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为C＝12 376. (2)教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有C种选法； 第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有C种选法． 所以教练员做这件事情的方式种数为C×C＝136 136. 反思感悟　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏． 跟踪训练3　一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，其中不含黑球，有多少种取法？ 解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C＝＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝＝35. 1．知识清单： (1)组合与组合数的定义． (2)排列与组合的区别与联系． (3)组合数的计算与证明． (4)组合数公式的简单应用． 2．方法归纳：枚举法、公式法． 3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”． 1．以下四个命题，属于组合问题的是(　　) A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 答案　C 解析　只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是(　　) A．10 B．5 C．4 D．1 答案　B 解析　组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法． 3．计算：C－C×A＝________. 答案　0 解析　原式＝－×3×2×1＝210－210＝0. 4．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________． 答案　ab，ac，ad，bc，bd，cd 解析　可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　　) A．由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个人相互通话一次，通电话的次数 C．由1,2,3组成两位数的不同方法数 D．由1,2,3组成的无重复数字的两位数 答案　AB 2．若C＝21，则的值为(　　) A．6 B．7 C．35 D．20 答案　C 解析　∵C＝21，∴＝21， 解得n＝7或n＝－6(舍去)． ∴＝＝＝35. 3．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B⊆A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有(　　) A．A个 B．C个 C．A个 D．C个 答案　B 解析　因为B⊆A，a∈B且B中含有3个元素， 所以只要再从b，c，d，e四个元素中选2个， 所以集合B共有C个． 4．从2,3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为(　　) A．35 B．42 C．105 D．210 答案　A 解析　由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为C＝＝35. 5．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求入选的3人中至少有1名教师，则不同的选取方案的种数是(　　) A．20 B．25 C．30 D．55 答案　B 解析　方法一　当选取1名教师、2名学生时，有CC＝20(种)方案，当选取2名教师、1名学生时，有CC＝5(种)方案，由分类加法计数原理可知，共有不同的选取方案25种． 方法二　从7人中选出3人的所有选取方案有C＝＝35(种)，其中选出的全部是学生的方案有C＝10(种)，故所求选取方案有C－C＝35－10＝25(种)． 6．(多选)C＋C的可能的值是(　　) A．4 B．7 C．10 D．11 答案　ABD 解析　由组合数的条件可知， 即故n＝2,3,4. 当n＝2时，C＋C＝C＋C＝4； 当n＝3时，C＋C＝C＋C＝7； 当n＝4时，C＋C＝C＋C＝11. 7．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为__________．(用数字作答) 答案　210 解析　从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C＝210(种)分法． 8．若A＝120C，则n＝________. 答案　3 解析　由题意得，2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝， 化简得，n2－2n－3＝0， 解得n＝3或n＝－1(舍去)，所以n＝3. 9．已知－＝，求C＋C. 解　∵－＝－， 而＝， ∴－ ＝， ∴1－＝， 即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21. 而0≤m≤5，∴m＝2. ∴C＋C＝C＋C＝28＋56＝84. 10．判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数． (1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？ (2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？ (3)10支球队进行单循环比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场？ (4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？ (5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 解　(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A＝90. (2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C＝＝45. (3)是组合问题，因为每两个球队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C＝＝45. (4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C＝＝120. (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A＝720. 11．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，则这样的排法种数是(　　) A．5 040 B．36 C．18 D．20 答案　D 解析　最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C＝20(种)． 12．已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有(　　) A．36个 B．72个 C．63个 D．126个 答案　D 解析　此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为C＝126(个)． 13．(多选)下列选项正确的是(　　) A．C＝ B．A＝mA C．C÷C＝ D．C＝C 答案　ACD 解析　A显然成立；对于B选项，A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以A＝nA，故B不成立； 对于C选项，C÷C＝＝＝，故C成立； 对于D选项，C＝＝＝C，故D成立． 14．4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有________种． 答案　36 解析　把4名学生分成3组有C种方案，再把3组学生分配到3所学校有A种方案，故共有CA＝36(种)保送方案． 15．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条． 答案　126 解析　要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有CC＝126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条． 16．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行． (1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名； (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者； (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 问：全部赛程共需比赛多少场？ 解　(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C＝30(场)． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名和乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一次，所以半决赛共要比赛2×2＝4(场)． (3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负． 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)． 学科网（北京）股份有限公司 $$