暑假作业07 正态分布（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 正态分布 若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知随机变量X服从正态分布N，若，则（    ） A． B． C． D． 2．以下关于正态密度曲线的说法中正确的个数是（    ） ①曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交； ②曲线关于直线对称； ③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状； ④曲线与轴之间的面积为. A． B． C． D．. 3．根据人口普查数据，某市30万人的身高X（cm）近似服从正态分布，即，已知该市恰好有的人的身高在162cm以上（含162cm），身高在174cm以上（含174cm）的有6840人，则估计该市身高在180cm以上（含180cm）的人数为（    ）（参考数据：若，则：，，.） A．390 B．780 C．1710 D．3420 4．甲命题：若随机变量，，则.乙命题：随机变量，且，，则.下列说法正确的是（    ） A．甲正确、乙错误 B．甲错误、乙正确 C．甲错误、乙也错误 D．甲正确、乙也正确 5．某工厂生产了根钢管，其钢管内径(单位：)服从正态分布，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于的占钢管总数的，则这批钢管内径在到之间的钢管根数约为（    ） A． B． C． D． 6．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 二、多选题 7．随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 8．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险，为防控新冠肺炎，某厂家生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（    ） （附：若随机变量，则，） A．， B． C． D． 三、填空题 9．已知随机变量，若，则 . 10．某超市热销的一种袋装面粉质量X（单位：kg）服从正态分布且满足，若从该超市中任意抽取一袋这种面粉，则其质量在kg之间的概率为 . 四、解答题 11．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数） (1)求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s； (2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”； (3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率. 附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，. 一、单选题 1．已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知随机变量X服从二项分布，若，，则 B．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为 C．设服从正态分布，若，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大 三、填空题 4．下列四个命题中为真命题的是 .（写出所有真命题的序号） ①若随机变量服从二项分布，则其方差； ②若随机变量服从正态分布，且，则； ③已知一组数据的方差是3，则的方差也是3； ④对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； 四、解答题 5．2022年4月23日至25日，以“阅读新时代·奋进新征程”为主题的首届全民阅读大会在北京举行，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．为了解某市的市民一天的阅读时间x（单位：分钟）的情况，随机抽取了600位市民，将其阅读时间（单位：分钟）按照，，，分成4组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这600位市民的一天阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若全市市民一天的阅读时间X近似地服从正态分布，其中以（1）中的作为的估计值，某APP为了促进市民阅读，实行奖励积分制，市民每天在该APP的阅读时间X（单位：分钟）与获得奖励积分Y的关系如下表： X Y 10 50 100 求随机变量Y的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． 6．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示． （1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望． 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为； ②若，则，． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 正态分布 若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知随机变量X服从正态分布N，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由正态分布的对称性计算概率即可. 【详解】由正态分布的对称性知：，故. 故选：D. 2．以下关于正态密度曲线的说法中正确的个数是（    ） ①曲线都在轴的上方，左右两侧与轴无限接近，最终可与轴相交； ②曲线关于直线对称； ③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状； ④曲线与轴之间的面积为. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的特点依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】正态密度曲线的特点如下： 位于轴的上方，左右两侧与轴无限接近，但与轴不相交，①错误； 曲线的对称轴为，②正确； 曲线是“中间高，两边低”的钟形形状，③正确； 曲线与轴围成的区域面积为，④正确. 故选：C. 3．根据人口普查数据，某市30万人的身高X（cm）近似服从正态分布，即，已知该市恰好有的人的身高在162cm以上（含162cm），身高在174cm以上（含174cm）的有6840人，则估计该市身高在180cm以上（含180cm）的人数为（    ）（参考数据：若，则：，，.） A．390 B．780 C．1710 D．3420 【答案】A 【分析】由题意得，结合，得到，，从而得到，求出身高在180cm以上的人数. 【详解】由题意得， 由于，故， ，得，故， 所以身高在180cm以上的人数有（人）. 故选：A. 4．甲命题：若随机变量，，则.乙命题：随机变量，且，，则.下列说法正确的是（    ） A．甲正确、乙错误 B．甲错误、乙正确 C．甲错误、乙也错误 D．甲正确、乙也正确 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性可判断甲，由二项分布的数学期望和方差公式建立方程，解之可判断乙. 【详解】解：∵随机变量服从正态分布， ∴曲线关于直线对称，∴，∴甲命题正确； 随机变量，且，，则解得， ∴乙命题正确. 故选：D. 5．某工厂生产了根钢管，其钢管内径(单位：)服从正态分布，工作人员通过抽样的方式统计出，钢管内径高于的占钢管总数的，则这批钢管内径在到之间的钢管根数约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态分布的特征，求出即可计算出这批钢管内径在到之间的钢管根数. 【详解】，，故这批钢管内径在到之间的钢管数约为根. 故选：C 【点睛】 正态分布的问题通常利用正态曲线的特点解题： （1）对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 （2）均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。 关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形。 6．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 【答案】D 【分析】根据正态分布特点求解即可. 【详解】因为服从正态分布， 所以， 所以. 故选：． 二、多选题 7．随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由正态曲线的对称性和题设条件易得，可知A，B正确，C错误；对于D，只需判断，结合正态曲线的特征即可排除D. 【详解】对于A，由知是1和3的中间值，故，故A正确； 对于B，C，在正态分布中，，故B正确，错误； 对于D，当时，由正态曲线的特征可得，，所以错误. 故选：AB. 8．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者近距离接触，从而降低了潜在的感染风险，为防控新冠肺炎，某厂家生产了一批红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，设表示其体温误差，且，则下列结论正确的是（    ） （附：若随机变量，则，） A．， B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据正态分布的定义，结合正态曲线的几何意义即可得到答案. 【详解】，A错误；易知B正确； ，C错误； ，D正确. 故选：BD. 三、填空题 9．已知随机变量，若，则 . 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可 【详解】解：因为随机变量，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 所以， 故答案为： 10．某超市热销的一种袋装面粉质量X（单位：kg）服从正态分布且满足，若从该超市中任意抽取一袋这种面粉，则其质量在kg之间的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案. 【详解】由于袋装面粉质量X（单位：kg）服从正态分布且满足， 故，则， 故从该超市中任意抽取一袋这种面粉， 则其质量在kg之间的概率为， 故答案为： 四、解答题 11．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮.某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高三年级1000名学生中随机选出40名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格.若高三年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”；否则该年级体能达标为“不合格”，需要重新对高三年级学生加强训练.现将这40名学生随机分成甲、乙两个组，其中甲组有24名学生，乙组有16名学生.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下：甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6.（数据的最后结果都精确到整数） (1)求这40名学生测试成绩的平均分和标准差s； (2)假设高三学生的体能达标预测成绩服从正态分布N（μ，），用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为的估计值.利用估计值估计，高三学生体能达标预测是否“合格”； (3)为增强趣味性，在体能达标的跳绳测试项目中，同学们可以向体育特长班的强手发起挑战.每场挑战赛都采取七局四胜制.积分规则如下：以4:0或4:1获胜队员积4分，落败队员积0分；以4:2或4:3获胜队员积3分，落败队员积1分.假设体育生王强每局比赛获胜的概率均为，求王强在这轮比赛中所得积分为3分的条件下，他前3局比赛都获胜的概率. 附：①n个数的方差；②若随机变量Z～N（μ，），则，，. 【答案】(1)，； (2)合格； (3). 【分析】（1）根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可； （2）根据题中所给的公式进行求解即可； （3）根据独立事件和条件概率的公式进行求解即可. 【详解】（1）， 第一组学生的方差为； 解得； 第二组学生的方差为； 解得. 这40名学生的方差为 ， 所以； （2）由，，得的估计值，的估计值. ， ∴. 从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人）， 又，所以高三年级学生体能达标为“合格”； （3）设王强在这轮比赛得3分为事件A，他以的比分获胜为事件，他以的比分获胜为事件. 则， ； 所以， 设王强前3局比赛获胜的事件为B， 则， 所以. 一、单选题 1．已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性结合题意求解即可. 【详解】因为随机变量， 所以， 所以， 解得， 故． 故选：D 2．已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布对称性得出概率. 【详解】因为所以, 又因为正态分布的对称轴为2，所以, 所以 所以. 故选：C. 二、多选题 3．下列命题中，正确的命题是（    ） A．已知随机变量X服从二项分布，若，，则 B．若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为，则回归直线的方程为 C．设服从正态分布，若，则 D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大 【答案】BCD 【分析】对于A，利用二项分布的期望公式和方差公式列出关于的方程组，解方程组即可判断； 对于B，根据回归方程过样本中心点求出回归方程，即可判断； 对于C，利用正态分布图像的对称性即可判断； 对于D，根据与1比较，判断其单调性，即可判断D. 【详解】解：对于A，由随机变量X服从二项分布，若，， 可得，解得，故A错误； 对于B，若回归直线的斜率估计值为，样本点中心为， 则回归直线的方程，即，故B正确； 对于C，随机变量服从正态分布，则图像关于轴对称， 若，则， 所以，故C正确； 对于D，因为10次射击中，击中目标的次数为X，， 则，，， 则， 当，即时，递增， 当，即时，递减， 所以当，即当时概率最大，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 4．下列四个命题中为真命题的是 .（写出所有真命题的序号） ①若随机变量服从二项分布，则其方差； ②若随机变量服从正态分布，且，则； ③已知一组数据的方差是3，则的方差也是3； ④对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4； 【答案】①③ 【分析】对于①，利用二项分布的方差公式分析判断，对于②，利用正态分布的性质分析判断，对于③，利用方差的性质分析判断，对于④，将样本中心点代入回归方程求解判断. 【详解】对于①，因为随机变量服从二项分布，所以，所以①正确， 对于②，因为随机变量服从正态分布，且，所以， 所以， 所以，所以②错误， 对于③，因为数据的方差是3，所以由方差的性质可知的方差不变，也是3，所以③正确， 对于④，因为线性回归方程为，样本点的中心为，所以，解得，所以④错误， 故答案为：①③ 四、解答题 5．2022年4月23日至25日，以“阅读新时代·奋进新征程”为主题的首届全民阅读大会在北京举行，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中国．为了解某市的市民一天的阅读时间x（单位：分钟）的情况，随机抽取了600位市民，将其阅读时间（单位：分钟）按照，，，分成4组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)估计这600位市民的一天阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若全市市民一天的阅读时间X近似地服从正态分布，其中以（1）中的作为的估计值，某APP为了促进市民阅读，实行奖励积分制，市民每天在该APP的阅读时间X（单位：分钟）与获得奖励积分Y的关系如下表： X Y 10 50 100 求随机变量Y的数学期望． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64 (2)44.7915 【分析】（1）根据平均数公式，代入数据，即可得答案. （2）由（1）知，则，分别求得、和，代入期望公式，即可得答案. 【详解】（1）依题意， （2）由（1）知，∴， ∴， ， ， ∴， ∴随机变量Y的数学期望为44.7915． 6．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，检测结果如频率分布直方图所示． （1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）； （2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率； ②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望． 附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为； ②若，则，． 【答案】（1）26.5（2）①0.6826②见解析 【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图，直方图各矩形中点值的横坐标与纵坐标的积的和就是所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数；（2）①根据服从正态分布，从而求出；②根据题意得，的可能取值为，根据独立重复试验概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用二项分布的期望公式可得的数学期望. 试题解析：（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为： ． （2）①∵服从正态分布，且，， ∴， ∴落在内的概率是．　 ②根据题意得， ；；；；. ∴的分布列为 0 1 2 3 4 ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $$