暑假作业06 随机变量的数字特征（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 随机变量的数字特征 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验． 3．均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2． (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下，则该运动员所得环数的数学期望最接近（   ） 命中环数 6 7 8 9 10 概率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 A．7环 B．8环 C．9环 D．10环 【答案】B 【分析】根据题意求该运动员所得环数的数学期望，结合选项分析求解. 【详解】设运动员所得环数为， 则该运动员所得环数的数学期望为， 所以该运动员所得环数的数学期望最接近8环. 故选：B. 2．已知随机变量X服从二项分布B（8，），则E（3X﹣1）＝（　　） A．11 B．12 C．18 D．36 【答案】A 【分析】由二项分布的性质得，再由，能求出结果． 【详解】随机变量服从二项分布， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．已知随机变量服从二项分布，若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项分布的期望公式及性质计算得解. 【详解】由随机变量服从二项分布，得，由，得， 所以. 故选：C 4．已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式列式求解即可. 【详解】由分布列可得，解得， 由期望可得，解得. 故选：C. 5．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，由题求出事件的概率，分析的值 ，求出对应值的概率，然后求出数学期望及方差即可. 【详解】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，，相互独立， ， ， ， ． 故选：D. 6．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，计算可得结果. 【详解】切比雪夫不等式的形式为：， 由题知， 则的具体形式为. 故选：D. 二、多选题 7．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可. 【详解】A，，故A正确； B，，故B错误； C，，故C正确； D，，故D错误. 故选：AC. 8．已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由均值和方差的计算式化简可得，依次计算各选项即可得出结果. 【详解】, ， ，， 又，.故A不可能成立， 当时，，故B可能成立， 令，即 ，方程无解，故C不可能成立， 当时，，故D可能成立， 故选：AC. 三、填空题 9．若离散型随机变量，且，则 ． 【答案】4 【分析】根据二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】根据二项分布方差公式可知，，得. 故答案为：4 10．随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4，则P（X＝1）＝ ；若Y＝2X，则DY＝ ． 【答案】 0.6 1.6 【解析】设P（X＝1）＝x，则P（X＝2）＝0.8﹣x，0≤x≤0.8，则EX＝0×0.2+x+2（0.8﹣x）＝1.6﹣x，通过DX，解得x，由此能求出P（X＝1）以及DY． 【详解】∵随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4， ∴设P（X＝1）＝x，则P（X＝2）＝0.8﹣x，0≤x≤0.8， 则EX＝0×0.2+x+2（0.8﹣x）＝1.6﹣x， DX＝（x﹣1.6）2×0.2+（x﹣0.6）2x+（x+0.4）2（0.8﹣x）＝0.4， 整理，得：x2﹣0.2x﹣0.24＝0， 解得x＝0.6或x＝﹣0.4（舍），P（X＝1）＝0.6， ∴EX＝1.6﹣x＝1.6﹣0.6＝1．D（Y）＝D（2X）＝4D（X）＝1.6 故答案为：0.6；1.6． 四、解答题 11．潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，潍坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案： 方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次； 方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取1个批次检测． （1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率； （2）求方案甲检测次数X的分布列； （3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由． 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）方案乙的效率更高．理由见解析. 【分析】（1）由题意即可求解；（2）先求出的可能取值，然后求出对应的概率，进而可以求解； （3）设方案乙的检测次数为，求出的可能取值，然后求出对应的概率，再求出方案甲和乙的数学期望，比较大小即可求解． 【详解】解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率， （2）依题意知检测次数的可能取值为1，2，3，4， ， ， ， ， 故方案甲检测次数的分布列为： 1 2 3 4 （3）设方案乙检测次数为，则的可能取值为2，3． 当时的情况为先检测3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先检测3个批次为合格，再从其他2个批次中取出1个批次检测． 则， 所以． 故方案乙检测次数的分布列为： 2 3 ， 则， 因为，所以方案乙的效率更高． 一、单选题 1．设随机变量，若，则n= A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据随机变量，得到方程组，解得答案. 【详解】随机变量， 解得 故答案选D 【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差，属于常考基础题型. 2．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上两个数的积的均值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设抛掷1次向上的数字为，抛掷2次向上的数字之积为，则可求的分布列，从而可求的分布列，最后利用公式可求. 【详解】设抛掷1次向上的数字为，抛掷2次向上的数字之积为， 则由题意可知，，， 所以，， ，， 所以． 故选：A. 二、多选题 3．下列说法正确的是（    ） A．线性回归方程对应的直线一定经过点 B．若随机变量，则 C．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小 D．“事件是互斥事件”是“事件是对立事件”的充分不必要条件 【答案】ABC 【分析】选项ABC符合相关定义定理，正确；选项D逻辑错误. 【详解】选项A: 线性回归方程对应的直线经过样本点的中心.判断正确； 选项B: 若随机变量，则.判断正确； 选项C: 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. 判断正确； 选项D: “事件是互斥事件”是“事件是对立事件”的必要不充分条件.选项D判断错误. 故选：ABC 三、填空题 4．已知随机变量取值，，，，的概率均为0.2，随机变量取值，，，，的概率也均为0.2．若记，分别为，的方差，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】利用随机变量的期望，方差公式及基本不等式即得. 【详解】∵互不相等 ， ∴，记作， ∴ ， 同理， ∵，…，， ∴， ∴． 故答案为：. 四、解答题 5．青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p． (1)求p的值． (2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望. 【详解】（1）设A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”，表示事件“取出的2件瓷器中无成品”，表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”， 则 ， 解得． （2）设这3件中成品的件数为Y． 由题可知． 因为， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 所以． 6．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”（）混检方式共需检测X次． (1)求随机变量X的分布列和数学期望； (2)已知当时，．若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】(1)根据题干条件分情况和求概率,写出分布列计算数学期望即可; (2)由(1)的数学期望得出每位居民检测的次数,再应用基本不等式求出核酸检测中每位居民检测的最少次数,取等条件可求n. 【详解】（1）X的取值为1和， ， ， 随机变量X的分布列为： X 1 P 可得； （2）由（1）可知每位居民检测的次数约为， 又由， 当且仅当，即时等号成立． 故当时，采用“100合1”，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 随机变量的数字特征 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验． 3．均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数． (2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)． (3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2． (4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下，则该运动员所得环数的数学期望最接近（   ） 命中环数 6 7 8 9 10 概率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 A．7环 B．8环 C．9环 D．10环 2．已知随机变量X服从二项分布B（8，），则E（3X﹣1）＝（　　） A．11 B．12 C．18 D．36 3．已知随机变量服从二项分布，若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知随机变量 的分布列如下： 2 3 5 若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（    ） A． B． C． D． 6．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若随机变量，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，随机变量的分布列如下表所示，若，则下列结论中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若离散型随机变量，且，则 ． 10．随机变量X的取值为0、1、2，P（X＝0）＝0.2，DX＝0.4，则P（X＝1）＝ ；若Y＝2X，则DY＝ ． 四、解答题 11．潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，潍坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次．某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面有两种检测方案： 方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次； 方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测．若结果不合格，则表明不合格批次就在这3个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取1个批次检测． （1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率； （2）求方案甲检测次数X的分布列； （3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由． 一、单选题 1．设随机变量，若，则n= A．3 B．6 C．8 D．9 2．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数0，两个面上标有数1，一个面上标有数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上两个数的积的均值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．下列说法正确的是（    ） A．线性回归方程对应的直线一定经过点 B．若随机变量，则 C．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小 D．“事件是互斥事件”是“事件是对立事件”的充分不必要条件 三、填空题 4．已知随机变量取值，，，，的概率均为0.2，随机变量取值，，，，的概率也均为0.2．若记，分别为，的方差，则 （填“”“”或“”）． 四、解答题 5．青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p． (1)求p的值． (2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望． 6．通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检，单检是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测：混检是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低（低于0.1%）时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率为．若对该城市全体居民进行一轮核酸检测，记每一组n位居民采用“n合1”（）混检方式共需检测X次． (1)求随机变量X的分布列和数学期望； (2)已知当时，．若，采用“n合1”混检时，请估计当n为何值时，这一轮核酸检测中每位居民检测的次数最少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$