暑假作业05 二项分布与超几何分布（巩固培优）高二数学人教B版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 二项分布与超几何分布 1．二项分布当n＝1时就是两点分布． 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知随机变量，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据随机变量，利用二项分布的方差公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为的泊松分布.若每周销售件该商品与每周销售件该商品的概率相等，则两周共销售件该商品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干解方程可得，进而可得概率. 【详解】依题意得，即，解得， 所以， 所以，，， 则两周销售件的概率为. 故选：D. 3．已知袋中有2个白球、3个红球、1个蓝球，采取有放回的方式从袋中依次摸出3个球，则至少有1个白球被摸出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出摸球一次摸出白球的概率，再利用独立重复试验的概率及对立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，摸球一次摸出白球的概率， 有放回摸出3个球，没有摸到白球的概率为， 所以至少有1个白球被摸出的概率为. 故选：D 4．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等．定义数列：{an}，，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率是（    ） A． ()2()5 B． ()2()5 C． ()2()5 D． ()2()5 【答案】B 【详解】 由已知可知，每次摸球摸到白球的概率为，则n次摸球中，取到白球的次数X服从二项分布，即X～B(n，).由S7＝3可知，前7次摸到5次白球，2次红球，所以S7＝3的概率是P(X＝2)＝C ()2()5. 5．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值. 【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故. 故选：B. 6．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果． 【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 二、多选题 7．一个袋中有个同样大小的黑球，编号为，还有个同样大小的白球，编号为.现从中任取个球，下列变量服从超几何分布的是（    ） A．表示取出的最大号码 B．表示取出的最小号码 C．取出一个黑球记分，取出一个白球记分，表示取出的个球的总得分 D．表示取出的黑球个数 【答案】D 【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取；由此逐项判断，即可得出结果. 【详解】AB不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，即AB错； C中考虑得分的概率，而得分不符合超几何分布，故C错误； D选项符合超几何分布的定义，将黑球视作次品，白球视作正品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，即D正确； 故选：D. 8．已知随机变量X服从二项分布，随机变量，则下列说法正确的是（    ） A．随机变量X的数学期望 B． C．随机变量X的方差 D．随机变量Y的方差 【答案】AC 【分析】利用服从二项分布， 则有，， 可判断出选项ABC的正误；利用时，，即可判断出选项D的正误. 【详解】因为X服从二项分布， 故，，故选项A，C正确； 又，故B选项错误， 又，则，故选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．随机变量的分布列为，则正整数的最大值为 ，的值为 ． 【答案】 【分析】由概率和为1，可求出的值，由可得 【详解】解：由题意得，得，解得， 因为， 所以， 故答案为：5， 10．重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为，则 . 【答案】 【分析】由题意有，应用独立重复试验的概率求法求、，即可求结果. 【详解】依题意，随机变量，则，， 所以. 故答案为： 四、解答题 11．2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中. 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设个天坑院，每个天坑院投资百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的，否则盈利额为. 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态､文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的，也可能亏损投资额的，且这两种情况发生的概率分别为和. （1）记(单位：百万元)为投资项目一盈利额，求(用表示)； （2）试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）记为盈利的天坑院个数，则服从二项分布，根据公式代入求解，再由计算；（2）记为投资项目二盈利额，列出分布列，求解，然后通过比较与的大小关系判断即可. 【详解】（1）由题意记为盈利的天坑院个数，则，则盈利的天坑院数的均值. 故盈利的均值为 （2）记为投资项目二盈利额，则的分布列为： 盈利的均值. ①当时，，解得.故两个项目均可投资. ②当时，，解得.此时选择项目一. ③当时，，解得.此时选择项目二. 一、单选题 1．设随机变量服从分布，且，，则(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到关于的方程组解，解程组即可得出得出答案. 【详解】随机变量服从分布，且，， ，， 解得：，. 故选：A 2．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定从100件中任取五件的取法数，再确定任取5件，则恰有1件不合格品的取法数，即可求得答案. 【详解】一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件， 共有 种取法； 其中恰有1件不合格品的取法有种取法， 故恰有1件不合格品的概率是， 故选：A. 二、多选题 3．一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，向右移动的概率为.则下列结论正确的有（    ） A．第八次移动后位于原点0的概率为 B．第六次移动后位于4的概率为 C．第一次移动后位于-1且第五次移动后位于1的概率为 D．已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于4的概率为 【答案】BCD 【分析】运用二项分布可判断A项、B项，运用分步乘法计算可判断C项，运用条件概率公式计算可判断D项. 【详解】对于A项，在8次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则， 若移动8次后，质点位于0的位置，则质点向右移动4次，向左移动4次， 所以第八次移动后位于原点0的概率为，故A项错误； 对于B项，在6次移动中，设变量X为质点向右运动的次数，则， 若移动6次后，质点位于4的位置，则质点向右移动5次，向左移动1次， 所以第八次移动后位于原点0的概率为，故B项正确； 对于C项，记“第一次移动后位于”为事件A，“第五次移动后位于1”为事件B， 由题意知，质点先向左移动1次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次， 所以第一次移动后位于且第五次移动后位于1的概率为，故C项正确； 对于D项，记“第二次移动后位于2”为事件M，“第六次移动后位于4”为事件N， 当第二次移动后位于2且第六次移动后位于4时，质点先向右移动2次，剩余的4次中质点向右移动3次，向左移动1次， 所以，， 所以已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于1的概率为，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为 . 【答案】 【分析】根据实际的问题情景，结合二项分布计算出所求的概率. 【详解】质点从原点0出发，经过最终到达2的位置，需移动8次，其中必然有3次向左， 分为两类：第一类，当质点第2次移动到达的位置时，质点先向左移动了2次，在后续的6次移动中，只要向左移动1次即可， 则所求的概率为； 第二类，当前3次移动未到达，且第4次移动到达时，质点前4次的移动顺序为，，后续的4次移动中全部向右移动即可， 则所求的概率为. 故所求的概率为. 故答案为： 四、解答题 ．抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X． (1)说明表示的是什么事件，并求出； (2)求X的分布列． 【答案】(1)事件见解析，； (2)分布列见解析． 【分析】（1）根据表示的意义确定事件，并计算概率． （2）的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列． 【详解】（1）表示正面向上的次数为1的事件，． （2）的可能值为0，1，2，则，， 的分布列如下： 0 1 2 100．2018年“双十一”全网销售额达亿元，相当于全国人均消费元，同比增长，监测参与“双十一”狂欢大促销的家电商平台有天猫、京东、苏宁易购、网易考拉在内的综合性平台，有拼多多等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台.某大学学生社团在本校名大一学生中采用男女分层抽样，分别随机调查了若干个男生和个女生的网购消费情况，制作出男生的频率分布表、直方图（部分）和女生的茎叶图如下： 男生直方图 分组（百元） 男生人数 频率 合计 女生茎叶图 （1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）. （2）若网购为全国人均消费的三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？从抽样数据中网购不足元的同学中随机抽取人发放纪念品，则人都是女生的概率为多少？ （3）用频率估计概率，从全市所有高校大一学生中随机调查人，求其中“剁手党”人数的分布列和期望. 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析. 【分析】（1）结合频数和对应频率的比值相同即可进行计算； （2）分别计算出男生和女生个数，再利用古典概率公式计算即可； （3）由二项分布公式分别写出分布列和期望. 【详解】（1）表格数据依次为0.300,8,40， 中位数是元； （2）由图表可知样本中消费675元的男生有2人，女生有8人，共有10人，样本容量共100人，故该校大一学生中的“剁手党”人数为100人，抽样数据中网购不足元的同学中男生有4人，女生有3人，随机抽取人发放纪念品，则人都是女生的概率为; （3）全市所有高校大一学生中，为“剁手党”的概率为0.1，故随机调查的5人中“剁手党”人数的分布列为，分布表为 X 0 1 2 3 4 5 P 数学期望为. 【点睛】本题主要考查频数和中位数的计算，考查随机变量的分布列,考查数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 二项分布与超几何分布 1．二项分布当n＝1时就是两点分布． 2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 一、单选题 1．已知随机变量，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为的泊松分布.若每周销售件该商品与每周销售件该商品的概率相等，则两周共销售件该商品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知袋中有2个白球、3个红球、1个蓝球，采取有放回的方式从袋中依次摸出3个球，则至少有1个白球被摸出的概率为（    ） A． B． C． D． 4．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，每个球被摸到的机会均等．定义数列：{an}，，如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率是（    ） A． ()2()5 B． ()2()5 C． ()2()5 D． ()2()5 5．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（    ） A． B． C． D． 6．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 7．一个袋中有个同样大小的黑球，编号为，还有个同样大小的白球，编号为.现从中任取个球，下列变量服从超几何分布的是（    ） A．表示取出的最大号码 B．表示取出的最小号码 C．取出一个黑球记分，取出一个白球记分，表示取出的个球的总得分 D．表示取出的黑球个数 8．已知随机变量X服从二项分布，随机变量，则下列说法正确的是（    ） A．随机变量X的数学期望 B． C．随机变量X的方差 D．随机变量Y的方差 三、填空题 9．随机变量的分布列为，则正整数的最大值为 ，的值为 ． 10．重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为，则 . 四、解答题 11．2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中. 项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设个天坑院，每个天坑院投资百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的，否则盈利额为. 项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态､文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的，也可能亏损投资额的，且这两种情况发生的概率分别为和. （1）记(单位：百万元)为投资项目一盈利额，求(用表示)； （2）试以项目盈利的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. 一、单选题 1．设随机变量服从分布，且，，则(    ) A．， B．， C．， D．， 2．一批产品共100件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，向右移动的概率为.则下列结论正确的有（    ） A．第八次移动后位于原点0的概率为 B．第六次移动后位于4的概率为 C．第一次移动后位于-1且第五次移动后位于1的概率为 D．已知第二次移动后位于2，则第六次移动后位于4的概率为 三、填空题 4．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动8次，则质点经过最终到达2的位置的概率为 . 四、解答题 ．抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X． (1)说明表示的是什么事件，并求出； (2)求X的分布列． 100．2018年“双十一”全网销售额达亿元，相当于全国人均消费元，同比增长，监测参与“双十一”狂欢大促销的家电商平台有天猫、京东、苏宁易购、网易考拉在内的综合性平台，有拼多多等社交电商平台，有敦煌网、速卖通等出口电商平台.某大学学生社团在本校名大一学生中采用男女分层抽样，分别随机调查了若干个男生和个女生的网购消费情况，制作出男生的频率分布表、直方图（部分）和女生的茎叶图如下： 男生直方图 分组（百元） 男生人数 频率 合计 女生茎叶图 （1）请完成频率分布表的三个空格，并估计该校男生网购金额的中位数（单位：元，精确到个位）. （2）若网购为全国人均消费的三倍以上称为“剁手党”，估计该校大一学生中的“剁手党”人数为多少？从抽样数据中网购不足元的同学中随机抽取人发放纪念品，则人都是女生的概率为多少？ （3）用频率估计概率，从全市所有高校大一学生中随机调查人，求其中“剁手党”人数的分布列和期望. / 学科网（北京）股份有限公司 $$