暑假作业05 实数-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 实数 一、无理数 1. 无理数的定义：无限不循环的小数叫做 无理数 。 2. 无理数的三种形式：①开方开不尽的根式；②含有π的；③无限不循环小数。 3. 无理数的估算：采用夹逼法估算无理数在哪两个整数之间或估算无理数的整数部分和小数部分。 二、实数 1. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数的分类： 按照定义分为有理数和无理数。 按照正负分为正实数、 负实数和0 。 3. 实数与数轴的关系：一一对应关系。即一个实数在数轴在只能找1个点来表示。数轴上一个点也只能表示 1 个实数。 4. 实数的性质：相反数与绝对值同有理数的性质。 5. 实数的大小比较：根指数相同时，被开方数越大的数越大。 6. 实数的运算：运算定律同有理数的运算定律。在运算含根式无理数时，只有根指数和被开方数均相同在可以进行加减。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在实数、、、、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：由题意可得， 、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）是无理数， 故选：B． 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：的相反数是． 故选：A． 3．下列计算，错误的是（　　） A．（）2+（）3＝0 B．0.4 C．2 D．7 【答案】A 【解答】解：A．（）2+（）3＝2+2＝4，故此选项符合题意； B．0.4，故此选项不合题意； C．2，故此选项不合题意； D．7，故此选项不合题意． 故选：A． 4．下面是嘉琪同学做的练习题，他最后的得分是（　　） 姓名嘉琪得分______ 填空题（评分标准，每道题5分） （1）64的立方根是±4 （2）算术平方根等于它本身的数有0和1 （3）的相反数是﹣2 （4）|3|＝3 A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 【答案】C 【解答】解：（1）64的立方根是4，故答案错误； （2）算术平方根等于它本身的数只有0和1两个数，故答案正确； （3）2，的相反数是﹣2，答案正确； （4）∵30，∴，答案正确； 由上可知得分为：5×3＝15（分）， 故选：C． 5．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果a，c的绝对值相等，那么下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．abc＜0 C．b+c＜0 D．b﹣a＞0 【答案】D 【解答】解：观察数轴可知：a＜b＜c，|a|＜|b|＜|c|， ∵a，c的绝对值相等， ∴a，c是互为相反数，即a＜0，c＞0， ∴b＜0， ∴a+b＜0，abc＞0，b+c＞0，b﹣a＞0， ∴A，B，C选项的结论错误，D选项的结论正确， 故选：D． 6．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有a*b＝（a+1）2﹣b2，则的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．10 D．﹣4 【答案】D 【解答】解： ＝3﹣7 ＝﹣4， 故选：D． 7．设n为正整数，且，则n的值为 　8　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵， ∴n＝8， 故答案为：8． 8．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若以A为原点，AB为半径画弧交数轴于点E，点E在点A的右边，则数轴上点E所表示的数为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可知：， 又∵点E在点A的右边， ∴点E所表示的数为， 故答案为：． 9．（1）计算：； （2）解方程：4（x﹣1）2﹣16＝0． 【答案】（1）﹣11；（2）x1＝3，x2＝﹣1． 【解答】解：（1）原式； （2）4（x﹣1）2＝16， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． 10．如图，已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是 　　 ； （2）求|m﹣2|﹣|1﹣m|的值； （3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根． 【答案】（1）； （2）1； （2）±4． 【解答】解：（1）∵点B在点A的右侧，AB＝2，点A表示的数为，点B表示的数为m， ∴； （2）由数轴可知：0＜m＜1， ∴m﹣2＜0，1﹣m＞0， ∴|m﹣2|﹣|1﹣m|＝2﹣m﹣（1﹣m）＝2﹣m﹣1+m＝1； （3）由|2c+4|与互为相反数，可得， 又均为非负数， 故2c+4＝0且d﹣4＝0， 即c＝﹣2，d＝4， ∴2c+5d＝2×（﹣2）+5×4＝﹣4+20＝16， ∵16的平方根为±4， ∴2c+5d的平方根为±4． 1．规定：（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（2，1）＝1，[3，4]＝4，则（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x]＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】B 【解答】解：（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x] ＝x﹣3+2﹣x ＝﹣1， 故选：B． 2．对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①； ②若，，则{x}×y＝﹣1； ③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7； ④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①∵34， ∴，故①正确； ②∵23， ∴{x}2 ∵， ∴则{x}×y＝（2）（2）＝5﹣4＝1≠﹣1；故②不正确； ③∵[x]＝4，[y]＝2， ∴4≤x＜5，2≤y＜3， ∴6≤x+y＜8， ∴[x+y]所有可能的值为6和7；故③正确； ④若x＝4.6，y＝5.7， 那么[x+y]＝[4.6+5.7]＝10，[x]+[y]＝[4.6]+[5.7]＝4+5＝9． [x+y]＞[x]+[y]，故④不正确． 综上，正确的是：①③． 故选：B． 3．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|﹣|b﹣c|＝ 　﹣c　 ． 【答案】﹣c． 【解答】解：由图可知：b＜c＜0＜a，|b|＞a， ∴a+b＜0，b﹣c＜0， ∴原式＝a﹣a﹣b﹣c+b＝﹣c； 故答案为：﹣c． 4．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，（1）对85只需进行 　3　 次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　255　 ． 【答案】3；255． 【解答】解：，，， 故对85只需进行3次操作后变为1， ∵22＝4，42＝16，162＝256， ∴， 故只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：3；255． 5．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N，若M﹣N＜0，则M＜N，若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立．本题中因为M﹣N＝2x+3﹣（2x+1）＝2＞0，所以M＞N． （1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2． ①用含a的代数式分别表示S1＝　a2+4a　 ；S2＝　a2+4a+4　 ； ②请用作差法比较S1与S2大小． （2）若P＝m2﹣m，Q＝m﹣2（m为任意实数），试比较P，Q的大小．并说明理由． 【答案】（1）①a2+4a，a2+4a+4； ②S1＜S2，理由见解析过程． （2）P＞Q，理由见解析过程． 【解答】解：（1）①由题知， S1＝a（a+4）＝a2+4a， S2＝（a+2）2＝a2+4a+4， 故答案为：a2+4a，a2+4a+4． ②S1﹣S2＝a2+4a﹣（a2+4a+4）＝﹣4＜0， 所以S1＜S2． （2）P＞Q． 由题知， P﹣Q＝m2﹣m﹣（m﹣2）＝m2﹣2m+2＝（m﹣1）2+1， 因为（m﹣1）2≥0， 所以（m﹣1）2+1≥1＞0， 所以P＞Q． 1．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【解答】解：由题意可知，正方体铁块的体积为34cm3， 所以正方体的棱长为， ∵33＝27，43＝64，而27＜34＜64， ∴34． 故选：B． 2．阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分是 　　 ；的小数部分是 　　 ； （2）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求8﹣y的值； 阅读材料2． 小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以． （3）利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01） 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴的小数部分是， ∵， ∴， ∴的小数部分是， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴x＝13，， ； （3）∵， ∴， 设，其中0＜x＜1， 则125＝121+22x+x2， ∵0＜x＜1， ∴0＜x2＜1， ∴125≈121+22x， 解得x≈0.18，所以． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 实数 一、无理数 1. 无理数的定义：无限不循环的小数叫做 无理数 。 2. 无理数的三种形式：①开方开不尽的根式；②含有π的；③无限不循环小数。 3. 无理数的估算：采用夹逼法估算无理数在哪两个整数之间或估算无理数的整数部分和小数部分。 二、实数 1. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2. 实数的分类： 按照定义分为有理数和无理数。 按照正负分为正实数、 负实数和0 。 3. 实数与数轴的关系：一一对应关系。即一个实数在数轴在只能找1个点来表示。数轴上一个点也只能表示 1 个实数。 4. 实数的性质：相反数与绝对值同有理数的性质。 5. 实数的大小比较：根指数相同时，被开方数越大的数越大。 6. 实数的运算：运算定律同有理数的运算定律。在运算含根式无理数时，只有根指数和被开方数均相同在可以进行加减。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．在实数、、、、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．的相反数是（　　） A． B． C． D． 3．下列计算，错误的是（　　） A．（）2+（）3＝0 B．0.4 C．2 D．7 4．下面是嘉琪同学做的练习题，他最后的得分是（　　） 姓名嘉琪得分______ 填空题（评分标准，每道题5分） （1）64的立方根是±4 （2）算术平方根等于它本身的数有0和1 （3）的相反数是﹣2 （4）|3|＝3 A．5分 B．10分 C．15分 D．20分 5．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，如果a，c的绝对值相等，那么下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．abc＜0 C．b+c＜0 D．b﹣a＞0 6．定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有a*b＝（a+1）2﹣b2，则的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．10 D．﹣4 7．设n为正整数，且，则n的值为 　 　 ． 8．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若以A为原点，AB为半径画弧交数轴于点E，点E在点A的右边，则数轴上点E所表示的数为 　 　 ． 9．（1）计算：； （2）解方程：4（x﹣1）2﹣16＝0． 10．如图，已知点A，B是数轴上两点，AB＝2，点B在点A的右侧，点A表示的数为，设点B表示的数为m． （1）实数m的值是 　 　 ； （2）求|m﹣2|﹣|1﹣m|的值； （3）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+5d的平方根． 1．规定：（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（2，1）＝1，[3，4]＝4，则（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x]＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 2．对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①；②若，，则{x}×y＝﹣1；③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7；④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简a+|a+b|﹣|b﹣c|＝ 　 　 ． 4．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，（1）对85只需进行 　 　 次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 　 　 ． 5．我们通常用作差法比较代数式大小．例如：已知M＝2x+3，N＝2x+1，比较M和N的大小．先求M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N，若M﹣N＜0，则M＜N，若M﹣N＝0，则M＝N，反之亦成立．本题中因为M﹣N＝2x+3﹣（2x+1）＝2＞0，所以M＞N． （1）如图1是边长为a的正方形，将正方形一边不变，另一边增加4，得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为S1；将图1中正方形边长增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为S2． ①用含a的代数式分别表示S1＝　 ；S2＝　 　 ； ②请用作差法比较S1与S2大小． （2） 若P＝m2﹣m，Q＝m﹣2（m为任意实数），试比较P，Q的大小．并说明理由． 1．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积为34cm3，由此可估计该正方体铁块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 2．阅读材料1． 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分，其小数部分为． （1）直接写出的小数部分是 　 　 ；的小数部分是 　 　 ； （2）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，求8﹣y的值； 阅读材料2． 小明在查阅了乘法公式（a+b）2＝a2+2ab+b2后，想出了一个估算无理数近似值的方法，例如求的近似值（结果精确到0.01），设，其中0＜x＜1，则107＝100+20x+x2，因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100+20x，解得x≈0.35，所以． （3）利用小明的方法估算的近似值（结果精确到0.01） / 学科网（北京）股份有限公司 $$