暑假作业04 平方根与立方根-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 平方根与立方根 一、平方根 1. 平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。记为 。 2. 平方根的性质：一个正数的平方根有两个，他们互为相反数。0的平方根是0，负数没有平方根。 3. 开平方运算：求一个数的 平方根 的运算叫做开平方。即求a的平方根： 。 二、算术平方根 1. 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为 。 2. 算术平方根的性质： ①双重非负性： 被开方数a 是非负数，即； 算术平方根（） 本身是非负数。即。 ②一个正数算术平方根的平方等于它 本身 。即 。 ③一个数的平方的算术平方根等于这个数的 绝对值 。即。 3. 规定0的算术平方根是 0 ， 负数 没有算术平方根。 4. 平方根与算术平方根的区别：正数a的平方根是两个，分别是和。其中是a的算术平方根 。 三、立方根 1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果，那么x叫做a的立方根．记作： 2. 立方根的性质： ①任何数都有立方根。正数的立方根是正数，0的立方根是0。负数的立方根是负数。 ②一个数的立方根的立方等于它本身。即 。 ③一个数的立方的立方根等于它本身。即 。 3. 开立方运算：求一个数的立方根的运算叫做开立方。即求a的立方根：。 4. 特殊值：算术平方根等于它本身的数是 1 和 0 。 平方根等于它本身的数是 0 。 立方根等于它本身的数是 1 和 0 和 ﹣1 。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．9的平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 2．下列结论正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0 D． 3．若a、b为实数，且，则a+b的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 4．已知一个正数的平方根分别为2x+1和3﹣4x，则这个正数是（　　） A．25 B．16 C．8 D．2 5．若实数x、y、z满足，则xyz的算术平方根是（　　） A．3 B．±4 C．±3 D．4 6．已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 7．若与互为相反数，则ab＝ 　 　 ． 8．若x是25的平方根，y是（﹣3）2的算术平方根，则xy的值为　 　 ． 9．（1）已知一个正数的平方根是a+5和3a﹣13．求这个正数； （2）已知实数3a+1的平方根为±4，实数a+2b﹣1的立方根为1，求a2+2ab的平方根． 10．小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求正方形贺卡的边长； （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 1．已知x﹣1，则x2+x的值为（　　） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．8 3．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　 步．（一亩＝240平方步） 4．已知a、b均为正整数，如果，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是 　 ． 5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，　 　 ． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 1．在解决问题“已知a，b，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 2．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． （1）以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由102＝100，1002＝10000可以确定是 　 　 位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 　 　 或 　 　 ； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而42＝16，52＝25，可以确定的十位上的数是4；因4×（4+1）＝20，而18＜20，所以选择较小的个位数字，则　 　 ． （2）已知3136也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 平方根与立方根 一、平方根 1. 平方根的概念：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。记为 。 2. 平方根的性质：一个正数的平方根有两个，他们互为相反数。0的平方根是0，负数没有平方根。 3. 开平方运算：求一个数的 平方根 的运算叫做开平方。即求a的平方根： 。 二、算术平方根 1. 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为 。 2. 算术平方根的性质： ①双重非负性： 被开方数a 是非负数，即； 算术平方根（） 本身是非负数。即。 ②一个正数算术平方根的平方等于它 本身 。即 。 ③一个数的平方的算术平方根等于这个数的 绝对值 。即。 3. 规定0的算术平方根是 0 ， 负数 没有算术平方根。 4. 平方根与算术平方根的区别：正数a的平方根是两个，分别是和。其中是a的算术平方根 。 三、立方根 1. 立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。即如果，那么x叫做a的立方根．记作： 2. 立方根的性质： ①任何数都有立方根。正数的立方根是正数，0的立方根是0。负数的立方根是负数。 ②一个数的立方根的立方等于它本身。即 。 ③一个数的立方的立方根等于它本身。即 。 3. 开立方运算：求一个数的立方根的运算叫做开立方。即求a的立方根：。 4. 特殊值：算术平方根等于它本身的数是 1 和 0 。 平方根等于它本身的数是 0 。 立方根等于它本身的数是 1 和 0 和 ﹣1 。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．9的平方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D． 【答案】C 【解答】解：9的平方根是±±3． 故选：C． 2．下列结论正确的是（　　） A．的平方根是±4 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是0 D． 【答案】D 【解答】解：根据平方根与立方根的性质逐项分析判断如下： A、，8的平方根是，此项错误，不符合题意； B、，此项错误，不符合题意； C、立方根等于本身的数有0，1，﹣1，此项错误，不符合题意； D、∵， ∴，此项正确，符合题意； 故选：D． 3．若a、b为实数，且，则a+b的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．±1 【答案】B 【解答】解：∵， ∴a+3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣3，b＝2， ∴a+b＝﹣1， 故选：B． 4．已知一个正数的平方根分别为2x+1和3﹣4x，则这个正数是（　　） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】A 【解答】解：根据题意得，2x+1+3﹣4x＝0， 解得x＝2， ∴2x+1＝5， ∴这个正数为52＝25， 故选：A． 5．若实数x、y、z满足，则xyz的算术平方根是（　　） A．3 B．±4 C．±3 D．4 【答案】D． 【解答】解：∵， ∴x+4＝0，y﹣2＝0，z+2＝0， ∴x＝﹣4，y＝2，z＝﹣2， ∴xyz＝﹣4×2×（﹣2）＝16， ∵16的算术平方根是4， ∴xyz的算术平方根为4． 故选：D． 6．已知一个表面积为12平方分米的正方体，则这个正方体的棱长为（　　） A．分米 B．分米 C．分米 D．2分米 【答案】B 【解答】解：正方体一个面的面积为12÷6＝2（平方分米）， ∴正方体的棱长为分米， 故选：B． 7．若与互为相反数，则ab＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵和互为相反数， ∴0， ∴a+2＝0，0， ∴a＝﹣2，b， ∴ab． 故答案为：． 8．若x是25的平方根，y是（﹣3）2的算术平方根，则xy的值为　125或﹣125　 ． 【答案】125或﹣125． 【解答】解：∵x是25的平方根， ∴x的值为5或﹣5． ∵y是（﹣3）2的算术平方根，（﹣3）2＝9， ∴y的值为3． 当x＝5，y＝3时，xy＝53＝125； 当x＝﹣5，y＝3时，xy＝（﹣5）3＝﹣125； 综上所述，xy的值为：125或﹣125． 故答案为：125或﹣125． 9．（1）已知一个正数的平方根是a+5和3a﹣13．求这个正数； （2）已知实数3a+1的平方根为±4，实数a+2b﹣1的立方根为1，求a2+2ab的平方根． 【答案】（1）49；（2）． 【解答】解：（1）由条件可知a+5+3a﹣13＝0， 解得a＝2， ∴a+5＝2+5＝7， ∴这个数为72＝49； （2）由条件可知3a+1＝（±4）2＝16，a+2b﹣1＝13＝1， ∴， ∴， ∴a2+2ab的平方根为． 10．小明制作了一张面积为256cm2的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为420cm2． （1）求正方形贺卡的边长； （2）求长方形信封的长和宽； （3）小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】（1）16cm； （2）长方形信封的长为，宽为； （3）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 【解答】解：（1）正方形贺卡的边长为． 答：正方形贺卡的边长为16cm． （2）∵信封的长、宽之比为3：2， ∴设长方形信封的长为3x cm，则宽为2x cm， 由题意得3x•2x＝420，即x2＝70， ∴（负值舍去）， ∴长方形信封的长为，宽为． （3）正方形贺卡的边长为16cm，信封的宽为 ∵70＞64， ∴， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 1．已知x﹣1，则x2+x的值为（　　） A．0或1 B．0或2 C．0或6 D．0或2或6 【答案】D 【解答】解：∵x﹣1， ∴x﹣1＝0或1或﹣1， 解得x＝1或2或0， ∴x2+x的值为2或6或0． 故选：D． 2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【解答】解：由数值加工机的运算程序，输入64，取算术平方根得8，8是有理数，再取立方根得2，2是有理数，再取算术平方根得，由于是无理数， 所以输出的数为， 故选：B． 3．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．现在请你帮他算出它的长是 　60　 步．（一亩＝240平方步） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设此矩形田的宽为x步， 依据题意，可列方程为x⋅2x＝240×7.5， 解得x＝30（负值舍去）， 则长为60步， 故答案为：60． 4．已知a、b均为正整数，如果，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：由题可知：6， 即06＜1． 故答案为：6． 5．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． （1）请直接判断3，12，32是不是“和谐组合”，　不是　 ． （2）请证明2，18，8这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根． （3）已知9，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】（1）不是； （2）4，12； （3）81． 【解答】（1）解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； 故答案为：不是； （2）证明：∵，，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合”， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （3）解：分三种情况：①当9≤a≤25时，得：a＝0（舍去）， ②当a≤9＜25时，，得：（舍去）， ③当9＜25≤a时，．得：a＝81． 综上所述，a的值为81． 1．在解决问题“已知a，b，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（　　） A．只有甲对 B．只有乙、丙对 C．只有甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【解答】解：∵，， ∴，故甲同学的说法正确； ，故丙同学的说法正确； 777，故乙同学的说法正确． 故选：D． 2．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． （1）以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由102＝100，1002＝10000可以确定是 　两　 位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 　3　 或 　7　 ； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而42＝16，52＝25，可以确定的十位上的数是4；因4×（4+1）＝20，而18＜20，所以选择较小的个位数字，则　43　 ． （2）已知3136也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】（1）①两；②3，7；③43； （2）56，过程详见解答． 【解答】解：（1）以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由102＝100，1002＝10000可以确定是两位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而42＝16，52＝25，可以确定的十位上的数是4；因4×（4+1）＝20，而18＜20，所以选择较小的个位数字，则43． 故答案为：①两；②3，7；③43； （2）已知3136也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下： ①由102＝100，1002＝10000可以确定是两位数； ②由3136的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是4或6； ③如果划去3136后面的两位36得到数31，而52＝25，62＝36，可以确定的十位上的数是5；因5×（5+1）＝30，而31＞30，所以选择较大的个位数字，则56． / 学科网（北京）股份有限公司 $$