暑假作业02 平行线-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 平行线 一、平行线 1. 定义：如图，在同一平面内，永不相交的两条直线的位置关系叫做平行。记做 a∥b；读作a平行于b。 同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行这两种。 2. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等 ，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 ④平行公理推论：a∥b，a∥c，则 b∥c 。 ⑤垂直于同一直线的两直线平行。若a⊥c，b⊥c，则 a∥b 。 3. 平行线的性质：①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。 ④平行线间的距离处处相等。 4. 平行公理及其推论： （1） 平行公理：同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2） 推论：平行于同一直线的两直线相互平行。 二、命题、定理和证明 1. 命题：定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 分类：命题分为真命题和假命题。若判断的事情是正确的，则命题为真命题，若判断的事情是错的，则命题是假命题。 命题的改写：命题均可以改写成“如果...那么...”的形式。“如果”后面是题设，“那么后面是结论。 2. 定理：有些真命题的正确性时需要用推理来进行证实的，这样的真命题叫做定理。 3. 证明：推理论证定理的过程叫做证明。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 2．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠B+∠BCD＝180° D．∠B＝∠5 3．下列命题中，属于真命题的是（　　） A．两直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若a2＝b2，则a＝b C．对顶角相等 D．一个数能被3整除，则也一定能被6整除 4．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 5．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，AB∥CD，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝180° D．∠2+∠3＝180° 6．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中AB∥CD，AE∥BD．若∠CDB＝60°，∠ACD＝70°，CE平分∠ACD，则∠AEC的度数为（　　） A．140° B．120° C．100° D．95° 7． 把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　 　 ． 8．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是　 　 ． 9．科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，AB∥CD，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD． 试说明：∠EOF+∠OFC＝180°． 阅读下面的解答过程，并填空（ 理由或数学式 ）． 解：∵AB∥CD（ 　 　 ）， ∴∠AOC＝∠　 　 （ 　 　 ）． ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴ 　 　 （角平分线的定义）． 同理， 　 　 ． ∴∠EOC＝∠OCF（等量代换）， ∴OE∥　 　 （ 　 　 ）， ∴∠EOF+∠OFC＝180°（ 　 　 ）． 10．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 1．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝62°，则∠MBA的大小为（　　） A．42° B．38° C．32° D．28° 2．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～70°，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPC＝30°，则反射光束CH与天花板所形成的角（∠PHC）不可能取到的度数为（　　） A．20° B．50° C．70° D．120° 3．如图，有一副直角三角板，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠A＝60°，∠C＝30°，∠D＝∠E＝45°，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点D在直线AB上方，且0°＜∠ABD＜180°，则能使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为 　 　 ． 第3题 第4题 4．如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝　 　 度． 5．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE＝135°，两支架BC和CD的夹角∠BCD＝108°． 如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小明解决此问题的思路如下： （1）小明在解决问题时，过点C作CF∥BE，则可以得到CF∥MN，其理由是 　 　 ； （2）如图②，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数； （3）小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 1．如图1，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为5：4．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为α，β，在水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　） A． B． C．γ D．α+β＝180°﹣γ 2．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　 　 ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　 　 °（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 平行线 一、平行线 1. 定义：如图，在同一平面内，永不相交的两条直线的位置关系叫做平行。记做 a∥b；读作a平行于b。 同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行这两种。 2. 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。 ②内错角相等 ，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 ④平行公理推论：a∥b，a∥c，则 b∥c 。 ⑤垂直于同一直线的两直线平行。若a⊥c，b⊥c，则 a∥b 。 3. 平行线的性质：①两直线平行，同位角相等。 ②两直线平行，内错角相等。 ③两直线平行，同旁内角互补。 ④平行线间的距离处处相等。 4. 平行公理及其推论： （1） 平行公理：同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2） 推论：平行于同一直线的两直线相互平行。 二、命题、定理和证明 1. 命题：定义：判断一件事情的语句，叫做命题。 分类：命题分为真命题和假命题。若判断的事情是正确的，则命题为真命题，若判断的事情是错的，则命题是假命题。 命题的改写：命题均可以改写成“如果...那么...”的形式。“如果”后面是题设，“那么后面是结论。 2. 定理：有些真命题的正确性时需要用推理来进行证实的，这样的真命题叫做定理。 3. 证明：推理论证定理的过程叫做证明。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（　　） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【答案】B 【解答】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系． 故选：B． 2．如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠B+∠BCD＝180° D．∠B＝∠5 【答案】A 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本选项正确； B、∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误； C、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项错误； D、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本选项错误． 故选：A． 3．下列命题中，属于真命题的是（　　） A．两直线被第三条直线所截，内错角相等 B．若a2＝b2，则a＝b C．对顶角相等 D．一个数能被3整除，则也一定能被6整除 【答案】C 【解答】解：根据平行线的性质、实数的乘方、对顶角相等、数的整除逐项判断如下： A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题，本选项不符合题意； B、若a2＝b2，则a＝±b，原命题是假命题，本选项不符合题意； C、对顶角相等，是真命题，本选项符合题意； D、一个数能被3整除，不一定能被6整除，例如9能被3整除，不能被6整除，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 4．下列说法正确的是（　　） A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c 【答案】A 【解答】解：先根据要求画出图形，图形如图所示： 根据所画图形可知：A正确． 故选：A． 5．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，AB∥CD，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝180° D．∠2+∠3＝180° 【答案】A 【解答】解：A、由AB∥CD， ∵∠1＝∠2， 故A符合题意； B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出∠3和∠4互补，∠3和∠4不一定相等，故此选项不符合题意； C、∠1和∠4不是同旁内角，由AB∥CD不能判定∠1+∠4＝180°，故此选项不符合题意； D、无法判断∠2和∠3关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中AB∥CD，AE∥BD．若∠CDB＝60°，∠ACD＝70°，CE平分∠ACD，则∠AEC的度数为（　　） A．140° B．120° C．100° D．95° 【答案】D 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠CAB＝180°，∠CDB+∠ABD＝180°， ∵∠CDB＝60°，∠ACD＝70°， ∴∠ABD＝120°，∠CAB＝110°， ∵AE∥BD， ∴∠BAE+∠ABD＝180°， ∴∠BAE＝60°， ∴∠EAC＝∠CAB﹣∠BAE＝110°﹣60°＝50°， ∵∠ACD＝70°，CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝35°， ∴∠AEC＝180°﹣50°﹣35°＝95°， 故选：D． 7．把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式：　如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零， 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 8．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝65°；④∠AEG+∠PMN＝∠GPM．其中正确的是　①②④　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵△EGF，△MPN是直角三角形， ∴∠EGF＝∠MPN＝90°， ∵∠GPM＝180°﹣∠MPN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠GPM＝∠EGF， ∴GE∥MP， ∴①正确； ∵∠GEF＝60°，∠EGF＝90°， ∴∠EFG＝30°， ∵∠EFG+∠EFN＝180°， ∴∠EFN＝150°； ∴②正确； 过点G作AB∥JK， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥JK， ∴∠KGN＝∠MNP＝45°，∠AEG＝∠EGK， ∵∠EGF＝90°＝∠EGK+∠KGN， ∴∠EGK＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∵∠GEF＝60°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣60°＝75°； ∴③错误； ∵∠MNP＝45°，∠MPN＝90°， ∴∠PMN＝180°﹣∠MNP﹣∠MPN＝180°﹣90°﹣45°＝45°； ∵∠AEG＝45°， ∴∠AEG+∠PMN＝45°+45°＝90°＝∠GPM； ∴④正确； 综上所述，正确的为：①②④； 故答案为：①②④． 9．科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，AB∥CD，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD． 试说明：∠EOF+∠OFC＝180°． 阅读下面的解答过程，并填空（ 理由或数学式 ）． 解：∵AB∥CD（ 　已知　 ）， ∴∠AOC＝∠　OCD　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴ 　AOC　 （角平分线的定义）． 同理， 　OCD　 ． ∴∠EOC＝∠OCF（等量代换）， ∴OE∥　CF　 （ 　内错角相等，两直线平行　 ）， ∴∠EOF+∠OFC＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AB∥CD（已知）， ∴∠AOC＝∠OCD（两直线平行，内错角相等）， ∵OE平分∠AOC（已知）， ∴∠EOC∠AOC（角平分线的定义）， 同理，∠OCF∠OCD， ∴∠EOC＝∠OCF（等量代换）， ∴OE∥CF（内错角相等，两直线平行）， ∴∠EOF+∠OFC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；OCD，两直线平行，内错角相等；AOC，OCD，CF，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 10．如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 1．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜α上，被平面镜α反射后的光线为n，则∠1＝∠2．如图2，一束光线AB先后经平面镜OM、ON反射后，反射光线CD与AB平行．若∠NCD＝62°，则∠MBA的大小为（　　） A．42° B．38° C．32° D．28° 【答案】D 【解答】解：由题意，得∠OCB＝∠NCD＝62°，∠MBA＝∠OBC， ∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠NCD＝180°﹣62°﹣62°＝56°， ∵CD∥AB， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣56°＝124°， ∠MBA28°． 故选：D． 2．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～70°，激光笔发出的光束DC射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPC＝30°，则反射光束CH与天花板所形成的角（∠PHC）不可能取到的度数为（　　） A．20° B．50° C．70° D．120° 【答案】B 【解答】解：过点C作CG⊥AB， 由题知：12°≤∠ABM≤72°，∠EPC＝30°， 当∠ABM＝60°时，PD⊥AB， ①当12°≤∠ABM＜60°时， ∠PCH＝2∠PCG＝2（90°﹣30°﹣∠ABM）＝120°﹣2∠ABM， ∴∠CHP＝180°﹣∠PCH﹣∠HPC＝30°+2∠ABM， ∴54°≤∠CHP＜150°； ②当60°＜∠ABM≤72°时， ∠PCH＝2∠ABM﹣120°， ∴∠CHP＝180°﹣150°﹣∠PCH＝150°﹣2∠ABM， ∴6°≤∠CHP＜30°， 综上所述：54°≤∠CHP＜150°或6°≤∠CHP＜30°， 故选：B． 3．如图，有一副直角三角板，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠A＝60°，∠C＝30°，∠D＝∠E＝45°，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点D在直线AB上方，且0°＜∠ABD＜180°，则能使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为 　45°，165°，135°，15°　 ． 【答案】45°，165°，135°． 【解答】解：①图1，DE∥AB， ∴∠ABD＝∠D＝45°； ②图2，DE∥AC， 延长DB交CA的延长线于F点， ∴∠F＝∠D＝45°， ∴∠ABF＝∠CAB﹣∠F＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣15°＝165°； ③图3，DE∥BC， ∴∠CBD＝∠D＝45°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°+45°＝135°； 综上所述，使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为45°，165°，135°， 故答案为：45°，165°，135°． 4．如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝　2nα　 度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠ABE＝∠1，∠CDE＝∠2， ∵∠BED＝∠1+∠2， ∴∠BED＝∠ABE+∠CDE； ∵∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1 ∴∠DE1B＝∠ABE1+∠CDE1∠ABE∠CDE∠BED． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2D＝∠ABE2+∠CDE2∠ABE1∠CDE1∠DE1B∠BED； ∵∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3D＝∠ABE3+∠CDE3∠ABE2∠CDE2∠DE2B∠BED； … 以此类推，∠En∠BED． ∴当∠En＝α度时，∠BED等于（2nα）度． 故答案为：2nα． 5．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE＝135°，两支架BC和CD的夹角∠BCD＝108°． 如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小明解决此问题的思路如下： （1）小明在解决问题时，过点C作CF∥BE，则可以得到CF∥MN，其理由是 　平行于同一条直线的两直线平行　 ； （2）如图②，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数； （3）小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行于同一条直线的两直线平行． 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行． （2）∵CF∥BE， ∴∠BCF+∠CBE＝180°， ∵∠CBE＝135°， ∴∠BCF＝45°， ∵∠BCD＝108°， ∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝63°， 又∵CF∥MN， ∴∠CDM＝∠DCF＝63°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BCD＝108°， ∴∠ABC＝72°， ∴∠ABE＝∠CBE﹣∠ABC＝63°． （3）对，理由如下： ∵CF∥BE， ∴∠BCF+∠CBE＝180°， ∴∠BCF+∠CBA+∠ABE＝180°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∴∠ABC+∠BCF+∠FCD＝180°， ∴∠ABE＝∠FCD， ∵CF∥MN， ∴∠CDM＝∠DCF， ∴∠CDM＝∠ABE． 1．如图1，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为5：4．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为α，β，在水中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　） A． B． C．γ D．α+β＝180°﹣γ 【答案】C 【解答】解：如图所示，过B，D，F分别作水平线的垂线，则PC∥DE∥QG， ∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝∠DBC+∠DFG， 由题可得，∠DBC∠ABP（90°﹣α），∠DFG∠HFQ（90°﹣β）， ∴∠BDF（90°﹣α）（90°﹣β）（180°﹣α﹣β）， 即γ＝144°（α+β）， 即（α+β）＝144°﹣γ， 故选：C． 2．【发现问题】 如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P． 【提出问题】 小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？ 【分析问题】 已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究． 【解决问题】 探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由． 探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 　∠AMP＝∠P+∠CNP　 ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 　145　 °（不需要写解答过程） 利用探究一得到的结论解决下列问题： 如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下： 如图①， ∵AB∥MN∥CD， ∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP， ∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP， ∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP． 探究二：如图②， ∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠MKP＝∠CNP， ∵∠AMP＝∠P+∠MKP， ∴∠AMP＝∠P+∠CNP． 如图③，延长EA交BC于L， ∵AE∥CD， ∴∠ALC＝∠C＝60°， ∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°， ∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°． 故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145． ∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP， ∴∠PME∠PMB，∠CNF＝∠PNF， 如图④， 由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF， ∵∠P＝2∠F， ∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF， ∵∠CNF＝∠PNF， ∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF， ∴∠PMF＝∠AMF∠AMP， ∴∠PMF+∠PME（∠AMP+∠PMB）， ∴∠FME∠AMB180°＝90°． / 学科网（北京）股份有限公司 $$