暑假作业01 相交线-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 相交线 1、 相交线 1. 对顶角的概念：有公共顶点，两边均互为反向延长线的两个角。互为对顶角。 2. 对顶角的性质：互为对顶角的两个角相等。简称对顶角相等。 3. 邻补角的概念：有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 4. 邻补角的性质：互为邻补角的两个角 互补 。简称邻补角互补。 二、垂直 1. 垂直的定义：在两条相交的直线形成的四个角中，如果其中有一个角是90°（即直角）时，则此时这两条相交的直线相互垂直。如图：表示为 AB⊥CD 。 2. 垂直的性质： （1） 若AB⊥CD，则 ∠1＝90°；若∠1＝90°，则 AB⊥CD 。 （2） 过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3. 垂线段的定义：从直线外一点引已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。 4. 垂线段的性质： （1） 垂线段最短。 （2） 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离。 三、同位角、内错角及同旁内角 1. 同位角：两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。用字母“F”来判断。 如∠1与∠5； ∠2与∠6；∠3与∠7；∠4与∠8 。 2. 内错角：两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。用字母“Z”来判断。 如：∠3与∠5； ∠2与∠8 。 3. 两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。用字母“U”来判断。 如：∠2与∠5； ∠3与∠8 。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．如图，∠1与∠2是对顶角的为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 3．关于如图中各角的说法不正确的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角 4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加30°时，∠COD（　　） A．增加60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 5．如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．34° 6．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 7．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OF垂直于OD且平分∠AOE，若∠BOD＝30°，则∠DOE的度数是 　 　 ． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，∠1：∠2＝2：1，则∠COF的度数为 　 　 ． 9．如图所示，BF与DE相交于点A，BG与BF相交于点B，与AC相交于点C． （1）指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角； （2）指出DE，BG被AC所截形成的内错角、同旁内角； （3）指出FB，BG被AC所截形成的内错角、同旁内角． 10．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE． （1）若∠BOE＝84°，求∠AOC的度数； （2）若∠BOE：∠AOE＝4：5，求∠AOC的度数． 1．如图，直线AB，CD交于点O，已知EO⊥AB于点O，OF平分∠BOC，若∠DOE＝3∠EOF+5°，则∠AOD的度数是（　　） A．71° B．72° C．73° D．74° 2．如图，C为直线AB上一点，CD⊥CE，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．有下列结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠FCG与∠HCG互补；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACD﹣∠BCE＝90°，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝16，AB＝20，点D是AB边上的动点，则线段CD的最小值是 　 ． 4．如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 　 　 个交点； （2）n条直线相交最多有 　 　 个交点（n≥2，且n为正整数）． 5．如图所示，将两个三角尺的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的相等的角； （2）若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数； （3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系： （4）当三角尺ACD不动时，将三角尺ECB的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度时，这两个三角尺各有一条边互相垂直、直接写出∠ACE角度的所有可能值，不用说明理由． 1．如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 2．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 相交线 1、 相交线 1. 对顶角的概念：有公共顶点，两边均互为反向延长线的两个角。互为对顶角。 2. 对顶角的性质：互为对顶角的两个角相等。简称对顶角相等。 3. 邻补角的概念：有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 4. 邻补角的性质：互为邻补角的两个角 互补 。简称邻补角互补。 二、垂直 1. 垂直的定义：在两条相交的直线形成的四个角中，如果其中有一个角是90°（即直角）时，则此时这两条相交的直线相互垂直。如图：表示为 AB⊥CD 。 2. 垂直的性质： （1） 若AB⊥CD，则 ∠1＝90°；若∠1＝90°，则 AB⊥CD 。 （2） 过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 3. 垂线段的定义：从直线外一点引已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。 4. 垂线段的性质： （1） 垂线段最短。 （2） 点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离。 三、同位角、内错角及同旁内角 1. 同位角：两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角。用字母“F”来判断。 如∠1与∠5； ∠2与∠6；∠3与∠7；∠4与∠8 。 2. 内错角：两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角。用字母“Z”来判断。 如：∠3与∠5； ∠2与∠8 。 3. 两条直线m与n被第三条直线l所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。用字母“U”来判断。 如：∠2与∠5； ∠3与∠8 。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．如图，∠1与∠2是对顶角的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选：C． 2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 3．关于如图中各角的说法不正确的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠1与∠4是内错角 C．∠3与∠5是对顶角 D．∠2与∠3是邻补角 【答案】B 【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∠1与∠4不是内错角，原说法错误，故此选项符合题意； C、∠3与∠5是对顶角，原说法正确，故此选项不符合题意； D、∠2与∠3是邻补角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加30°时，∠COD（　　） A．增加60° B．不变 C．减少30° D．增加30° 【答案】D 【解答】解：由对顶角的性质得到：∠COD＝∠AOB， ∴∠AOB增加30°时，那么∠COD增加30°， 故选：D． 5．如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．34° 【答案】D 【解答】解：∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∵∠AOF+∠EOF+∠EOB＝180°， 又∠AOF＝28°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣28°﹣90°＝62°， ∵OB平分∠DOE， ∴∠DOE＝2∠EOB＝2×62°＝124°， ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣124°＝56°， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣56°＝34°． 故选：D． 6．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【解答】解：如图所示： ∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l， ∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm， 故选：A． 7．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OF垂直于OD且平分∠AOE，若∠BOD＝30°，则∠DOE的度数是 　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：∵OF⊥OD， ∴∠COF＝∠DOF＝90°， ∵∠AOC＝∠BOD＝30°， ∴∠AOF＝90°﹣30°＝60°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠EOF＝∠AOF＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， 故答案为：30°． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，∠1：∠2＝2：1，则∠COF的度数为 　75°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为OE⊥AB， 所以∠1+∠2＝∠BOE＝90°， 因为∠1：∠2＝2：1， 所以∠2∠BOE90°＝30°， 所以∠BOC＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°． 因为OF平分∠BOC， 所以． 故答案为：75°． 9．如图所示，BF与DE相交于点A，BG与BF相交于点B，与AC相交于点C． （1）指出DE，BC被BF所截形成的同位角、内错角； （2）指出DE，BG被AC所截形成的内错角、同旁内角； （3）指出FB，BG被AC所截形成的内错角、同旁内角． 【答案】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB； （2）内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA； （3）内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG． 【解答】解：根据三线八角的相关概念，逐项分析判断可知： （1）DE，BC被BF所截形成的同位角：∠FAE和∠B；内错角：∠B和∠DAB； （2）DE，BC被AC所截形成的内错角：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG；同旁内角：∠EAC和∠ACG，∠DAC和∠BCA； （3）DE，BG被AC所截形成的内错角：∠BAC和∠ACG，∠FAC和∠BCA；同旁内角：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG． 10．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE． （1）若∠BOE＝84°，求∠AOC的度数； （2）若∠BOE：∠AOE＝4：5，求∠AOC的度数． 【答案】（1）∠AOC＝42°； （2）∠AOC＝40°． 【解答】解：（1）由提交可知． 又∵∠BOE＝84°， ∴． 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝42°． （2）由提交可知． ∵OD平分∠BOE， ∴， ∴， 又∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝40°． 1．如图，直线AB，CD交于点O，已知EO⊥AB于点O，OF平分∠BOC，若∠DOE＝3∠EOF+5°，则∠AOD的度数是（　　） A．71° B．72° C．73° D．74° 【答案】D 【解答】解：设∠BOF＝x， ∵OF平分∠BOC， ∴∠AOD＝∠BOC＝2x， ∵EO⊥AB， ∴∠EOA＝∠EOB＝90°， ∴∠EOF＝90°﹣x，∠DOE＝2x+90°， ∵∠DOE＝3∠EOF+5°， ∴2x+90°＝3（90°﹣x）+5°， 解得x＝37°， ∴∠AOD＝2x＝74°． 故选：D． 2．如图，C为直线AB上一点，CD⊥CE，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．有下列结论：①∠ACF与∠BCH互余；②∠FCG与∠HCG互补；③∠ECF与∠GCH互补；④∠ACD﹣∠BCE＝90°，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD， ∴∠ACF＝∠FCD∠ACD，∠DCH＝∠HCB∠DCB， ∴∠ACF+∠BCH∠ACD∠BCD（∠ACD+∠BCD）＝90°， ∴∠ACF与∠BCH互余； 故①正确； ②∵CD⊥CE， ∴∠DCE＝90°， ∵CH平分∠BCD，CG平分∠BCE， ∴∠BCH∠BCD，∠BCG∠BCE， ∴∠GCH＝∠BCH+∠BCG∠DCE＝45°， 由①知：∠FCH＝90°， ∴∠FCG+∠HCG＝90°+45°+45°＝180°， ∴∠FCG与∠HCG互补； 故②正确； ③∵∠ECF＞∠FCG， ∴∠ECF与∠GCH不互补， 故③不正确； ④∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°， 故④正确． 本题正确的结论有3个，是①②④． 故选：C． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝16，AB＝20，点D是AB边上的动点，则线段CD的最小值是 　9.6　 ． 【答案】9.6． 【解答】解：由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的长度最小，如图． ∵∠ACB＝90°， ∴， ∴， ∴CD＝9.6． 4．如图，两条直线相交只有1交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，则 （1）五条直线相交最多有 　10　 个交点； （2）n条直线相交最多有 　　 个交点（n≥2，且n为正整数）． 【答案】（1）10；（2）． 【解答】解：三条直线交点最多为1+2＝3个， 四条直线交点最多为3+3＝6个， 五条直线交点最多为6+4＝10个， 六条直线交点最多为10+5＝15个； …… n条直线交点最多为． 故答案为：10；． 5．如图所示，将两个三角尺的直角顶点重合． （1）写出以C为顶点的相等的角； （2）若∠ACB＝150°，求∠DCE的度数； （3）写出∠ACB与∠DCE之间所具有的数量关系： （4）当三角尺ACD不动时，将三角尺ECB的EC边与AC边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度时，这两个三角尺各有一条边互相垂直、直接写出∠ACE角度的所有可能值，不用说明理由． 【答案】（1）∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB； （2）30°； （3）∠ACB与∠DCE互补； （4）30°、45°、60°、75°． 【解答】解：（1）根据同角的余角相等可得： ∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB； （2）∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°， ∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°， ∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°； （3）∵∠ACB+∠DCE＝∠BCE+∠ACE+∠DCE＝90°+90°＝180°， ∴∠ACB与∠DCE互补； （4）CE⊥AD时，∠ACE＝30°， EB⊥CD时，∠ACE＝45°， BE⊥AD时，∠ACE＝75°， CB⊥AD时，∠ACE＝60°， 即∠ACE角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°． 1．如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．85° 【答案】B 【解答】解：∵BM⊥CD， ∴∠CBM＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∵∠ABE＝∠FBM， ∴∠ABE＝∠FBM＝20°， ∴∠EBC＝20°+50°＝70°． 故选：B． 2．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB的上方，且OC⊥OD，钝角∠AOD的“割补线”记为OE． （1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数； （2）若OE恰好平分∠AOC，求∠BOD的度数； （3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，求出∠EOF与∠DOG的数量关系． 【答案】（1）50°或10°； （2）30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． 【解答】解：（1）①如图，当OE在∠COD内部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝90°﹣40°＝50°； ②如图，当OE在∠COD外部时， ∵射线OE是∠AOD的“割补线”， ∴∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD＝40°， ∵OC⊥OD， ∴∠COD＝90°， ∴∠COE＝180﹣90°﹣40°40＝10°； 综上，∠COE的度数为50°或10°； （2）若OE恰好平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD， ∴∠BOD＝×（180°﹣90°）＝30°； （3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下： ①如图，∠AOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOE＝∠BOD， ∵OF是∠AOE的平分线， ∴∠EOF∠AOE∠BOD， ∴OG是∠BOC的平分线， ∴∠BOG∠BOC（90°+∠BOD）＝45°∠BOD， ∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°∠BOD， ∴∠EOF+∠DOG＝45°； ②如图，∠DOE+∠AOD＝180°， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠DOE＝∠BOD， ∴∠DOG∠BOC﹣∠BOD （90°+∠BOD）﹣∠BOD ＝45°∠BOD， ∠EOF＝∠AOE（180°﹣2∠BOD）＝90°﹣∠BOD， ∴∠EOF＝2∠DOG， 综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°． / 学科网（北京）股份有限公司 $$