第02讲 实数（知识梳理+3课本习题典例+8题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第02讲 实数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 实数的概念 1.无限不循环小数叫做无理数. 如√2，0.101 001. 000 1…，任何有理数都可以化成有限小数或无限循环小数.【链接1.2.1无限循环小数化为分数】 2.有理数和无理数统称实数. 3.无理数也有正负之分. 4.用根号形式表示的数未必是无理数，要从定义去辨别，不能从形式上分辨. 5.常见的无理数： （1）与π有关的数 （2）开方开不尽的数 （3）特殊结构的数，如：0.101 001. 000 1… 6.所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式. 知识点2 实数与数轴、实数的有关概念 1.实数与数轴上的点一一对应.（每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数） 2.实数a的相反数为-a，绝对值为 3.有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，如：数轴上的任意两点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 4.两个正实数，绝对值较大的值也较大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 5.√2和1.4；2和3√3比较大小的方法：可以将1.4转化为√1.96，再进行比较；也可以对它们同时进行平方，再进行比较. 知识点3 实数的运算 1.任意两个实数，经过加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算的结果仍然是实数，有理数的运算法则、运算律、运算顺序、运算性质在实数范围内仍然成立. 2.实数之间可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 课本典例1（习题10.2第1题） 判断下列说法是否正确： (1) 无理数的平方一定是正数； (2) 两个无理数的积仍为无理数； (3) 分数一定可化为有限小数或无限循环小数。 【答案】(1) 正确；(2) 错误 ；(3) 正确 【详解】(1) 无理数是无限不循环小数，不为0 ，设无理数为a，(a不等于0)，根据平方的性质，>0，所以无理数的平方一定是正数，该说法正确。 (2) 例如×=2，是无理数，但它们的积2是有理数，所以 “两个无理数的积仍为无理数” 说法错误。 (3) 分数是有理数，有理数包括整数和分数，分数可以通过分子除以分母化为有限小数（如=0.5）或无限循环小数（如），所以该说法正确。 【点睛】对于每个命题，要依据无理数、分数的定义和性质，通过举例或推理来判断。 课本典例2（习题10.2第4题） 比较下列各对数的大小： 【答案】 【详解】(1)对和分别进行6次方运算（6是2和3的最小公倍数）。 = 8，= 9 。因为8 < ，所以<。 。 (2) 根据正数大于负数的原则，是负数，是正数，所以< 【点睛】明确是比较数的大小，对于不同类型根式比较，要想到利用乘方的方法，使它们指数相同再比较；对于一正一负的根式比较，直接利用正数大于负数的性质。 课本典例3（复习题第4题） 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用 “<” 号连接起来：。 【答案】. 【详解】先判断正负：负数小于0，0小于正数。，-1.6是负数 ，所以 再比较正数大小：对和分别平方，= =8，= 5 ，因为5 < 8，且当a>0,b>0时，若，则a < b，所以<。 综上，从小到大顺序为。 【点睛】观察数的类型，有根式、含的数、小数等，对于根式可通过平方等方法比较大小，同时注意数的正负性。 题型一 实数的分类 1．（24-25七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，． 整数集合：{        …} 负有理数集合：{          …} 无理数集合：{          …} 【答案】；；． 【分析】本题考查实数的分类，解题的关键在于明确整数（含正整数、负整数、零）、负有理数（负整数和负分数）、无理数（无限不循环小数）的定义，并逐一判断每个数的属性．本题根据整数、负有理数、无理数的定义，对给出的实数逐一分类即可． 【详解】解： 整数集合：；   负有理数集合：；   无理数集合：． 2．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． （1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可； （2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可； （3）根据有理数包括整数和分数解答即可； （4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可． 【详解】（1）正实数：{，…}． 故答案为：； （2）负实数：{，…}， 故答案为：； （3）有理数：{，…} 故答案为：； （4）无理数：{，…}， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤． (1)整数集合{      …}； (2)分数集合{      …}； (3)无理数集合{      …}； 【答案】(1)②④ (2)⑤ (3)①③ 【分析】本题主要考查了实数的分类． 熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． （1）根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）根据无理数的定义求解即可． 【详解】（1）解：整数有：，， 故答案为：②④． （2）解：分数有：， 故答案为：⑤． （3）解：无理数有：，， 故答案为：①③． 题型二 实数与数轴综合 4．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）若，则实数a在数轴上的对应点一定在（    ） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，分和两种情况，根据求出a的值即可得到答案． 【详解】解；当时， ∵， ∴，则，不符合题意； 当， ∵， ∴， ∴，符合题意， ∴实数a在数轴上的对应点一定在原点左侧， 故选：A． 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数和数轴，两点之间线段的长度就是用右边点表示的数减去左边点表示的数．先求得的长度，根据点、点到点的距离相等，即可得出的长，再用的长度加上即可得出点C所对应的实数． 【详解】解：∵A、B两点对应的实数是和， ∴， ∵点、点到点的距离相等，， ∴， ∴点C所对应的实数是， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合 点所表示的数及间距离可得点所表示的数，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数是，且点在点的右侧， 点表示的数为． 故选：C． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根的意义，由算术平方根的意义可得小正方形的边长为，再根据题意并结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵边长为2的正方形的面积为4， ∴小正方形的面积为2， ∴小正方形的边长为， ∵在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点， ∴点所表示的数是， 故选：A． 题型三 实数的大小比较 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”，“两个正数比较大小，绝对值大的数大”，“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，掌握以上知识点是解题的关键．根据以上知识点，分别判断各选项即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，，，，故本选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，熟练掌握比较实数的大小的方法是解答的关键． 利用作差法得，然后判断11与的大小即可做出判断． 【详解】解：， ， ，即， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·北京·期中）比较实数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”） ； 【答案】 【分析】本题主要考查了比较实数的大小， 先比较两个数的绝对值即可得出结论，再将两个数平方，可得答案. 【详解】解：因为， 所以； 因为，， 所以. 故答案为：. 11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在实数0，，，3中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的大小比较，解题的关键在于先求出无理数的范围．先估算的范围，再将四个实数比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 最大的实数是3， 故选：D． 题型四 实数的混合运算 12．（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及求一个数的立方根和算术平方根，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 分别求立方根和算术平方根，再进行加减计算． 【详解】解： ． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，立方根运算，乘方运算，算术平方根的运算，掌握相关法则是解题的关键．分别进行立方根，乘方，算术平方根运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：， 14．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、乘方、立方根、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据算术平方根、乘方、立方根化简，然后再计算即可； （2）先根据乘方、绝对值化简，然后再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算． （1）利用算术平方根、立方根的法则计算即可； （2）利用算术平方根、绝对值的法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） 题型五 实数运算与规律探究问题 16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 17．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，据此规律求解即可； 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 18．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查与实数相关的规律型问题，算术平方根，关键是由给出的等式，发现规律． （1）由前几个等式的规律，即可得到答案； （2）由给出的等式，发现规律，即可得到答案 （3）根据规律化简，再计算即可． 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 19．（17-18八年级下·重庆江津·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了实数运算相关的规律探究，解题的关键是读懂题意，找出各式之间的关． （1）利用题中等式的计算规律得出结果； （2）第n个等式的左边为，等式右边为，结果为； （3）将原式变形为，按照（2）得出的等式关系，即可求出结果． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 题型六 实数运算与新定义问题 20．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）各数位都不为的四位正整数，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为 ．已知为“间和数”，其中，均为整数，，，，若 能被整除且（为正整数），则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，利用“间和数”的定义求出，代入公式求即可；由，均为整数，，，，可得，由为“间和数”，得，即得，进而得，根据能被整除可得的值，表示出，根据所给等式判断出的值，即可求得的值，理解新定义的意义并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴； ∵， ∴的千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， ∵为“间和数”， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴， ∴为整数， ∵，，均为整数， ∴为， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴， 整理得，， ∵，为整数，为正整数， ∴， ∴， 故答案为：，． 21．（24-25八年级上·重庆万州·期末）在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1)5 (2)或． 【分析】本考查主要考查了新定义运算、立方根和平方根的性质等知识点，理解新定义运算是解题的关键． （1）直接根据新定义运算法则计算，然后根据立方根的定义即可； （2）根据题意得到，然后整理后利用平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴的立方根是5； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴或． 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，新定义，根据新定义可得方程组，解方程组求出a、b的值，再根据新定义代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）我们规定：若一个三位数S的各个数位上的数字互不相等，且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的两倍，则称S为“中倍数”．例如：数258，∵，∴258是“中倍数”；数358，∵，∴358不是“中倍数”，按照这个规定：最大的“中倍数”是 ．若H是“中倍数”，将H的百位数字和个位数字对调位置后组成一个新三位数，是一个整数，则满足条件的H的最小值为 ． 【答案】 987 531 【分析】题目主要考查新定义的运算，二次根式的化简，理解新定义是解题关键． （1）结合新定义“中倍数”，当百位数为9时最大，进一步求解即可； （2）依题意，设H为：，则为：，分别表示出来后，进一步分析求解即可． 【详解】解：结合新定义“中倍数”，当百位数为9时最大， ∴百位数字为9，十位数字为8，个位数字为7， ∴最大的“中倍数”是：987， 故答案为：987； 依题意，设H为：， 则， 可得：为：， 则， ∴， ∵，且是整数， ∴或， ∴a，b的值可以为：；；或， 其中的和是奇数的要舍去， ∴H的值分别为：， 则满足条件的H的最小值为：， 故答案为：． 题型七 程序设计与实数运算 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 【答案】 或或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． （1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可． （2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为； （2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 25．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，输入，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是程序框图与实数的运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．按照程序运算的规则输入，逐步运算即可． 【详解】解：输入，可得， ∴， 再输入得：， ∴此时输出， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先求出，然后计算的算术平方根，再用2减去的算术平方根，求出输出的数值即可． 【详解】解∶根据题意，得， 故答案为：． 27．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，先求出64的立方根，如果结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新的数输入，如此循环求解即可． 【详解】解：当输入x的值是64时，是有理数， 当输入x的值是4时，是无理数，则输出y的值为， 故答案为：． 题型八 实数运算的实际应用 28．（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 29．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 30．（21-22七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴影部分面积=最大的大长方形面积-正方形A的面积-正方形B的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面积分别为3和9， ∴正方形A和正方形B的边长各是； （2）解：由题意得：． 【点睛】本题主要考查算术平方根的应用，实数的混合计算的应用，正确求出正方形A和正方形B的边长是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字，，，，（相邻两个之间的个数逐次多），，中，无理数的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的有些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有限小数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是整数，属于有理数，不符合题意； （相邻两个之间的个数逐次多）是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 综上可知：共有无理数个， 故选：． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】本题考查流程图与实数的计算，根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当时： 输入8：， 输入2：，输出； 故； 故选B． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根不可能是负数 B．带根号的数是无理数 C．无限小数是无理数 D．实数和数轴上的点一一对应 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系及平方根、无理数的定义，需注意有理数和无理数都可以在数轴上表示，数轴上的点和实数具有一一对应关系，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、正数的平方根有正数和负数两个，故选项A错误； B、带根号不一定是无理数，如，故选项B误； C、无限不循环小数是无理数，故选项C误； D、实数和数轴上的数一一对应，故选项D确； 故选：D 4．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中： （1）负数没有立方根； （2）不带根号的数一定是有理数； （3）无理数包括正无理数，0，负无理数； （4） 实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了数轴、有理数立方根、无理数等定义，根据实数与数轴的一一对应关系，有理数、立方根、无理数的定义逐一判断即可，解题的关键是熟记有理数、立方根、无理数的定义以及实数与数轴的一一对应关系． 【详解】解：（1）负数有立方根，原说法错误，不符合题意； （2）不带根号的数不一定是有理数，如是无理数，原说法错误，不符合题意； （3）无理数包括正无理数，负无理数，原说法错误，不符合题意； （4）实数与数轴上的点是一一对应的，正确，符合题意， 故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了程序计算，算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根，无理数的计算与判定是解题的关键．根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可． 【详解】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出， 故选：A． 6．（24-25八年级上·河南新乡·期末）若是无理数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的识别，由是无理数，可得开不尽方且有意义，从而可得的值． 【详解】解：∵是无理数， A．当时，，是有理数，不符合题意； B．当时，，是无理数，符合题意； C．当时，，是有理数，不符合题意； D．当时，，无意义，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数即不等式性质，根据范围，确定代数式的范围，进而得出答案． 【详解】解：， ，即， 满足条件的点可能是Q， 故选：D． 8．（24-25八年级上·河南开封·期末）在实数中，最小的数是（　　） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查实数的大小比较，根据实数的大小比较可直接进行求解． 【详解】解：∵； ∴最小的数是； 故选C． 9．（21-22八年级上·河南洛阳·期中）满足的整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是确定和的范围． 利用以及的取值范围得出的整数个数． 【详解】解：∵，， ∴的整数有：共4个． 故选∶C． 10．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，先求出硬币的周长，进而根据点对应的数即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵硬币的直径为个单位长度， ∴硬币的周长为个单位长度， ∵ 与数所对应的点重合， ∴点对应的实数是，即， 故选：． 二、填空题 11．（24-25八年级上·北京顺义·期中）比较大小： （选填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小的比较，因为是两个无理数比较大小，所以应把根号外的数整理到根号内再进行比较． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握正方形的面积公式． 先根据已知条件，利用正方形面积公式，求出正方形边长，从而得到即可． 【详解】解：正方形的面积为3， ， 数轴上点A对应的数是， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏盐城·期末） 0.14（填、或）． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，根据的近似值即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·四川眉山·期末）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 【答案】(1)，0，2，， (2)，，（两个2之间依次多一个1） (3)，0，2， (4) 【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数． 根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，， 故答案为：，0，2，，． （2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1）， 故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）． （3）解：是整数的有，0，2，， 故答案为：，0，2，． （4）解：是分数的有， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·河南焦作·期末）请写出一个大于零小于2的无理数 （写出一个即可）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是无理数的定义、无理数的估算，即无限不循环小数是无理数。根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】∵， ∴， 写出一个大于零小于2的无理数是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题 16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）（1）计算：； （2）求中x的值． 【答案】（1）3；（2）4或 【分析】本题考查的是利用平方根的意义解方程，实数的混合运算； （1）先计算算术平方根，乘方运算，立方根，再合并即可； （2）利用平方根的意义可得或，再进一步解答即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴或， 解得：或． 18．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）在，，，，0.2020020002…，，，，0． (1)有理数有______________________； (2)无理数有______________________； (3)分数有 ； (4)整数有 ． 【答案】(1)，，，，，0 (2)，，0.2020020002… (3)，，， (4)，0 【分析】本题主要考查了无理数的识别，立方根的化简，无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．先区分有理数和无理数，再根据有理数的分类标准进行分类即可． 【详解】（1）解：， 有理数有，，，，，0； 故答案为：，，，，，0； （2）解：无理数有，，0.2020020002…， 故答案为：，，0.2020020002…； （3）解：分数有，，，， 故答案为：，，，； （4）解：整数有，0； 故答案为：，0； 19．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算．首先根据乘方的定义和立方根、平方根的定义把各部分分别计算出来，然后再运算加减即可． 【详解】解： ． 20．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先计算平方，去绝对值，化简二次根式对原式进行化简，最后再计算即可． 【详解】解： ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 实数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 实数的概念 1.无限不循环小数叫做无理数. 如√2，0.101 001. 000 1…，任何有理数都可以化成有限小数或无限循环小数.【链接1.2.1无限循环小数化为分数】 2.有理数和无理数统称实数. 3.无理数也有正负之分. 4.用根号形式表示的数未必是无理数，要从定义去辨别，不能从形式上分辨. 5.常见的无理数： （1）与π有关的数 （2）开方开不尽的数 （3）特殊结构的数，如：0.101 001. 000 1… 6.所有的有理数都可以写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数），而无理数不能写成分数的形式. 知识点2 实数与数轴、实数的有关概念 1.实数与数轴上的点一一对应.（每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数） 2.实数a的相反数为-a，绝对值为 3.有理数的大小比较法则在实数范围内仍成立，如：数轴上的任意两点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. 4.两个正实数，绝对值较大的值也较大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 5.√2和1.4；2和3√3比较大小的方法：可以将1.4转化为√1.96，再进行比较；也可以对它们同时进行平方，再进行比较. 知识点3 实数的运算 1.任意两个实数，经过加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算的结果仍然是实数，有理数的运算法则、运算律、运算顺序、运算性质在实数范围内仍然成立. 2.实数之间可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. 在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 课本典例1（习题10.2第1题） 判断下列说法是否正确： (1) 无理数的平方一定是正数； (2) 两个无理数的积仍为无理数； (3) 分数一定可化为有限小数或无限循环小数。 课本典例2（习题10.2第4题） 比较下列各对数的大小： 课本典例3（复习题第4题） 将下列各数按从小到大的顺序排列，并用 “<” 号连接起来：。 题型一 实数的分类 1．（24-25七年级下·北京大兴·期中）把下列各实数填在相应的集合内：，，，，，，，，． 整数集合：{        …} 负有理数集合：{          …} 无理数集合：{          …} 2．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤． (1)整数集合{      …}； (2)分数集合{      …}； (3)无理数集合{      …}； 题型二 实数与数轴综合 4．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）若，则实数a在数轴上的对应点一定在（    ） A．原点左侧 B．原点或原点左侧 C．原点右侧 D．原点或原点右侧 5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，在数轴上，两点对应的实数分别是和，点、点到点的距离相等，则点对应的实数是 ． 6．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心，的长为半径画圆，和数轴交于点（点在点的右侧），则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小正方形．在数轴上以对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点右侧点，点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 题型三 实数的大小比较 8．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列实数中，比小的数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 10．（24-25八年级上·北京·期中）比较实数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”） ； 11．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在实数0，，，3中，最大的数是（   ） A．0 B． C． D．3 题型四 实数的混合运算 12．（22-23八年级上·福建厦门·开学考试）计算：． 13．（24-25八年级上·福建漳州·期中）计算：． 14．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）计算： (1) (2) 15．（24-25八年级下·江苏镇江·开学考试）计算： (1)； (2)． 题型五 实数运算与规律探究问题 16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）设，则的值为 ． 17．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 18．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 19．（17-18八年级下·重庆江津·期中）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 题型六 实数运算与新定义问题 20．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）各数位都不为的四位正整数，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为 ．已知为“间和数”，其中，均为整数，，，，若 能被整除且（为正整数），则的值为 ． 21．（24-25八年级上·重庆万州·期末）在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 22．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）对于任意实数x、y，定义新运算：，其中a、b为常数，等号右边为通常的加法、减法和乘法运算，例如．若，，求的值． 23．（24-25八年级上·重庆南岸·期中）我们规定：若一个三位数S的各个数位上的数字互不相等，且满足百位数字与个位数字之和等于十位数字的两倍，则称S为“中倍数”．例如：数258，∵，∴258是“中倍数”；数358，∵，∴358不是“中倍数”，按照这个规定：最大的“中倍数”是 ．若H是“中倍数”，将H的百位数字和个位数字对调位置后组成一个新三位数，是一个整数，则满足条件的H的最小值为 ． 题型七 程序设计与实数运算 24．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ． 25．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）如图，输入，则输出的值为 ． 26．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，输出y的数值为 ． 27．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是 ． 题型八 实数运算的实际应用 28．（20-21七年级下·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    29．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 30．（21-22七年级下·江西上饶·期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字，，，，（相邻两个之间的个数逐次多），，中，无理数的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（   ） A． B． C．2 D．8 3．（24-25八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（    ） A．正数的平方根不可能是负数 B．带根号的数是无理数 C．无限小数是无理数 D．实数和数轴上的点一一对应 4．（23-24八年级上·内蒙古包头·阶段练习）下列说法中： （1）负数没有立方根； （2）不带根号的数一定是有理数； （3）无理数包括正无理数，0，负无理数； （4） 实数与数轴上的点是一一对应的，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（    ） A． B． C．2 D．4 6．（24-25八年级上·河南新乡·期末）若是无理数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（      ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 8．（24-25八年级上·河南开封·期末）在实数中，最小的数是（　　） A．2 B．0 C． D． 9．（21-22八年级上·河南洛阳·期中）满足的整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·北京顺义·期中）比较大小： （选填“”，“”，“”）． 12．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，正方形的面积为3，，则数轴上点A对应的数是 ． 13．（24-25八年级上·江苏盐城·期末） 0.14（填、或）． 14．（24-25八年级上·四川眉山·期末）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中． (1)是有理数的有____________； (2)是无理数的有____________； (3)是整数的有____________； (4)是分数的有____________． 15．（24-25八年级上·河南焦作·期末）请写出一个大于零小于2的无理数 （写出一个即可）； 三、解答题 16．（24-25八年级上·福建泉州·期末）计算：． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）（1）计算：； （2）求中x的值． 18．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）在，，，，0.2020020002…，，，，0． (1)有理数有______________________； (2)无理数有______________________； (3)分数有 ； (4)整数有 ． 19．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）计算：． 20．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$