第01讲 平方根与立方根（知识梳理+3课本习题典例+10题型+过关检测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版2024）

第01讲 平方根与立方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 平方根 (1)定义： 一般地，如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二 次方根，记为"", 读作"正负根号a". 如下： b²=a→=b 其中把a 称之为被开方数. (2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根还是0. 知识点2 算术平方根 (1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根.一个数 a(a≥0)的算术平方根记作,读作 "根号a".0的算术平方根为0. (2)算术平方根的双重非负性：被开方数a是一个非负数，其结果“”也是一个非负数. 知识点3 平方根与算术平方根的联系与区别 1)联系： (1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a 的平方根中的非负部分； (2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根； (3)0的平方根和算术平方根都是0. 2)区别： (1)个数上；正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负.而算术平方根只有一 个，取它的正平方根 (2)表示方法：表示平方根，前面的“”表示其值有正负；表示算术平方根.特别 注意的是：≠ 知识点4 立方根 (1)定义： 一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫作a的立方根，也叫作a 的三次方根，记为“”,读作"三次根号a".即可以表示如下 b³=a→=b 其中，a是被开方数，3是根指数. (2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0的立方根是0. 推广：一个数的奇次方根有且只有一个. (3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根. 知识点5 几个关于平方根、立方根的记忆点 (1)一个数的平方根是本身，这个数是0; (2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1 (3)一个数的立方根是本身，这个数是-1,0,1. (4)几个常见平方根的近似值：=1.414, =1.732, =2.236. 课本典例1（习题10.1第5题） (1) 哪两个相邻的整数之间? (2) 3.1<<3.2 正确吗? (3) 下列四个结论中，正确的是（ ） A.3.15<<3.16 B.3.16<<3.17 C.3.17<<3.18 D.3.18<<3.19 课本典例2（习题10.1第6题） 已知x的一个平方根是-8，求x的立方根. 课本典例3（习题10.1第7题） 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得溢出的水的体积为40.5cm。然后，小华将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm。求烧杯内部的底面半径和正方体铁块的棱长.(用计算器计算，结果精确到0.1cm) 题型一 求一个数的平方根 1．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）的平方根是 ． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 题型二 利用算数平方根的非负性解题 4．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知，那么的值为 ． 题型三 平方根的性质与数轴综合 7．（22-23七年级下·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ． 8．（21-22七年级下·湖南长沙·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 9．（20-21八年级上·四川·阶段练习）解答： （1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根． （2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 题型四 估算算数平方根的取值范围 10．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 12．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 13．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 题型五 求算数平方根的整数部分和小数部分 14．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 16．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 题型六 立方根的概念理解 17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 18．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）要使有意义，则a的取值范围（   ） A． B． C． D．a是一切实数 19．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则的值为 ． 题型七 求一个数的立方根 20．（23-24九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 21．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的立方根是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型八 已知一个数的立方根求这个数 23．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知a的立方根为，则a的值为 ． 24．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个数的立方根是3，那么这个数是 ． 25．（24-25八年级上·河南南阳·期中）写出立方根是的数为： ． 题型九 根据立方根的定义解方程 26．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程 (1) (2) 27．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 28．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型十 平方根与立方根的综合应用 29．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 30．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 31．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）已知，，且，则的计算结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）的立方根与81的平方根的差是（    ） A．7 B． C．7或11 D．7或 7．（24-25八年级上·河北承德·期中）下列说法正确的是（   ） A．6的平方根是3 B．8的立方根是 C． D．没有平方根 8．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）（  ） A．81 B．3 C． D． 10．（24-25八年级上·广东茂名·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ． 12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）的平方根是 ． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 14．（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 三、解答题 16．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知的平方根是，．求的算术平方根． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）计算：． 18．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如果为的算术平方根，为的立方根，求： (1)的值； (2)的平方根． 19．（15-16七年级下·云南昆明·期中）若一个正数的两个平方根是和，求a和这个正数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平方根与立方根 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 平方根 (1)定义： 一般地，如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二 次方根，记为"", 读作"正负根号a". 如下： b²=a→=b 其中把a 称之为被开方数. (2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根还是0. 知识点2 算术平方根 (1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根.一个数 a(a≥0)的算术平方根记作,读作 "根号a".0的算术平方根为0. (2)算术平方根的双重非负性：被开方数a是一个非负数，其结果“”也是一个非负数. 知识点3 平方根与算术平方根的联系与区别 1)联系： (1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a 的平方根中的非负部分； (2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根； (3)0的平方根和算术平方根都是0. 2)区别： (1)个数上；正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负.而算术平方根只有一 个，取它的正平方根 (2)表示方法：表示平方根，前面的“”表示其值有正负；表示算术平方根.特别 注意的是：≠ 知识点4 立方根 (1)定义： 一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫作a的立方根，也叫作a 的三次方根，记为“”,读作"三次根号a".即可以表示如下 b³=a→=b 其中，a是被开方数，3是根指数. (2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0的立方根是0. 推广：一个数的奇次方根有且只有一个. (3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根. 知识点5 几个关于平方根、立方根的记忆点 (1)一个数的平方根是本身，这个数是0; (2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1 (3)一个数的立方根是本身，这个数是-1,0,1. (4)几个常见平方根的近似值：=1.414, =1.732, =2.236. 课本典例1（习题10.1第5题） (1) 哪两个相邻的整数之间? (2) 3.1<<3.2 正确吗? (3) 下列四个结论中，正确的是（ ） A.3.15<<3.16 B.3.16<<3.17 C.3.17<<3.18 D.3.18<<3.19 【答案】(1)在3和4之间；(2)正确；(3)B 【详解】(1)因为 = 9， = 16，而(9<10<16) ，根据算术平方根的性质，当(a>0,b>0)，若，则 ，所以，即在3和4两个相邻整数之间。 (2) 题： 计算=3.1×3.1 = 9.61， = 3.2×3.2=10.24，因为9.61<10<10.24 ，根据算术平方根的性质，可得3.1 < < 3.2，所以该说法正确。 (3) 题： 分别计算各选项边界值的平方： = 3.15×3.15 = 9.9225 = 3.16×3.16 = 9.9856 = 3.17×3.17 = 10.0489 由于9.9856<10<10.0489 ，根据算术平方根的性质，可知3.16 < < 3.17，所以选 B 【点睛】本题围绕算术平方根的大小估算展开，要清楚一个正数的算术平方根介于两个整数或两个小数之间的判断方法，即通过比较被开方数与整数或小数平方数的大小来确定。 课本典例2（习题10.1第6题） 已知x的一个平方根是-8，求x的立方根. 【答案】4 【详解】已知x的一个平方根是-8，将a = -8代入上述关系，可得x=。根据乘方运算规则，=(-8)×(-8)=64，所以x = 64。对于x = 64，因为=4×4×4 = 64，所以=4，即x的立方根是4。 【点睛】本题涉及平方根和立方根两个概念。审题时要清楚平方根的性质（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 ）以及立方根的定义（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ）。 课本典例3（习题10.1第7题） 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得溢出的水的体积为40.5cm。然后，小华将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.62cm。求烧杯内部的底面半径和正方体铁块的棱长.(用计算器计算，结果精确到0.1cm) 【答案】烧杯内部的底面半径约为4.6cm，正方体铁块的棱长约为3.4cm. 【详解】设烧杯内部的底面半径为r cm π x 0.62 = 40.5 解得:r≈ 4.6 设正方体铁块的棱长为a cm = 40.5 解得a ≈ 3.4. 所以烧杯内部的底面半径约为4.6cm，正方体铁块的棱长约为3.4cm。 【点睛】本题是物理浮力实验情境下的数学几何问题。关键是要理解溢出的水的体积等于正方体铁块的体积，同时也等于圆柱形烧杯中水位下降部分水的体积。 题型一 求一个数的平方根 1．（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的计算方法进行计算即可得出答案．熟练掌握算术平方根和平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故选：． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列说法正确的是（    ） A．是16的平方根 B．0没有平方根 C．25的平方根是5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，掌握相关定义和性质是解题的关键．依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：A．如果（），那么叫做的平方根．因为，所以是16的平方根，该选项说法正确，符合题意； B．因为，所以的平方根是，该选项说法错误，不符合题意； C．因为，所以25的平方根是，而不只是，该选项说法错误，不符合题意； D．表示49的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，而不是，该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 题型二 利用算数平方根的非负性解题 4．（23-24七年级下·四川泸州·期中）已知，那么的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，先根据非负数的性质求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，三角形的三边关系，先根据，得，结合实数a，b，c分别表示的三条边，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即， 故选：C 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值的知识点，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性的条件是解题的关键． 根据算术平方根和绝对值的非负性，求出的值、，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型三 平方根的性质与数轴综合 7．（22-23七年级下·全国·假期作业）实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简= ． 【答案】-2a+b/b－2a 【分析】根据数轴得出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴a+b＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝﹣（a+b）﹣|b|﹣|a﹣b| ＝﹣a﹣b+b﹣（a﹣b） ＝﹣a﹣b+b﹣a+b ＝﹣2a+b． 故答案为：﹣2a+b 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，算术平方根等知识点，能正确根据数轴得出b＜0＜a和|b|＞|a|是解此题的关键． 8．（21-22七年级下·湖南长沙·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根． 【答案】(1)2 (2)和 【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵AB＝2， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵|2c＋6|与互为相反数， ∴， ∵，， ∴2c＋6＝0，d−4＝0， ∴c＝−3，d＝4， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． 9．（20-21八年级上·四川·阶段练习）解答： （1）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根． （2）已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意易得，，，进而求解a、b的值，进而代入求解，最后利用算术平方根进行求解即可； （2）由数轴可知：，，，然后根据绝对值的意义进行化简求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，可得，， 故，， 又∴， 可得， 则， 所以的算术平方根为． （2）由数轴可知：，，， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减，熟练掌握平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减是解题的关键． 题型四 估算算数平方根的取值范围 10．（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决． 【详解】解：均为正数，且，， ，， 故选：C． 11．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）若k为正整数，且k的算术平方根在3和4之间，写出一个满足条件的整数： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算．由题意得，即，据此即可求解． 【详解】解：∵k的算术平方根在3和4之间， ∴，即， ∴， 故答案为：10（答案不唯一）． 12．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（    ） A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根，先根据正方形面积计算公式求出正方形边长，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积是31， ∴该正方形的边长为， ∵， ∴， 故选；B． 13．（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】解：，， ∴， 故选：A． 题型五 求算数平方根的整数部分和小数部分 14．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 16．（20-21七年级上·山东泰安·阶段练习）的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 题型六 立方根的概念理解 17．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法正确的是（   ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是和 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的应用，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 利用立方根的定义及求法逐项判断即可． 【详解】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、有立方根，为，原选项说法错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是，和，原选项说法错误，不符合题意； 、，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 18．（24-25八年级上·四川乐山·阶段练习）要使有意义，则a的取值范围（   ） A． B． C． D．a是一切实数 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义即可得解，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：要使有意义，则a的取值范围是一切实数， 故选：D． 19．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了立方根的概念和运算，解题关键在于理解立方根的定义． 根据立方根的定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么x叫做a 的立方根或三次方根，据此即可解答． 【详解】因为， 所以8的立方根是2， 故答案为：2． 题型七 求一个数的立方根 20．（23-24九年级下·广东惠州·开学考试）8的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数立方根，根据立方根得概念即可求解，掌握立方根的概念即可求解． 【详解】解：8的立方根是 故答案为：． 21．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：B． 22．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握“一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个x叫做a的立方根”． 【详解】解：， 故选：A． 题型八 已知一个数的立方根求这个数 23．（24-25八年级上·江西吉安·期末）已知a的立方根为，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了已知一个数的立方根，求这个数，根据a的立方根为，可得：，据此求出a的值是多少即可． 【详解】解∵a的立方根为， ∴． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个数的立方根是3，那么这个数是 ． 【答案】27 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． 根据立方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，这个数是， 故答案为：27． 25．（24-25八年级上·河南南阳·期中）写出立方根是的数为： ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，设这个数为，则，然后求出的值即可，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：设这个数为， 则，解得：， ∴这个数为， 故答案为：． 题型九 根据立方根的定义解方程 26．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的应用，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义即可解答； （2）移项，化简，根据立方根的定义即可解答； 【详解】（1）解：， 化简得，， ∴或． （2）解：， 移项得，， 化简得，， ∴． 27．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 28．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴． 题型十 平方根与立方根的综合应用 29．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知的立方根是的算术平方根是． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根的定义，代数式求值，根据题意求出的值是解题的关键． （1）根据题意得出，，计算即可得到答案； （2）把代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， ，； （2）解：当时， 17的平方根是， 的平方根是． 30．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）已知是的算术平方根，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义； （1）根据算术平方根的定义求出，再根据立方根的定义求出，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：是的算术平方根， ， 解得：， 的立方根是， ∴，即 解得：； （2），， ， 的立方根是． 31．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知的立方根是，算术平方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根． （1）根据立方根和算术平方根的定义得出，，求解即可； （2）先求出的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，算术平方根是3． ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴的平方根为． 一、单选题 1．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义判断即可． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）已知，，且，则的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平方根定义，立方根定义，已知字母的值求代数式的值，先求出x，y的值，再代入计算即可 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）下列各数中一定没有平方根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方根，一个正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0．据此进行解答即可． 【详解】A.当时，，有平方根，故选项不符合题意； B.当时，，有平方根，故选项不符合题意；     C. ，则一定没有平方根，故选项符合题意； D. 当时，，有平方根，故选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列说法中正确的是（    ） 的立方根是；的立方根是；无立方根；互为相反数的数的立方根也互为相反数． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解答本题的关键． 根据立方根的概念逐个判断即可解答． 【详解】解：的立方根是，故正确； 的立方根是故错误； 有立方根，故错误； 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故正确； 所以正确的说法有：， 故选：C． 6．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）的立方根与81的平方根的差是（    ） A．7 B． C．7或11 D．7或 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的运算．由于81的平方根是，，所以和有两种情况，由此即可求解． 【详解】解：∵，81的平方根是， ∴或． 故选：D． 7．（24-25八年级上·河北承德·期中）下列说法正确的是（   ） A．6的平方根是3 B．8的立方根是 C． D．没有平方根 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根以及算术平方根和平方根的定义，正确区分它们是解题关键． 分别根据平方根以及立方根和算术平方根的定义判断得出即可． 【详解】解：A、6的平方根是，故错误； B、8的立方根是2，故错误； C、，故错误； D、没有平方根，故正确； 故选：D． 8．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，关键是掌握：非负数之和等于时，各项都等于． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴； 故选：B ． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期中）（  ） A．81 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．根据算术平方根的计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 10．（24-25八年级上·广东茂名·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根 ．熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． 利用求算术平方根计算并判定A、B；利用求立方根计算并判定C；先求算术平方根，再计算加法，即可判定D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．（24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，偶次幂的非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． 首先根据非负数的性质可求出的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）的相反数是 ，的倒数是 ，的平方根是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查实数的相反数、代数和平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 的倒数是， 的平方根是， 故答案为：，，． 14．（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】625 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意结合算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为625后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：625． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知一个正数的平方根是和，则这个正数是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方根，根据“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”列方程求出方程的解得到x的值，即可得到这个正数．熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ，， ∴这个正数是． 故答案为：16 三、解答题 16．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）已知的平方根是，．求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，先根据的平方根是，，求出，，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵的算术平方根为， ∴的算术平方根为2． 17．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据有理数乘方，立方根，算术平方根有关概念及运算法则进行化简，再算乘法，最后合并即可； 【详解】解： ． 18．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如果为的算术平方根，为的立方根，求： (1)的值； (2)的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根，算术算术平方根的运用，掌握其计算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的定义及计算得到，算出的值，代入即可； （2）分别算出的值，再算出的值，最后求平方根即可． 【详解】（1）解：如果为的算术平方根，为的立方根， ∴， 解得，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴． 19．（15-16七年级下·云南昆明·期中）若一个正数的两个平方根是和，求a和这个正数． 【答案】，这个正数为 【分析】本题考查了求一个数的平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此求出a的值，即可求出这个正数． 【详解】解：根据题意：， 即， 解得：， 则这个正数为：． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$