专题03 分式-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题03 分式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、分式有意义的条件 2、分式化简求值 3、解分式方程 4、分式的求值 5、根据分式方程解的情况求值 6、分式方程的应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 分式有意义的条件 2024·安徽·中考真题 分式化简求值 2024·宁夏·中考真题 分式方程的其它实际问题 2024·宁夏·中考真题 解分式方程 2024·江苏徐州·中考真题 分式方程的经济问题 2024·江苏宿迁·中考真题 分式的求值 2024·四川雅安·中考真题 根据分式方程解的情况求值 2024·黑龙江牡丹江·中考真题 一．解分式方程的步骤 解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根 分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 二．与分式方程的解有关的问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 三．分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型1解分式方程】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似． 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的计算，熟知运算法则是解题的关键． （1）先去分母，再计算一元一次方程即可； （2）先去分母，再计算一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键． （1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， ∴， 解得：， 经检验，时， ∴原方程无解． 【题型2分式化简求值】 1．（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键． 先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：由， 去分母得：， 解得：且， ∵关于的方程的解是正数， ∴且，解得：且， ∴m的值可以为3， 故选：C． 2．（2025·重庆·一模）先化简再求值：，其中是从，0，2中选取的一个合适的数． 【答案】；0 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式， ， ， 且， 当时，原式， 3．（2025·江西赣州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题主要考查分式的化简求值，根据分式的减法法则，除法法则把原式化简，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 把代入得：原式 4．（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，然后从，0，1，2中，选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴，0，1，2中，只有符合题意， 当时，原式． 5．（2025·广东深圳·二模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式                 ①                       ②                                 ③ (1)化简过程中，从第__________（填序号）步开始出现错误．错误的原因是____________________． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【答案】(1)①；未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则 (2)；0 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则． （1）按照混合运算的运算顺序进行判断即可； （2）先进行分式的除法运算，然后再进行分式的加减，最后代数求值即可． 【详解】（1）解：从第①步开始出现错误， 未遵循分式混合运算中应先算乘除、再算加减的优先级规则； （2）解：原式， 当时，原式． 【题型3 根据分式解的情况求值】 1．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若方程的解为，求的值． (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零． （1）把方程的解代入方程求解即可； （2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【详解】（1）解：当时，， 解得． （2）解：， 去分母得， 解得， 分式方程有解且解为非负数，且， 且， 解得且． 2．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要进行检验是解题关键． （1）直接利用解分式方程的方法求解即可； （2）先解分式方程，然后依据题意求解不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为， 方程两边同乘， 解得， 检验：当时，， 所以当时， 分式方程的解为； （2）， 方程两边同乘， 解得， 这个方程的解为正数， 且， 解得且． 【题型4 分式方程的应用】 1．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元 (2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数，是解题的关键： （1）设B型机器人模型单价为x元，根据用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出的取值范围，设共花费w元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， (元)． 答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元． （2）设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台． 根据题意，得， 解得． 设共花费w元，则， ∵， ∴w随m的减小而减小， ∵， ∴当时，w值最小． ， (台)． 答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)3000元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，元 答：此次购进最少要花3000元． 3．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1) (2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元 (3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可； （2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可； （3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元， 根据题意得， 解得： 经检验是原分式方程的解． （元） 答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元． （3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元， 由题意得：， 由，解得， 取整数，，10，11，12， ∵随着的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时（元）． 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元． 4．（2025·广东深圳·二模）综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】任务1：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷；任务2：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数是解题的关键． 任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，列分式方程求解即可； 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题意得 ，求出；，当，（万元），此时B型无人机（台）． 【详解】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷 由题意可得： 解得： 经检验：是原分式方程的根， 答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷． 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元， 由题意可知： 解得： ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当，（万元） 此时B型无人机（台）． 答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元． 真题感知 1．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 3．（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分式的分母不能为0，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即． 故答案为：． 4．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， 解方程，得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 6．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 【答案】(1)1200元；1000元 (2)；购买A种书架8个，B种书架12个 (3)120 【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题． （1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元，用18000元购买A种书架个，用9000元购买B种书架个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答； （2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值； （3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答． 【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元． 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ． 答：两种书架的单价分别为1200元，1000元． （2）解：购买a个A种书架时，购买总费用， 即， 由题意得，a应满足：，解得． ， ∴w随着a的增大而增大， 当时，w的值最小，最小值为， 费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个． （3）解：由题意得 ， 解得． 7．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 8．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． (2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标； (3)两次漂洗的方法值得推广学习 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键； （1）把，代入， 再解方程即可； （2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案； （3）根据（1）（2）的结果得出结论即可． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得．经检验符合题意； ∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水． （2）解：第一次漂洗： 把，代入， ∴， 第二次漂洗： 把，代入， ∴， 而， ∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标； （3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， ∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习． 9．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 【答案】(1)种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元． (2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可； （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元， ∴， 解得：， ∴， 答：种外墙漆每千克的价格为元，种外墙漆每千克的价格为元． （2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根且符合题意， 答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米． 提升专练 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）若关于的不等式组有且只有个偶数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，不等式组的解，解关于的不等式组，根据其解的情况确定的取值范围；解关于的分式方程，根据其解的情况确定的取值范围，从而确定符合条件的所有整数的值并求和即可．掌握分式方程、一元一次不等式及不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有且只有个偶数解， ∴， ∴； ∵， 在方程两边同乘以，得： ， 解得：， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵或是分式方程的增根， ∴或， ∴且， ∵为整数， ∴可以是，， ∴， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 2．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式求值．熟练掌握整体代入思想，是解题关键． 根据，可得，又因为，再整体代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由可得，再代入分式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故答案为：． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值，再从这4个数中选择一个恰当的值代入求值． 【答案】；3 【分析】本题考查了分式的化简计算：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据分式有意义的条件在4个数中确定只能取3，最后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 且且， 可以取3， 当时，原式． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 经检验，是原方程的根 7．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线5条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？ 【答案】(1)一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹 (2)至少应再购买2条自动分拣流水线 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用， （1）设1名工人每小时分拣x件包裹，这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时，据此列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设再购买该型号的自动分拣流水线y条，预计每日需分拣的包裹量高达件，据此列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹，这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹， 根据题意，得 解得， 检验是原分式方程的解， ∴ 答：一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹； （2）设再购买该型号的自动分拣流水线y条，根据题意，得 解得， 答：至少应再购买2条自动分拣流水线 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、分式有意义的条件 2、分式化简求值 3、解分式方程 4、分式的求值 5、根据分式方程解的情况求值 6、分式方程的应用 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 分式有意义的条件 2024·安徽·中考真题 分式化简求值 2024·宁夏·中考真题 分式方程的其它实际问题 2024·宁夏·中考真题 解分式方程 2024·江苏徐州·中考真题 分式方程的经济问题 2024·江苏宿迁·中考真题 分式的求值 2024·四川雅安·中考真题 根据分式方程解的情况求值 2024·黑龙江牡丹江·中考真题 一．解分式方程的步骤 解分式方程基本步骤：①去分母；②解整式方程；③验根 分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知数的值； 分式方程会无解的几种情况 ①解出的x的值是增根，须舍去，无解 ②解出的x的表达式中含参数，而表达式无意义，无解 ③同时满足①和②，无解 求有增根分式方程中参数字母的值的一般步骤： ①让最简公分母为 0 确定增根； ②去分母，将分式方程转化为整式方程； ③将增根带入（当有多个增根时，注意分类，不要漏解）； ④解含参数字母的方程的解。 二．与分式方程的解有关的问题 1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围. 2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值. 三．分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【题型1解分式方程】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）解方程． (1)； (2)． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【题型2分式化简求值】 1．（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·重庆·一模）先化简再求值：，其中是从，0，2中选取的一个合适的数． 3．（2025·江西赣州·二模）先化简，再求值：，其中． 4．（2025·广东深圳·二模）先化简，再求值：，再从，0，1，2中，选个合适的值作为代入求值． 5．（2025·广东深圳·二模）下面是小甜化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 化简 解：原式                 ①                       ②                                 ③ (1)化简过程中，从第__________（填序号）步开始出现错误．错误的原因是____________________． (2)请写出正确的化简过程，并求出当时，该代数式的值． 【题型3 根据分式解的情况求值】 1．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）已知关于的分式方程． (1)若方程的解为，求的值． (2)若方程的解为非负数，求的取值范围． 2．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）关于的分式方程：． (1)当时，求此时方程的解． (2)若这个方程的解为正数，求的取值范围． 【题型4 分式方程的应用】 1．（2025·山东济南·二模）人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，取得了丰硕成果．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用4000元购买A型机器人模型和用2400元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 2．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 3．（2025·山东烟台·一模）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 36600 第二周 12 15 45000 (1)求a，b的值； (2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 4．（2025·广东深圳·二模）综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 真题感知 1．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 3．（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则实数x的取值范围是 ． 4．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)问题一：求出两种书架的单价； (2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案； (3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求m的值． 7．（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 8．（2024·广西·中考真题）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略． 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标． 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水． 浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：） 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： (1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ (2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ (3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法． 9．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用、两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要、两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元． (1)求、两种外墙漆每千克的价格各是多少元？ (2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？ 提升专练 1．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）若关于的不等式组有且只有个偶数解，且关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 2．（2024·安徽·模拟预测）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知，则的值为 ． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）已知，则代数式的值为 ． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值，再从这4个数中选择一个恰当的值代入求值． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：． 7．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线5条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？ / 学科网（北京）股份有限公司 $$