专题02 一元一次不等式和一元一次不等式组（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02一元一次不等式和一元一次不等式组 题型概览 题型01不等式 题型02一元一次不等式的应用 题型03一元一次不等式与一次函数 题型04 一元一次不等式组 不等式题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川巴中·期末）若都是实数且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列命题中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，下列不等式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知：，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 三、解答题 13．（23-24八年级下·四川达州·期末）【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ， ． 当时，的值最小，最小值是1． 即当时，的最小值是1． 【尝试应用】 （1）下列多项式中①；②；③是完全平方式的有_________．（请填写序号）若是一个完全平方式，则的值等于_________（为常数）． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）用长的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 一元一次不等式的应用题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知三个连续偶数的和不小于90，且不大于120．这样的偶数共有（    ） A．5组 B．6组 C．10组 D．11组 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）中国是全球可再生能源领域的领跑者．截至目前，全国风电和光伏发电装机容量已经超过11亿千瓦，稳居世界第一．我们可以把“风电和光伏发电的装机容量（单位：亿千瓦）超过11亿千瓦”用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）“与的差大于”用不等式表示为 ． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式的解集如图所示，则 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 7．（23-24八年级下·四川达州·期末）某精品水果店准备将进价为40元/斤，标价为55元/斤的优质车厘子进行打折销售，为了保证利润率不低于10%，则该车厘子最多打 折． 8．（23-24八年级下·四川广元·期末）关于x，y的方程组的解为，若点总在直线上方，那么的取值范围是 ． 三、解答题 9．（23-24八年级下·四川广安·期末）邓家香腊鸭是广安区的著名美食，深受食客们的喜爱．某特产专卖店购进一批袋装腊鸭，成本为40元/袋．经市场调研发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．设销售单价降低x元时，每天的销售量为y袋． (1)求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量x的取值范围） (2)该特产专卖店计划销售这种腊鸭的利润率不得低于30%，那么当销售单价定为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少袋？（） 10．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）某公司每月固定生产甲，乙两种型号的产品共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表： 种类\价格（元/只）\型号 甲 乙 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 (1)若该公司5月的销售收入为270万元，则甲，乙两种型号的产品分别是多少万只？ (2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只产品获得一定金额的提成，如果公司6月投入总成本（原料总成本生产提成总额）不超过218万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润销售收入投入总成本）． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒． (1)问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？ (2)若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？ 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）《中国居民膳食指南》建议，青少年儿童要控制糖的摄入量，不喝或少喝含糖饮料．已知某种含糖饮料是以果汁和汽水为原料配制而成的，果汁和汽水的含糖量以及购买这两种原料的价格如下表所示． 原料 含糖量（克/千克） 原料价格（元/千克） 果汁 50 6 汽水 10 3 现配制这种含糖饮料20千克，其中果汁原料占千克． (1)当时，含糖饮料中总含糖量为______克，购买两种原料共需______元； (2)如果要求所配制的饮料中含糖量不超过400克，列出应满足的不等式； (3)如果购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元，列出应满足的不等式，并求出的取值范围． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）双流区永安镇为实现乡村全面振兴，走农业农村优先发展之路，大力种植有机水果，某超市看好该地甲、乙两种有机水果的市场价值，经调查，该超市购进甲种水果和乙种水果需要126元；购进甲种水果和乙种水果需要162元． (1)求该超市购进甲、乙两种有机水果的进价； (2)该超市决定每天购进甲种水果，乙种水果进行销售，其中甲种水果售价为16元，乙种水果售价为18元，销售完后，超市决定售出每千克甲种水果捐出元，每千克乙种水果捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于，求m的最大值． 14．（23-24八年级下·四川达州·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内（含分线）投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球），所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 一元一次不等式与一次函数题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与x轴交于点与，则不等式组的解集为（    ） A．无解 B． C． D． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为(    )    A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·四川达州·期末）一次函数和的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 11．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）关于x的一次函数与的图象都经过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知一次函数，则的最大整数解是 ． 14．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ． 15．（23-24八年级下·四川巴中·期末）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 16．（23-24八年级下·四川泸州·期末）直线与直线的交点坐标为，则不等式的解集是 17．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，已知一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 三、解答题 18．（23-24八年级下·四川自贡·期末）在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 19．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出时，的取值范围． 一元一次不等式组题型04 1、 填空题 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是 ． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）关于x的不等式组无解且一次函数的图象经过一、二、四象限，则a的取值范围值是 ． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）点在第二象限，则m的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式组有整数解，则的取值范围是 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的x的取值范围是 ．    8．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 9．（23-24八年级下·四川雅安·期末）已知一次函数经过第一、二、三象限，且关于x的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 二、解答题 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）今年，我省部分地区出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维修和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维修和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表： 储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个） 新建 4 5 4 维修 3 18 6 已知可支配使用土地面积最多为，若新建储水池x个，新建和维修的总费用为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)满足要求的方案各有几种； (3)在以上备选方案中，若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？ 12．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知非负实数，，满足．设的最大值为，最小值为．求的值． 13．（23-24八年级下·四川南充·期末）年6月5日是第个世界环境日，某校为提高学生环保意识，开展了环境知识竞赛活动，对在竞赛中获得一、二等奖的同学进行表彰，并分别奖励一本A，B类名著．已知购买1本A类名著和1本B类名著共需元；购买3本A类名著和2本B类名著共需元． (1)求A，B类名著各自的销售单价． (2)若该校计划给在竞赛中获得前名的同学颁发奖品，且一等奖数量不少于二等奖数量的，不超过二等奖数量的．设学校购买A类名著本，购买奖品的总费用为元．①求关于的函数关系式．②怎样购买A，B类名著才能使购买奖品的总费用最低，总费用最低为多少元？ 14．（23-24八年级下·四川达州·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于的不等式得的“关联方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 15．（23-24八年级下·四川德阳·期末）药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元． (1)求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围） (2)如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）（）解不等式：； （）解不等式组： 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）中华人民共和国生态环境部第号令《排污许可管理办法》将自年7月1日起施行，我市治污公司为了更好的治理污水，改善水质，决定购买台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） 6 4 处理污水量（吨/月） (1)设购买A型号设备x台，要求购买污水处理设备的资金不高于万元，并且该月要求处理污水量不少于吨，请列不等式组求出x所有可能的取值． (2)设购买设备的总资金为y万元，写出y与x的函数关系式，并求出最省钱的购买方案及y的最小值． 18．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）2020年4月8日，武汉封城令解除，但大家对自身健康的重视从未解除，各种医用物资仍然销售火爆，供不应求，针对大家的需求，百姓大药房特意设计了两大防疫物资套餐用于促销（分别记为A套餐和B套餐，生产费用和销售价格如表），该药店负责人决定生产A、B两套餐共100组．因为顾客对A套餐容量大，下单快的特点比较青睐，负责人决定生产A套餐的数量多于B套餐的数量，但也不超过B套餐的3倍．其中：这些产品都能被抢购一空，设生产A套餐x组，所得总利润为y元． 套餐类型 生产费用（元/组） 销售价格（元/组） A套餐 150 180 B套餐 120 160 (1)直接写出y与x的函数关系式为：________（不写自变量x的取值范围）； (2)试求共有多少种购买方案，并求出哪种方案获利最多； (3)为了支持抗疫，负责人决定每售出一组A套餐，就捐出m元给火神山医院；每售出一组B套餐，就捐出n元给雷神山医院，已知：，减去捐出的费用，新总利润w的最大值为元，据此，试求出m与n的数量关系． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元一次不等式和一元一次不等式组 题型概览 题型01不等式 题型02一元一次不等式的应用 题型03一元一次不等式与一次函数 题型04 一元一次不等式组 不等式题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的运用，根据图示可得限高标志牌的意义是不超过5米，由此即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，限高标志牌的意义为不超过5米，即小于等于5米， ∴超过5米的不能通过， 故选： A． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， A、∴，故不符合题意； B、∴，故不符合题意； C、∴，故不符合题意； D、∴，故符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质“不等式性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；”进行判定即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，正确，故A选项正确，不符合题意； ，正确，故B选项正确，不符合题意； ，正确，故C选项正确，不符合题意； 当时，，则， ∴， ∴D选项不一定正确，符合题意； 故选：D ． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式性质，不等式两边加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、， ，故不等式不成立，不符合题意； B、， ，故不等式不成立，不符合题意； C、， ，故不等式不一定成立，不符合题意； D、， ，故不等式一定成立，符合题意； 故选：D． 5．（23-24八年级下·四川巴中·期末）若都是实数且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、不等式的两边同时乘，若，则不等号方向不变，即，当时不成立，原变形错误，故本选项不符合题意； B、不等式的两边同时乘加上，不等号方向改变，即，原变形错误，故本选项不符合题意； C、不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，即，原变形正确，故本选项符合题意； D、不等式的两边同时除以，不等号方向不变，即，原变形错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列命题中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，，正确，故此选项不符合题意； B、，，原命题错误，故此选项符合题意； C、且，，正确，故此选项不符合题意； D、且，则，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故D选项一定成立，故符合要求； 故选：D． 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、当时，；当时，，则此项错误，不符合题意； C、由得：，所以，但无法判断与的大小，则此项错误，不符合题意； D、由得：（不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变），则此项正确，符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知，下列不等式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断，判断出不正确的不等式是哪个即可． 【详解】解：， ， 选项A正确，符合题意； ， ， 选项B错误，不符合题意； ， ， 选项C错误，不符合题意． ， 也可能， 选项D错误，不符合题意； 故选：A． 10．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知：，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质一一计算判断即可． 【详解】解：A．当，时，，则不成立，故该选项不符合题意； B．∵，∴，则成立，故该选项符合题意； C．无法判断，故该选项不符合题意； D．当，，则不成立，故该选项不符合题意． 故选：B． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】A．不等式两边同时乘以同一个负数，不等号的方向应改变，选项不符合题意； B．假设，，不成立，选项不符合题意； C．假设，，不成立，选项不符合题意； D．不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，选项符合题意． 故选D． 二、填空题 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（23-24八年级下·四川达州·期末）【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ， ． 当时，的值最小，最小值是1． 即当时，的最小值是1． 【尝试应用】 （1）下列多项式中①；②；③是完全平方式的有_________．（请填写序号）若是一个完全平方式，则的值等于_________（为常数）． （2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． 【拓展提高】 （3）用长的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 【答案】（1）②③，24或；（2）时，该式的值最小，最小值是1999；（3）最大面积为9平方米，理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式的特征可得①不可以写成完全平方的形式，②③可以写成完全平方的形式．若是一个完全平方式，则，由此即可得解． （2）将写成，即可求出其最小值． （3）设长方形的长为，则宽为，则面积为，将写成，即可求出其最大值． 【详解】解：（1）①不是一个完全平方式； ②， ∴是完全平方式； ③， ∴是完全平方式； 若是一个完全平方式， 则， ∴． 故答案为：②③，24或 （2）， ， ， 当即时，该式的值最小，最小值是1999． （3）设长方形的长为，则宽为， 围成的长方形的面积是， ， 又， ， 当即时，的值最大，最大值是9， ∴最大面积为9平方米． 【点睛】本题考查的是利用完全平方式的非负性求解代数式的最值，利用完全平方公式分解因式，同时考查了不等式的基本性质，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键． 一元一次不等式的应用题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知三个连续偶数的和不小于90，且不大于120．这样的偶数共有（    ） A．5组 B．6组 C．10组 D．11组 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设三个连续偶数中中间的偶数为，则其他两个偶数为和，三个连续偶数的和为，根据题意列出不等式求得的解集，取其中包含的偶数即可． 【详解】解：设三个连续偶数中中间的偶数为，则三个连续偶数的和为，根据题意可得：，解得， 此时取值有30、32、34、36、38、40， 故有6组， 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设水果的质量为千克，进价为元，售价为元，由题意可得，得到，据此即可求解，根据题意，正确列出不等式求出售价与进价的关系是解题的关键． 【详解】解：设水果的质量为千克，进价为元，售价为元， 由题意可得，， 解得， ∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高， 故选：． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）中国是全球可再生能源领域的领跑者．截至目前，全国风电和光伏发电装机容量已经超过11亿千瓦，稳居世界第一．我们可以把“风电和光伏发电的装机容量（单位：亿千瓦）超过11亿千瓦”用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确地列出不等式是解题的关键． 根据装机容量(单位：亿千瓦）超过11亿千瓦列不等式即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故选：A． 二、填空题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）“与的差大于”用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用减去再大于即可得出答案．正确理解题意是解题关键． 【详解】解：由题意可得：． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）若关于x的不等式的解集如图所示，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查不等式的解集，以及解集的数轴表示，先解不等式得，然后根据数轴得该不等式的解集为，然后得到求解即可． 【详解】解：解不等式得， 由数轴得不等式的解集为， ∴，解得， 故答案为：7． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质3，可得、的关系，根据不等式的性质3，可得答案．本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出是解题关键． 【详解】解：的解集是， ∴ ，， ， ， ， ． 故答案为： 7．（23-24八年级下·四川达州·期末）某精品水果店准备将进价为40元/斤，标价为55元/斤的优质车厘子进行打折销售，为了保证利润率不低于10%，则该车厘子最多打 折． 【答案】8/八 【分析】此题重点考查学生对不等式的实际应用，熟练掌握利润率是解题的关键.根据利润率的计算公式先列出不等式，再解不等式即可. 【详解】解：设此商品打x折出售，则 解得 此商品最多打8折. 故答案为：8. 8．（23-24八年级下·四川广元·期末）关于x，y的方程组的解为，若点总在直线上方，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，一次函数与不等式，先求出方程组的解，根据点总在直线上方，得到，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∴， ∵点总在直线上方，即点在点上方， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 9．（23-24八年级下·四川广安·期末）邓家香腊鸭是广安区的著名美食，深受食客们的喜爱．某特产专卖店购进一批袋装腊鸭，成本为40元/袋．经市场调研发现，当销售单价为60元时，每天可售出300袋；销售单价每降低1元，每天可多售出20袋．设销售单价降低x元时，每天的销售量为y袋． (1)求y与x之间的函数关系式．（不必写出自变量x的取值范围） (2)该特产专卖店计划销售这种腊鸭的利润率不得低于30%，那么当销售单价定为多少元时，每天的销售量最大？最大销售量为多少袋？（） 【答案】(1) (2)当销售单价定为52元时，每天的销售量最大，最大销售量为460袋 【分析】本题考查一次函数的应用，不等式的应用．根据题意找出等量与不等量关系，列出函数关系式与不等式是解题的关键． （1）根据每天的销售量=多售的量+原销售量，列出关系式即可； （2）根据腊鸭的利润率不得低于30%列出不等式，求解，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意，得每天的销售量． （2）解：∵这种腊鸭的利润率不得低于， ∴， 解得． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值为 (袋)， 此时 (元) 答：当销售单价定为52元时，每天的销售量最大，最大销售量为460袋． 10．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）某公司每月固定生产甲，乙两种型号的产品共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表： 种类\价格（元/只）\型号 甲 乙 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 (1)若该公司5月的销售收入为270万元，则甲，乙两种型号的产品分别是多少万只？ (2)公司实行计件工资制，即工人每生产一只产品获得一定金额的提成，如果公司6月投入总成本（原料总成本生产提成总额）不超过218万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润销售收入投入总成本）． 【答案】(1)甲、乙两种型号的产品分别为5万只，15万只 (2)安排甲、乙两种型号各10万只时，该月公司所获利润最大，最大利润为82万 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只，根据两种产品共20万只且销售收入为270万元列出方程组求解即可； （2）设安排甲型号产品生产y万只，利润为W万元，则乙型号产品生产万只，先根据总投入不超过218万元求出y的取值范围，再列出W关于y的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两种型号的产品分别为5万只，15万只； （2）解：设安排甲型号产品生产y万只，利润为W万元，则乙型号产品生产万只， 根据题意得：， 解得：， 根据题意得：利润， ∵， ∴W随y的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为82万元． 即安排甲、乙两种型号各10万只时，该月公司所获利润最大，最大利润为82万． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒． (1)问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？ (2)若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？ 【答案】(1)小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米 (2)滑行速度应大于8米/秒 【分析】本题主要考查二元一次方程和不等式的应用， 根据路程等于速度和时间的乘积，列出方程求解即可； 结合速度等于路程除以时间列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是x米， 第一次训练速度是v米/秒，则 ，解得， 答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米． （2）根据题意可得，解得， 答：滑行速度应大于8米/秒． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）《中国居民膳食指南》建议，青少年儿童要控制糖的摄入量，不喝或少喝含糖饮料．已知某种含糖饮料是以果汁和汽水为原料配制而成的，果汁和汽水的含糖量以及购买这两种原料的价格如下表所示． 原料 含糖量（克/千克） 原料价格（元/千克） 果汁 50 6 汽水 10 3 现配制这种含糖饮料20千克，其中果汁原料占千克． (1)当时，含糖饮料中总含糖量为______克，购买两种原料共需______元； (2)如果要求所配制的饮料中含糖量不超过400克，列出应满足的不等式； (3)如果购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元，列出应满足的不等式，并求出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题干条件正确列出不等式求解是解题的关键． （1）根据题干所给数据计算出果汁含糖量和汽水含糖量，即可得到含糖饮料中总含糖量，同理可算出购买两种原料共需费用； （2）根据“所配制的饮料中含糖量不超过400克，”列出不等式即可； （3）根据“购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元，” 列出不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，则汽水原料占（千克）， 果汁含糖量为：（克）， 汽水含糖量为：（克）， （克）， 含糖饮料中总含糖量为克； 购买两种原料共需：（元）， 故答案为：，． （2）解：所配制的饮料中含糖量不超过400克， ， （3）解：购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元， ， 整理得， 解得； ，解得； 的取值范围为：． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）双流区永安镇为实现乡村全面振兴，走农业农村优先发展之路，大力种植有机水果，某超市看好该地甲、乙两种有机水果的市场价值，经调查，该超市购进甲种水果和乙种水果需要126元；购进甲种水果和乙种水果需要162元． (1)求该超市购进甲、乙两种有机水果的进价； (2)该超市决定每天购进甲种水果，乙种水果进行销售，其中甲种水果售价为16元，乙种水果售价为18元，销售完后，超市决定售出每千克甲种水果捐出元，每千克乙种水果捐出m元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于，求m的最大值． 【答案】(1)甲种有机水果的进价为10元，乙种有机水果的进价为14元 (2)m的是大值为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用， （1）设该超市购进甲种有机水果的进价是x元，乙种有机水果的进价是y元，根据“该超市购进甲种水果和乙种水果需要126元；购进甲种水果和乙种水果需要162元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用利润＝每千克的销售利润×销售数量，结合要保证捐款后的盈利率不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解决此题的关键． 【详解】（1）设该超市购进甲种有机水果的进价是x元，乙种有机水果的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市购进甲种有机水果的进价是10元，乙种有机水果的进价是14元； （2）根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为， 答：m的最大值为． 14．（23-24八年级下·四川达州·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神．某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共个班级参加． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场积分．某班级在场比赛中获得总积分为分，问该班级胜负场数分别是多少？ (2)投篮得分规则：在分线外投篮，投中一球可得分，在分线内（含分线）投篮，投中一球可得分，某班级在其中一场比赛中，共投中个球（只有分球和分球），所得总分不少于分，问该班级这场比赛中至少投中了多少个分球？ 【答案】(1)该班级胜负场数分别是场和场 (2)该班级这场比赛中至少投中了个3分球 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用， （1）设胜了场，负了场，根据“场比赛中获得总积分为分”可列方程组，求解即可； （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球，根据“所得总分不少于分”列出相应的不等式，从而可以求出答案； 解题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． 【详解】（1）解：设胜了场，负了场， 依题意，得：， 解得：， 答：该班级胜负场数分别是场和场； （2）设班级这场比赛中投中了个分球，则投中了个分球， 依题意，得：， 解得：， 答：该班级这场比赛中至少投中了个3分球． 一元一次不等式与一次函数题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．当时， D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象和性质，根据一次函数图象所过象限，与坐标轴交点情况，一次函数与一元一次不等式，以及一次函数与一元一次方程关系，对选项逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图知，过一、二、四象限， ， 故选项A不正确，不符合题意； 由图知，，， ， 故选项B不正确，不符合题意； 由图知，当时，， 故选项C不正确，不符合题意； 由图知，与的交点横坐标为， 的解为， 成立， 故选项D正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线与直线相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，熟知一次函数与一元一次不等式的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．根据所给函数图象，找出直线在直线下方时的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当时，一次函数的图象在一次函数图象的下方，即， 所以不等式的解集是：． 故选：A 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题．本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在一次函数图象的下方，即， 所以关于的不等式的解集为：． 故选：B． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键．根据数形结合的思想可知，不等式的解集即为满足直线的图像位于直线图像的下方的x，然后结合两直线的交点为P即可得到答案． 【详解】解：由题意可知：直线与直线相交于结合函数图像可知，当时，直线的图像位于直线图像的下方，即关于的不等式的解集为：， 故选：C． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与x轴交于点与，则不等式组的解集为（    ） A．无解 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察函数图象得到在x轴上的左边，对应于每一个x的值，函数值都落在x轴的下方，即不等式的解集为；在x轴上5的左边，对应于每一个x的值，函数值都落在x轴的上方，即不等式的解集为；再根据“同小取较小”即可得出不等式组的解集． 【详解】解：观察函数图象得到 不等式的解集为， 不等式的解集为； 所以不等式组的解集为． 故选：D． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用一次函数图象，结合式时，则的值时对应的取值范围，进而得出答案．此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，正确利用数形结合是解题关键． 【详解】解：如图所示： 关于的不等式的解集是：． 故选：C 7．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，直线与相交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．观察函数图象得到，当，函数的图象都在函数图象的下方，即可得到关于的不等式的解集． 【详解】解：由图象可知两直线的交点的横坐标为，且当时，函数的图象都在函数图象的下方， 关于的不等式的解集为． 故选：B． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，观察函数图象得到，当时，一次函数的图象都在正比例函数的图象的上方，由此得到不等式的解集． 【详解】解：直线交直线于点， 所以，不等式的解集为． 故选：A． 9．（23-24八年级下·四川达州·期末）一次函数和的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键．先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可． 【详解】解：由图象可知，两函数的交点坐标为， 当时，函数的图象在函数得图象上方， 关于的不等式的解集是， 故选：C． 二、填空题 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一函数的性质，一次函数解析，对称的性质，根据题意画出函数图象，求出函数G的解析式为，结合函数图象，分三种情况讨论，当；当；当；分别列出不等式求解即可． 【详解】解：如图， 当时，，当时，， ， 一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折， ， 设x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 则，解得， x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 函数G的解析式为， 如图，当时， 显然，，不符合题意； 如图，当时， 此时，点P，Q都在的函数图象上， ， ； 如图，当时， 此时，点P在的函数图象上，点Q在的函数图象上， ， ， ， ； 综上，当时，都有， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）关于x的一次函数与的图象都经过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：一次函数与的图像都经过点， ∴当时，一次函数的图象在的图象下方， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·四川成都·期末）在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可得出，当时函数的函数值不小于函数的函数值，据此可解决问题． 【详解】解：因为当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值， 所以， 解得． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知一次函数，则的最大整数解是 ． 【答案】2 【分析】根据题意得到不等式，解不等式即可得到结论．本题考查了一次函数的性质，正确地求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：，即， ， 的最大整数解是， 故答案为：2． 14．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题．结合函数图象，写出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵两条直线相交于点， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为：． 15．（23-24八年级下·四川巴中·期末）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图象可知，不等式的解集为． 故答案为：． 16．（23-24八年级下·四川泸州·期末）直线与直线的交点坐标为，则不等式的解集是 【答案】/ 【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次不等式，解题关键是理解题意． 将分别代入两直线解析式求出两直线解析式后根据一元一次不等式解法即可得到答案． 【详解】解：根据题意将分别代入两直线解析式可得： ， 解得， 则不等式， ， ． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，已知一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象解不等式是解此题的关键； 看函数图象的高低，从函数图象中找出函数在下方或相交时x的值可得的解． 【详解】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点， 观察图象可得： 当时，直线在下方或相交， ∴的解为， 把代入得：，， ∴时，则，解得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 三、解答题 18．（23-24八年级下·四川自贡·期末）在函数学习过程中，我们知道可以通过列表、描点、连线，画出函数的图象来研究函数的性质．请同学们利用函数的图象来探究其性质，并解决问题． (1)列表： ______ ______ ①请在上述表格中填写相应的数据，补全表格； ②请在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的一条性质； (3)进一步探究函数图象发现； ①方程有_____个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是_____． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； (3)①2；② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）①解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②函数图象如图， （2）函数的最小值是，函数图象最低点的坐标是，函数图象关于直线成轴对称，当时y的值随着x的增大而增大，当时y的值随着x的增大而减小等； （3）解：①观察图形可知， 方程有1个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 19．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)请根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据可求出，从而可求出，进而可求出；联立，可求出，从而可求出，最后根据求解即可； （3）根据求时，的取值范围，即求的图象在的图象上方时，的取值范围，再结合图象即可解答． 【详解】（1）解：将，代入， 得：，解得：， ∴，； （2）解：由（1）可知． 对于，令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴； 联立，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据图象可知当时，的图象在上方，即此时， ∴的取值范围是． 一元一次不等式组题型04 1、 填空题 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）若函数与的图象相交于第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数交点问题，涉及二元一次方程组、直角坐标系和不等式组，熟练掌握一次函数交点求法及坐标系象限特征是解题的关键．先列式求出交点坐标，再利用第四象限点的特征列不等式组，求解即可． 【详解】解：联立得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）关于x的不等式组无解且一次函数的图象经过一、二、四象限，则a的取值范围值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，熟知一元一次不等式的解法及一次函数的图象和性质是解题的关键．根据所给不等式组无解，可求出的取值范围，再根据一次函数图象经过一、二、四象限，确定取值范围即可． 【详解】解：解不等式得， ． 不等式组无解， ， 解得． 一次函数的图象经过一、二、四象限， ， 解得． 综上所述，， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了象限的特点，根据象限求坐标的参数，一元一次不等式组的应用，解得的关键在于根据象限特点列出不等式组求解．根据点在第二象限，列出不等式组求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 的取值范围是， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了跟一元一次不等式组的解的情况求参数，分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组无解即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知关于的不等式组有整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，先解不等式组得到，根据不等式组有整数解可得，据此即可求解，由不等式组有整数解得到是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 又∵， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）定义：若关于x的不等式组的解集是，且，满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．已知关于x的不等式组的解集是一个对称集，则c的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义“对称集”，解一元一次不等式组；解不等式组得解集为，由“对称集”的定义，即可求解；理解新定义，会解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解：由①得 ， 由②得 ， 原不等式组的解集为， 解集是一个对称集， ， 解得：； 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，的取值范围是． 故答案为． 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由，得： 由，得：， ∵不等式组的解集为， ∴ ，， 解得，， 则 故答案为：． 9．（23-24八年级下·四川雅安·期末）已知一次函数经过第一、二、三象限，且关于x的不等式组恰有五个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，一元一次不等式组的解法是解题的关键． 根据一次函数的图象及性质可知，再解一元一次不等式组，结合不等式组解的情况可得，求出符合条件的值即可求解． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴， ∴， 解不等式组得， ∵不等式组有5个整数解， ∴， ∴， ∴a的整数值为7，8， ∴所有满足条件的整数a的值的和为， 故答案为：15． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，分别解不等式，再根据不等式组无解，得出求解即可，掌握根据不等式组无解，得出是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ，即；，即， ∴， 解得：， 故答案为：． 二、解答题 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）今年，我省部分地区出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维修和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维修和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表： 储水池 费用（万元/个） 可供使用的户数（户/个） 占地面积（m2/个） 新建 4 5 4 维修 3 18 6 已知可支配使用土地面积最多为，若新建储水池x个，新建和维修的总费用为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)满足要求的方案各有几种； (3)在以上备选方案中，若平均每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？ 【答案】(1) (2)3 (3)村里出资最多为万，最少为万 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）根据总费用新建费用维护费用，可列出y与x之间的函数关系式； （2）根据新建的水池与维护的水池可供使用的户数及新建的水池与维护水池的占地面面积，列出不等式组，求出出自变量的取值范围，即可找出符合条件的方案； （3）根据一次函数的性质，求出最大值和最小值，判定出符合条件的值即可． 解决这类问题的关键是认真读懂题意，找出其中变量之间的关系． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）由题意，得：， 解得：； ∴的整数解有7，8，9共3个； 故满足要求的方案有三种： 新建7个，维修13个； 新建8个，维修12个； 新建9个，维护11个； （3）由知：y随x的增大而增大． ∴当时，y最小（万），当时，y最大（万）． 而居民捐款共（万）． ∴村里出资最多为万，最少为万． 12．（23-24八年级下·四川眉山·期末）已知非负实数，，满足．设的最大值为，最小值为．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式组，非负数的应用等，设，是解题的关键． 设，则，，，利用x，y，z为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求． 【详解】解：设， ∴，，， ∵，，， ∴， 解不等式组得， ∵， ∴， ∵,即， ∴的最大值为，最小值为， ∴. 13．（23-24八年级下·四川南充·期末）年6月5日是第个世界环境日，某校为提高学生环保意识，开展了环境知识竞赛活动，对在竞赛中获得一、二等奖的同学进行表彰，并分别奖励一本A，B类名著．已知购买1本A类名著和1本B类名著共需元；购买3本A类名著和2本B类名著共需元． (1)求A，B类名著各自的销售单价． (2)若该校计划给在竞赛中获得前名的同学颁发奖品，且一等奖数量不少于二等奖数量的，不超过二等奖数量的．设学校购买A类名著本，购买奖品的总费用为元．①求关于的函数关系式．②怎样购买A，B类名著才能使购买奖品的总费用最低，总费用最低为多少元？ 【答案】(1)A，B类名著各自的销售单价分别为元 (2)①；②学校购买A类名著本，购买B类名著本时，总费用最低，为元 【分析】（1）设A，B类名著各自的销售单价分别为元，依题意得，，计算求解即可； （2）①设学校购买A类名著本，则购买B类名著本，由题意知，；②设学校购买A类名著本，则购买B类名著本，依题意得，，可求，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A，B类名著各自的销售单价分别为元， 依题意得，， 解得，， ∴A，B类名著各自的销售单价分别为元； （2）①解：设学校购买A类名著本，则购买B类名著本， 由题意知，， ∴关于的函数关系式为； ②解：设学校购买A类名著本，则购买B类名著本， 依题意得，， 解得，， ∵，且， ∴随着的增大而增大， ∴当，时，总费用最低，总费用最低为元， ∴学校购买A类名著本，购买B类名著本时，总费用最低，为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一元一次不等式组的应用等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质，一元一次不等式组的应用是解题的关键． 14．（23-24八年级下·四川达州·期末）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，关于的不等式得的“关联方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)①②； (2)； (3)． 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次不等式组，理解“关联方程”的概念，是解题的关键： （1）分别求出每个方程的解以及不等式组的解集，进行判断即可； （2）求出方程的解和不等式组的解集，根据“关联方程”的定义，得到的取值范围即可； （3）根据不等式组有个整数解，结合“关联方程”的定义，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：解，得：； 解，得：； 解，得：， 解，得：， 故①②是的关联方程； 故答案为：①②； （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 原不等式组的解集为， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， 的解集为， 此时不等式组有4个整数解， ， 解得， 关于的方程的解为， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， 在范围内 ， 解得， 综上所述，． 15．（23-24八年级下·四川德阳·期末）药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元． (1)求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围） (2)如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多为1740元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）根据题意可知购进乙种口罩袋，根据利润单袋利润数量分别求出甲种口罩和乙种口罩，然后求和即可得到答案； （2）先根据题意求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍， ∴， ∴， ∵，， ∴W随x增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， ∴， ∴该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多为1740元． 16．（23-24八年级下·四川成都·期末）（）解不等式：； （）解不等式组： 【答案】（）；（）． 【分析】（）按照解一元一次方程的一般步骤解答即可求解； （）求出每个不等式的解集，再取解集的公共部分即可求解； 本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，掌握解一元一次方程和解一元一次不等式组 的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，； （）由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）中华人民共和国生态环境部第号令《排污许可管理办法》将自年7月1日起施行，我市治污公司为了更好的治理污水，改善水质，决定购买台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） 6 4 处理污水量（吨/月） (1)设购买A型号设备x台，要求购买污水处理设备的资金不高于万元，并且该月要求处理污水量不少于吨，请列不等式组求出x所有可能的取值． (2)设购买设备的总资金为y万元，写出y与x的函数关系式，并求出最省钱的购买方案及y的最小值． 【答案】(1)x可取的值为4，5，6 (2)购买A型号设备4台，B型号设备6台，所需费用最少为万元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用等知识．熟练掌握一元一次不等式组的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设购买污水处理设备A型设备x台，则购买B型设备台，依题意得，，求解可得，然后求整数解即可； （2）依题意得，，由，可知y随x的增大而增大，进而可求最值． 【详解】（1）解：设购买污水处理设备A型设备x台，则购买B型设备台， 依题意得，， 解得：， ∴x可取的值为4，5，6． （2）解：依题意得，， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，此时，， 答：购买A型号设备4台，B型号设备6台，所需费用最少为万元． 18．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）2020年4月8日，武汉封城令解除，但大家对自身健康的重视从未解除，各种医用物资仍然销售火爆，供不应求，针对大家的需求，百姓大药房特意设计了两大防疫物资套餐用于促销（分别记为A套餐和B套餐，生产费用和销售价格如表），该药店负责人决定生产A、B两套餐共100组．因为顾客对A套餐容量大，下单快的特点比较青睐，负责人决定生产A套餐的数量多于B套餐的数量，但也不超过B套餐的3倍．其中：这些产品都能被抢购一空，设生产A套餐x组，所得总利润为y元． 套餐类型 生产费用（元/组） 销售价格（元/组） A套餐 150 180 B套餐 120 160 (1)直接写出y与x的函数关系式为：________（不写自变量x的取值范围）； (2)试求共有多少种购买方案，并求出哪种方案获利最多； (3)为了支持抗疫，负责人决定每售出一组A套餐，就捐出m元给火神山医院；每售出一组B套餐，就捐出n元给雷神山医院，已知：，减去捐出的费用，新总利润w的最大值为元，据此，试求出m与n的数量关系． 【答案】(1) (2)共有25种购买方案，当卖出A套餐51件，B套餐49件时获利最多 (3) 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）根据总利润等于A套餐的利润加上套餐的利润，列出函数关系式即可； （2）根据生产A套餐的数量多于B套餐的数量，但也不超过B套餐的3倍，列出不等式组，求出的范围，确定方案，再根据一次函数的性质，确定获利最多的方案即可； （3）根据题意，列出关于的函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即y与x之间的函数关系式为； 故答案为：； （2）由题意可得， 解得， ∴， 共种选择方案， 又， ∴y随x的增大而减小， ∴时，y有最大值为3490， 答：共有25种购买方案，当卖出A套餐51件，B套餐49件时获利最多； （3）由题意，得， 又， ∴， ∴w随x的增大而减小， ∴时，w有最大值为， ∴， ∴， ∴． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$