专题01 三角形的证明（四川专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 三角形的证明 题型概览 题型01等腰三角形 题型02直角三角形 题型03线段的垂直平分线 题型04 角平分线 等腰三角形题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，平分，交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（    ） A． B． C． D． 直角三角形题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．4，5，6 C．8，15，17 D．，2， 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列定理中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两锐角互余 D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 3．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）把两个同样大小的含角的直角三角板按照如图所示的位置放置，其中斜边完全重合，边与交于点，若的长度为6，则的长度为 ． 三、解答题 6．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 7．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A、B．将线段沿x轴正方向平移a个单位得到线段，连接，M是x轴上一动点． (1)若 ①连接，证明：． ②N是中点，连接并延长交直线于点H，是否存在点M使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点M在线段上，连接，作A关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 8．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，学校有四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要150元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 9．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．    (1)若 ①连接，证明：． ②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 10．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    线段的垂直平分线题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是　　    A．12 B．15 C．16 D．18 2．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，若的周长等于35，则线段的长为（    ） A．15 B．17.5 C．20 D．25 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，分别交于点．若，，则的长为 ． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若，，，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 9．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作于点F，，，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，若点B，E在直线上，且，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，，，D为直线上的动点，过点B作射线于点E，若，则的长为 ． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为 ． 角平分线题型04 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交、于点F、G，连接、，交于点H，连接并延长交于点I，则线段是（    ） A．的高 B．的中线 C．的角平分线 D．以上都不对 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，．现以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交线段于点．若，则线段的长为（　　） A． B． C． D．3 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，平分交于点，作于．若，则的长为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 6．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，且，则 ． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为 ． 三、解答题 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平分，交的延长线于点，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的证明 题型概览 题型01等腰三角形 题型02直角三角形 题型03线段的垂直平分线 题型04 角平分线 等腰三角形题型01 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，平分，交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及角平分线的定义，解题时注意：等腰三角形的两个底角相等． 首先根据等腰三角形的性质求得的度数，然后求得其一半的度数，从而利用三角形内角和定理求得答案即可． 【详解】解：，， ， 平分， ， ． 故选：A． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：若为腰长，为底边长， ， 能组成三角形， 它的第三边是； 若为底边长，为腰长， ， 不能组成三角形； 故选：B． 直角三角形题型02 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（    ） A．1，， B．4，5，6 C．8，15，17 D．，2， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．将两短边的平方相加，与最长边的平方进行比较，由此即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴以1，，为边的三角形是直角三角形， 故选项A不符合题意； ∵， ∴以4，5，6为边的三角形不是直角三角形， 故选项B符合题意； ∵， ∴以8，15，17为边的三角形是直角三角形， 故选项C不符合题意； ∵， ∴以，2，为边的三角形是直角三角形， 故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）下列定理中，其逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两底角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两锐角互余 D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意； B、逆命题是：如果两个三角形对应角相等，那么它们全等三角形，是假命题，故此选项符合题意； C、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意； D、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理．能得出三角形是直角三角形是解此题的关键．利用勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形，且直角边长度分别为1和2， ∴这个三角形的面积． 故选A． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）以下列各组数为边长构造三角形，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．利用勾股定理的逆定理依次判断即可，求出两条短边的平方和等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）把两个同样大小的含角的直角三角板按照如图所示的位置放置，其中斜边完全重合，边与交于点，若的长度为6，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形性质，对顶角性质，全等三角形性质和判定，连接，证明，得到，利用直角三角形性质得到，进而得到的长度． 【详解】解：连接， 由题知，，，，， ， 的长度为6， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直； (2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析 (2)818万元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行求解即可得到结论； （2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且， 公路与垂直． （2）解：由（1）知， ． 在中，，， ， ， ，即， 解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 7．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于点A、B．将线段沿x轴正方向平移a个单位得到线段，连接，M是x轴上一动点． (1)若 ①连接，证明：． ②N是中点，连接并延长交直线于点H，是否存在点M使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点M在线段上，连接，作A关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)①证明见解析；②或或 (2) 【分析】（1）①先求出，进而求出，由平移的性质得到，则，据此利用勾股定理的逆定理证明即可；②设点M的坐标为，由（1）可得，求出，证明，得到，即点N为的中点，则；再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，由轴对称的性质可得，则，可得，设点M的坐标为，则，解得，则． 【详解】（1）解：①在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②设点M的坐标为， 由（1）可得， ∵是中点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴，即点N为的中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得， ∴， 设点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质等，利用两点中点坐标公式和两点距离公式建立方程求解是解题的关键 8．（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，学校有四边形的空地，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)求的长度． (2)若种植草皮需要150元，则给这块四边形空地种植草皮需要多少元？ 【答案】(1)的长度为； (2)给这块四边形空地种植草皮需要5400元． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单． （1）连接，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到四边形的面积，于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， ，，， ， 答：的长度为； （2）解：， ， 四边形的面积， （元）， 答：给这块四边形空地种植草皮需要5400元． 9．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．    (1)若 ①连接，证明：． ②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由． (2)若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)①证明见解析；②或或 (2) 【分析】（1）①先求出，进而求出，由平移的性质得到，则，据此利用勾股定理的逆定理证明即可；②设点M的坐标为，由（1）可得，求出，证明，得到，即点N为的中点，则；再分当时， 当时，两种情况讨论求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，由轴对称的性质可得，则，可得，设点M的坐标为，则，解得，则． 【详解】（1）解：①在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； ∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②设点M的坐标为， 由（1）可得， ∵是中点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴，即点N为的中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴或 ， ∴点M的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形）， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或； （2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，， ∴直线的解析式为， 设， 由轴对称的性质可得， ∴， 解得， ∴， 设点M的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴．      【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质等等，利用两点中点坐标公式和两点距离公式建立方程求解是解题的关键． 10．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等．根据题意可得，继而得到，，再利用三角形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 线段的垂直平分线题型03 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是　　    A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，由是的边的垂直平分线，可得，则所求的周长，再将已知代入即可． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：B． 2．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．根据勾股定理的逆定理可得，从而得到，由作法得：垂直平分，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故选：D 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，若的周长等于35，则线段的长为（    ） A．15 B．17.5 C．20 D．25 【答案】C 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 由的垂直平分线交边于点D，交边于点E，可得，又由的周长等于21，即可求得，然后由，求得的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长等于35， ∴． ∵中，， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线，分别交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，由作图可知直线为线段的垂直平分线，进而可得，设，则，在中由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，在的内部取一点，连接，，，若，，则点到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】延长交于点，过点作点，先证明是线段的垂直平分线，再由勾股定理求得，，进而由，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， 即，点在线段的垂直平分线上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴在中，即， 解得， 在中，， ∴即， 解得， ∵， ∴， ∴点到的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理，等边对等角以及等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． 由作图可知，是的垂直平分线，即，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 9．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作于点F，，，按以下步骤作图：分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，Q，作直线，若点B，E在直线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理； 根据作图过程可得是的垂直平分线，可得，，再根据已知条件求出、、的长，然后利用勾股定理构建方程求出即可． 【详解】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线， ，， ，， ，， ， ， ∴， ∴， ． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川成都·期末）在中，，，，D为直线上的动点，过点B作射线于点E，若，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，注意分类讨论，以免漏解． 先由勾股定理，求得，再分三种情况：①当点D在延长线上时，②当点D在线段上时，③当点D在延长线上时，分别求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 分三种情况：①当点D在延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 在中，由勾股定理，得 ； ②当点D在线段上时，如图， ∵， ∴此情况不存在； ③当点D在延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 在中，由勾股定理，得 ； 综上， 的长为或． 故答案为：或． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长交于点，过点作，证明，得到，进而得到，证明，得到，再根据等积法，得到，等量代换，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 12．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点是上任意一点，连接；若，则的周长的最小值为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形三边关系，先根据作图过程得出直线是的垂直平分线，即，根据三角形三边关系：，则点E在上时，此时，故的周长有最小值，且为，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵在中，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点， ∴直线是的垂直平分线 ∴ 根据三角形三边关系： 当点E在上时，此时 则的周长有最小值，且为 故答案为：19 角平分线题型04 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交、于点F、G，连接、，交于点H，连接并延长交于点I，则线段是（    ） A．的高 B．的中线 C．的角平分线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据题意利用可证，即可得，再利用可证，即可得，用可证明，即可得，即可得． 【详解】解：由作图可知，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，．现以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交线段于点．若，则线段的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】过点作于点，由作图过程可知，为的平分线，根据角平分线的性质可得，在中，可得．本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键． 【详解】解：过点作于点． 由作图过程可知，为的平分线， ， ． 在中，， ． 故选：B． 3．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，平分交于点，作于．若，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形，勾股定理；过作，垂足为，利用角的直角三角形和等腰直角三角形可求解的长度，由角平分线的性质可得，再进而可求解． 【详解】解：过作，垂足为， 在和中，，， ，， ，则 ，平分， ， ， ， 故选：C． 二、填空题 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过点作于，再利用角平分线的性质得到，证明，；设，然后在直角中由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：过作于， 由作图得：平分， ，，， ， ， ， 又，平分， ， ， ， ， ， 设． 则，即：， 解得：， ， 故答案为：5． 5．（23-24八年级下·四川达州·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如图，，平分，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，且始终保持，连接，，下列给出的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】过点P作于M，于N，通过证明即可判断①；根据，含30度角的直角三角形特征可得出②的结论正确；判定出为等边三角形，即可求出的度数；通过，结合勾股定理，全等三角形性质可以求出结论④． 【详解】解：过点P作于M，于N， 平分， ， 在四边形中， ， 且， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， 在中，， ， ， ，故②正确； ，， 为等边三角形， ，故③错误； ， ， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和，角平分线性质，含30度角的直角三角形特征，正确作出辅助线是解答本题的关键． 6．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的性质，连接，先利用直角三角形两锐角互余的性质求出，然后再利用线段垂直平分线的性质得出，得出，得出平分，然后由角平分线的性质可得出结论．熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵垂直，即垂直，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，先利用三线合一得出平分，平分，然后利用角平分线的判定与性质可得出平分，求出，利用等边对等角得出，，即可求解． 【详解】解：过E作于H，作于G，于M，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴平分，平分， ∴，是的垂直平分线， ∴，， 又，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（23-24八年级下·四川达州·期末）如图，平分，交的延长线于点，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识， （1）过点作于点，则，证明，得，即可得证； （2）证明，得，则，进一步得到，得到，可得答案； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的长度为． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$