精品解析：湖南省汨罗市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2025年5月高一下学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 设的外接圆的半径为，若，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若非零向量，满足，则（ ） A. B. 存在，使得 C. D. 当，时，取值集合为 7. 已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是奇函数 C. 是的一个周期 D. 是曲线的一个对称中心 11. 在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确是（ ） A. 当时，直线一定经过三角形的重心 B. 当时，直线一定经过三角形的外心 C. 当时，直线一定经过三角形的垂心 D. 当时，直线一定经过三角形内心 三、填空题（每题分，共20分） 12. 复数的共轭复数__________. 13. 已知正六棱柱各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为_______. 14. 若复数满足，则_______. 15. 在中，，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________. 四、解答题（共75分） 16. 已知向量，. （1）若，求的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值. 17. 已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象． （1）求； （2）求相位及最小正周期； （3）当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围． 18. 已知复数满足为纯虚数 （1）若的实部为2，求； （2）若为实数，且，求的最大值 19. 蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚊虫密度值的数据如下表； 2 5 8 11 42 82 42 2 （1）从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由； （2）在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式； （3）今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？ 20. 如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. （1）当时，求向量和的夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 21. 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年5月高一下学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意； 对于C，由，所以与共线， 故不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于B，设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 故选：C. 2. 设的外接圆的半径为，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由正弦定理得，因为，所以， 又因为，即，所以． 故选：B． 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值. 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D. 4. 已知将函数（）的图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一： 先利用平移变换分别得到函数解析式，再根据相位差为求解；法二：利用向左平移和向右平移的单位长度和为函数的周期的整数倍求解. 【详解】法一： 函数（）的图象仅向左平移个单位长度 得到函数的图象， 函数（）的图象仅向右平移个单位长度 得到的图象， 则（），即（），即（）， 由于，所以当时，取得最小值， 故选：C． 法二： 函数的最小正周期为， 依题意有（），则（）， 由于，所以当时取得最小值， 故选：C． 5. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，则两点的余弦距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可. 【详解】根据题意，， 则， 所以两点的余弦距离为. 故选：C. 6. 若非零向量，满足，则（ ） A. B. 存在，使得 C. D. 当，时，的取值集合为 【答案】C 【解析】 【分析】根据模长关系判断A，根据线性关系判断B，结合绝对值三角不等式判断C，根据共线的坐标运算判断D. 【详解】由可得，A错误； 设向量，的夹角为，两边平方得， 所以，向量，同向，，B错误； 由，同向及得，C正确； 当，时，由，同向得，解得或， 当时，反向，舍去，符合条件，D错误. 故选:C. 7. 已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由确定点的位置，再利用与的面积之比列方程来求得的值. 【详解】由得， 设，则. 由于，所以A，B，D三点共线，如图所示， ∵与反向共线，，∴，∴， ∴. 故选：D 8. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件结合余弦定理可得，利用正弦定理边化角得，求得，结合是锐角三角形和三角形内角和定理求出，再由正弦定理结合三角恒等变换可得，运算得解. 【详解】由余弦定理，与联立，可得， 即，由正弦定理可得，，即， 故或（舍去）， 因为，故，故， 所以，因为是锐角三角形， 所以，解得，则， 所以 . 故选：C. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与共线的单位向量是 C. 若，则共线 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 是奇函数 C. 是的一个周期 D. 是曲线的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数的解析式有意义，结合有定义，求得函数的定义域，可得判定A错误；根据函数的奇偶性的判定方法，可判定B正确；求得，可判定C正确；求得，可判定D正确． 【详解】对于A中，由有定义，可得， 又由，可得，即， 所以函数的定义域是，且，所以A错误； 对于B中，因为，所以，即， 又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以B正确； 对于C中，由，即， 所以是的一个周期，所以C正确； 对于D中，函数的定义域关于点对称， 又由，可得， 即，所以曲线关于点中心对称，所以D正确． 故选：BCD． 11. 在三角形所在平面内，点满足，其中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，直线一定经过三角形的重心 B. 当时，直线一定经过三角形的外心 C. 当时，直线一定经过三角形的垂心 D. 当时，直线一定经过三角形的内心 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，点为的中点，根据重心的性质和已知条件分析判断，对于B，由向量的加法法则分析判断，对于C，化简即可得结论，对于D，结合正弦定理得，进一步由A选项分析可知. 【详解】对于A，因为，，设点为的中点， 所以，所以直线一定经过三角形的重心，故A正确； 对于B，当时，， 因为为与方向相同的单位向量，为与方向相同的单位向量， 所以平分，即直线一定经过三角形的内心，故B错误； 对于C，当时，， 所以， 所以，所以直线一定经过三角形的垂心，故C正确； 对于D，当时，， 而由正弦定理有，即有， 结合A选项分析可知直线一定经过三角形的重心，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断的C关键是得到等于0，由此即可顺利得解. 三、填空题（每题分，共20分） 12. 复数的共轭复数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算求出复数z，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知正六棱柱的各个顶点都在球O的球面上，球心O到正六棱柱的上、下底面的距离均为1，若，则球O的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出底面正六边形外接圆的半径，进而求出外接球的半径，即可得解. 【详解】因为，所以正六边形的的外接圆半径， 所以球O的半径， 所以球O的表面积为. 故答案为： 14. 若复数满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】设，代入化简，利用复数相等的定义可得，即可求得. 【详解】设，则， 所以， 则，即，，所以. 故答案为： 15. 在中，，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为________. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】设，用表示，利用向量的数量积的运算律与二次函数的最值的求法可求解. 【详解】点在边上，设， 则，， 因为点为边的中点，所以， 所以 ，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共75分） 16. 已知向量，. （1）若，求的坐标； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据平行关系，利用模坐标表示求解即可； （2）根据向量垂直关系，列出等量关系，再利用数量积求出夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，设，则， 所以，即或. 【小问2详解】 因为，所以得到， 解得. 17. 已知函数，将曲线的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象． （1）求； （2）求的相位及最小正周期； （3）当时，求使得不等式恒成立时的的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象变换，得到平移后的图象解析式为，根据为偶函数，且，求得的值； （2）由（1）得，即可求得函数的相位和最小正周期； （3）把不等式转化为 ，由，结合三角函数性质，即可求解. 【小问1详解】 解：函数，将曲线的图象向左平移个单位长度， 可得函数的图象， 因为函数为偶函数，可得，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：，所以， 所以函数的相位为，最小正周期为. 【小问3详解】 解：由（2）知：， 则不等式，即为， 当时，可得， 要使得恒成立，则满足， 解得，即的取值范围为. 18. 已知复数满足为纯虚数 （1）若的实部为2，求； （2）若为实数，且，求的最大值 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数概念，设，再化简，根据的实部为2，建立方程，求出得解 （2）由（1）知，化简，根据为实数，建立方程求出，最后运用三角不等式计算即可. 【小问1详解】 因为为纯虚数，设（，且） 则， 因为的实部为2，所以，，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 因为为实数，所以，， 所以，， 因为， 所以，即的最大值为. 19. 蚊子是多种疾病的传播媒介，对人畜都有较大的危害.某热带养殖场为检测蚊虫密度，在养殖区悬挂多盏诱蚊灯，去年每月收集28天，连续检测了12个月，其中5月份蚊虫最多，11月份最少，由于工作人员不小心，某些月份数据丢失，保留的月份及每月对应的蚊虫密度值的数据如下表； 2 5 8 11 42 82 42 2 （1）从，且，且中选择一个合适的函数模型，并给出理由； （2）在（1）的基础上，求出蚊虫密度关于月份的拟合模型的解析式； （3）今年养殖场新引进的某种动物容易感染疟疾，养殖场计划当蚊虫密度不低于62时，将采取灭蚊措施.若此养殖场今年的蚊虫密度符合（2）中的函数模型，估计养殖场应准备在哪几个月采取灭蚊措施？ 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）月 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性即可选出适合. （2）根据数据判断，得到，再利用最大值与最小值即可求出， 再代入特殊点进去即可求得解析式. （3）利用三角函数的单调性与周期性即可得到结果. 小问1详解】 适合. 当与时，，而，且与，且均为单调函数， 所以适合. 【小问2详解】 由5月份蚊虫最多，11月份最少，得，所以，得， 由，得， 所以，将代入得， 即，又，所以， 故. 【小问3详解】 令，得， 即，得， 又，故， 即养殖场应准备在月采取灭蚊措施. 20. 如图，在平行四边形中，，若分别是边所在直线上的点，且满足，其中. （1）当时，求向量和的夹角的余弦值； （2）当时，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，，进而求得和，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据向量的线性运算法则，得到，结合向量数量积的运算律，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，同理可得， 因为，所以， 则， 而， 所以， 即向量和的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 解：由， 可得 ， 因为，可，即， 所以的取值范围为. 21. 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上. （1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值； （2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长； （3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由新定义结合正弦定理即可求解； （2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求得即可求出，从而求出三角形的周长； （3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为是角的平分线，所以且在线段上， 所以， 又，所以； 【小问2详解】 因为点在射线上，，且，所以在线段外，且， 所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即 解得或（舍去）， 所以周长为. 【小问3详解】 因为，所以，则， 因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $