专题08 期末复习专题：解答题压轴题（3大常考题型30题）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题08 期末复习专题：解答题压轴题 目录 【考点一 等腰三角形之压轴题】 1 【考点二 不等式与分式方程之压轴题】 23 【考点三 平行四边形之压轴题】 40 【考点一 等腰三角形之压轴题】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.      (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的性质 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质，由即可证明； （2）结论：，证明，可得结论． （3）证明，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：相等． 理由：如图2中，    ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3中，结论：． 理由：延长到R，使得，连接．    ∵等边， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②2；（3）6 【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由证即可； （2）①同（1）得，得，即可得出结论； ②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论； （3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， 即， 在和中， ， ； （2）①，， ， ， 同（1）得：， ， ； ②如图2，过点A作于点G， 则， 由①可知，， ， 点F为中点， ， 又， ， ，， ，， ， ， ； （3）解：如图3，连接， 同（2）得：， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 负值舍去， 即的长为6． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；；（2）；．理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形以及等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）设交于点G，由可得，而、，即可根据“”证明，所以，，则即可解答； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明可得，然后再根据等腰三角形的性质即可解答； （3）根据等腰直角三角形的性质，利用证明可得，则，因为，，即可作答． 【详解】解：（1）如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，30． （2），理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持． (1)在中， ， ； (2)点P在边上运动， ①当时， ， ； ②当时，判断与的数量关系，并说明理由； ③当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)，45 (2)①15，60；②，理由见解析；③或3 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质及分类等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）根据勾股定理求得，根据“等角对等边”得出的值； （2）①根据，，得出，进一步得出结果； ②可证得，从而得出； ③分三种情形讨论：当时，可推出，从而得出，，进一步得出结果；当时，可得出，进一步得出结果；当时，点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，45； （2）解：①∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：15，60； ②，理由如下： 由①知，， ∵，， ∴， ∴； ③分以下三种情况： 如图， 当时， 由②知，，， ∴， ∴，， ∴； 如图， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ， ∴，， ∴点Q和点C重合，点P和B点重合，故此种情况不存在， 综上所述：或3． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①设直线l与交于点M，根据平行线的性质及轴对称的性质即可得证；②当时，最小，利用等边三角形的性质及勾股定理即可解答； （2）延长至点G，使得，连接，证明，，利 用线段垂直平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：①设直线l与交于点M，如图： ∵，， ∴， ∵点E与点C关于直线l对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②解：∵是等边三角形 ∴ 当时，最小， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：延长至点G，使得，连接， ∵F是中点， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点E与点C关于直线l对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵且F是中点， ∵． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定， 掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点． (1)若为的角平分线． ①如图，已知，求证：； ②如图，已知，求证：； (2)如图，若为的中线，且，，，求的长． 【答案】(1)①见详解；②见详解； (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）①由角平分线的定义可得∶ 由等边对等角和对顶角相等即可解答； ②先根据三角形的内角和定理可得，则，由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得结论； （2）如图3中，作交的延长线于H，证明和，即可解答∶ 【详解】（1）证明∶①∵为的角平分线 ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：如下图3：作交的延长线于H， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∴， ∴ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，线段与边垂直且相等，过点作，垂足为点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，请判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在的变化过程中，当点的对应点与点重合时，连接． ①求证：； ②若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见详解 (2)，证明见详解 (3)①见详解；②5 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）可证得 ，从而 ，进而证得 ； （2）可证得 ，从而得 ，进而证得 ，从而得出 ； （3）①由折叠得 ，可证得 ，从而 ，从而得出 ，进而得出 ； ②根据 得出 ，根据折叠得出 ， 勾股定理求出 ，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ， ， ， ∵， ， ， ． （2）解： ，理由如下： ∵ 是 的平分线， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ． （3）①证明：∵ 沿 折叠，点 落在点 ， ， ， ， ， ， ， ． ②解：∵ ， ， 由①知，点 是 的中点， ， 根据折叠可得， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 8．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请认真完成下列数学活动． 【例题再现】 （1）如图1，是等边三角形，，分别交，于点． 求证：是等边三角形； 【探究延伸】 （2）如图2，和为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①求的度数； ②试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，和为等腰直角三角形，且，点在同一直线上，于点，连接．则的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由） 【答案】（1）见解析； （2）①；②，理由见解析； （3）； 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质解题的关键． （1）根据为等边三角形得到，根据平行线的性质得出，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得出，，，得到，证明，得到，即可得到答案； ②根据全等三角形的性质，等边三角形的性质以及线段的和差即可得到答案； （3）由可证，得到，，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：①和为等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； ②，理由如下： ， ， 为等边三角形， ， ； （3）和为等腰直角三角形，且， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， . 9．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 已知等边，过点作的垂线交的延长线于点． 【问题探究】 （1）如图，点为内部一点，连接、、，满足，为延长线上一点，且，连接，求证： ①； ②是等边三角形； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，点是中点，连接并延长交于点，连接，若，，，求的长度．（用含、的式子表示） 【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2） 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①根据等边三角形的性质及三角形的内角和即可得证；②证明，得，，即可得证； （2）延长至，使，连接，证明，得，，证明，得，即可得出结论； 【详解】（1）证明：①∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， 即； ②∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：如图，延长至，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，中点的定义等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 在中，，，点是内一点，连接，直线交边于点，，垂足为，点在直线上，且，连接，，． 【问题初探】 （1）如图1，判断的形状，并说明理由； 【问题拓展】 （2）如图2，当时，直线交线段于点，求证：点为线段的中点； 【问题提升】 （3）当，，三点共线，点，重合，点恰好是的中点时，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；（3）6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、对顶角相等、线段中点的有关计算 【分析】（1）结合对顶角相等和三角形内角和定理得到，进而证明，利用全等三角形性质即可得到的形状； （2）过点作，交直线于点，结合等腰三角形性质和全等三角形性质证明，再次结合全等三角形性质求解，即可解题； （3）过点作，垂足为点，证明，得到，由（1）中，利用全等三角形性质和等腰三角形性质得到，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：（1）是等腰直角三角形． 证明：如图， ， ， ， ， ， 在和中，， ，， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）证明：如图，过点作，交直线于点， ， 由（1）得，是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段的中点； （3）解：如图，过点作，垂足为点， ， ，点，重合， ， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， 由（1）得，是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中，， ，， ，， 由（1）得，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，线段中点的判定，三角形面积公式，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． 【考点二 不等式与分式方程之压轴题】 11．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 【答案】(1)构成“和谐不等式”，理由见解析 (2)或2 (3) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是： （1）根据“和谐不等式”的定义判断即可； （2）分，，三种情况讨论即可； （3）分，，三种情况讨论，依据新定义求出a，b 的关系，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：构成“和谐不等式” 理由：∵的解集为， ∴代数式，，是构成“和谐不等式” （2）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式” ∴， ∴不符合题意，舍去， 综上，m的值为或2； （3）解：当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴， 代入不等式组，得， 解得， ∴不等式无解； 当时， 解得， ∵，，构成“和谐不等式”， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，. 13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 【答案】(1)①，；② (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】题考查了一元一次不等式组的整数解，实数的运算，解二元一次方程组： （1）①利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值； ②把a与b的值代入确定出，表示不等式组，变形后表示出解集，根据解集恰有2024个整数解确定出p的范围即可； （2）利用新定义，变形后得出，由不论m，n取何值时，的值都是一个定值，即可得出，解得，代入，即可求得． 【详解】（1）解：①，，    解得： ，．    ②由①得：，    解得：    ∵关于m的不等式组恰好有2024个整数解， ，    ． （2）解： ， ∵且不论m，n取何值，的值都是一个定值，     解得：     ， ∴该定值为． 14．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． (1)①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； (2)若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； (3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 【答案】(1)①B，C；② (2) (3)的平方根为． 【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的平方根、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（1）根据定义分别求得的值即可求解； （2）解不等式组得，根据是“爱心点”可得；进一步可得，，据此即可求解； （3）由题意得，解不等式组得；根据p，q为有理数可得，据此即可求解 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴ ∴ 同理：由得： 此时， 由得： 此时，， ∴是“爱心点”的有； ②∵点是“爱心点” ∴且 即： 故答案为：①B，C；② （2）解：解不等式组得： ∵是“爱心点”， ∴由（1）可知： ∵s是不等式组的最大整数解 ∴ ∴ ∴， 解得： （3）解：∵点是“爱心点”， ∴ 由，得： ∴ ∵p，q为有理数， ∴ ∴ ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次不等式组的求解、二元一次方程组的求解等知识点，正确理解题意是解题关键． 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 16．（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：分式，所以分式与互为“3阶分式”． (1)分式与_______互为“4阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】分式加减混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键． （1）设另一个分式为M，根据定义，得到，据此求解即可； （2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解； （3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解． 【详解】（1）解：设另一个分式为M， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：∵ ， 又∵正数x，y互为倒数， ∴， ∴分式与互为“2阶分式”； （3）解：∵与互为“1阶分式”， ∴， ∴， ∴，其中a，b为正数， ∴． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)1 【知识点】分式乘除混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意得出第n个等式可表示为是解题的关键． （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …， 所以第n个等式可表示为：． 当时， 第7个等式为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， 第n个等式可表示为：． 证明如下： 左边右边， 所以此等式成立； （3）解：由（2）知， 当时， ， 所以， 则原式． 故答案为：1． 19．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解题关键是正确理解题意给出的规律． （1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）先将原方程变形为：, 然后根据题意给出的规律，即可得出答案； （3）方程两边同时乘以2，将原方程变形为：, 再方程两边同时减去3，方程变形为, 再根据题意给出的规律，即可得出答案 【详解】（1）解：根据题中的规律，猜想方程的解为： ，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， ∴， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解； （3）解：， 方程两边同时乘以2，得， 方程两边再同时减去3，得， ∴或， 解得：，， 经检验：，是原方程的解． 20．（23-24八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）①，②， 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题是考查了异分母分式的加减及分式的乘法，读懂题目中的新定义并熟练地掌握分式的混合运算是解决本题的关键. （1）根据关联分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）①根据（1）（2）找规律求解；②由①推出的结论，类比形式求解即可. 【详解】解：（1） ， ， 是的“关联分式”， 故答案为：是； （2）设分式的“关联分式”是， 则， ， ， ，即分式的“关联分式”为． （3）①解：①设的“关联分式”为，则， ∴， ∴． 故答案为：； ②由题意得 ，． 【考点三 平行四边形之压轴题】 21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质证明、与三角形中位线有关的证明 【分析】（1）连接，交于点O，易得为的中位线，根据平行四边形的性质，结合勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）延长交的延长线于点G，证明，得到，取的中点F，连接，证明，得到，进而得到，即可得证； （3）连接，取中点H，连接，根据三角形的中位线定理，推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，得到，进而得到，等边对等角求出，进而推出，即可得证． 【详解】解：（1）连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，延长交的延长线于点G， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点F，连接，则有，且， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）如图，连接，取中点H，连接， ∵E，F分别为和中点， ∴和分别为和的中位线， ∴且，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造三角形的中位线，是解题的关键． 22．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 【答案】提出问题：证明见解析；问题探究：证明见解析；拓展延伸： 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理； 提出问题：由垂直可得，由，可得，，得到，即可证明； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，先证明，得，，再证明，得到，推出，即可证明，得到，； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，证明，得到，再由勾股定理得到，最后根据计算即可． 【详解】解：提出问题：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 问题探究：过作于，过作于，过作交延长线于，则， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：过作于，过作交延长线于，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·海南海口·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③ (2)11 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】（1）①根据，得出，即可证明． ②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形； ③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解． （2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 24．（2018·湖北随州·一模）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）①；②；（2），证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． （1）①根据含30度的直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （2）证明四边形是平行四边形，得到，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为：4； （2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，等腰三角形中，，D为边上一点，E为射线上一点，连． (1)如图1，点F在线段上，连、．若，为等边三角形，，，求的长； (2)如图2，F为线段的垂直平分线上一点，连接、、，M为的中点，连接、．若，求证：； (3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】（1）由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解； （2）延长至N，使，连接，，延长，交于，交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，由交的和差可得 ，由三角形内角和得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求证； （3）作以、为边的平行四边形，由平行四边形的性质得，由两点之间连线段最短得当、、三点共线时取得最小值，此时取得最小值，连接，过作，交于，延长交于，由平行线间的距离处处相等得，同理可证，，由平移的性质得，，由直角三角形的特征及勾股定理得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； （2）证明：如图，延长至N，使，连接，，延长，交于，交于， M为的中点， ， 在和中 ， （）， ，， ， ， ， ，， ， 点F在的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 是的垂直平分线， ； （3）解：如图，作以、为边的平行四边形， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时取得最小值， 如下图：连接，过作，交于，延长交于， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是中点， ∴，，， ， ， ， 同理可证：，， 由平移得，， ， ， ， ， 取得最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，勾股定理，平移的性质，平行线之间的距离等；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形，由两点之间连线段最短找出线段和取得最小值的条件是解题的关键． 26．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3) 【知识点】根据旋转的性质求解、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）过点作于点，连接，由垂直平分线的性质和等边对等角的性质，得到，证明，得到，，进而得出，再证明，得到，即可得出结论； （3）在取点，使得，连接并延长交于，连接，则是等边三角形，结合旋转的性质，可证，得出，进而推出，设与的交点为，点在直线上运动，则当点运动到点处时，有最小值，由（1）可知，，从而得出，再利用勾股定理，求出的长，即为的最小值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，连接， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，在取点，使得，连接并延长交于，连接， 四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 设与的交点为， 点在直线上运动， 当点运动到点处时，有最小值， ，， ， 由（1）可知，， ， ， 在中，， ，， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，综合性较强，掌握相关知识点是解题关键． 27．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)折痕的长为； (3)的长为或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、利用平行四边形的性质证明、折叠问题 【分析】（1）由，得，故，而沿着翻折得，有，即得； （2）设交于K，由，可得，而沿着翻折得，可证，即可得，故，，设设，则，知，解得，即，，设，则，有，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∴； （2）解：设交于K，如图：    ∵， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （3）解：当时，过B作于T，如图：    设， 由（1）知， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，如图：    设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，即； ∵E在边上， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 28．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平行四边形中，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F． (1)，求的度数； (2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； (3)如图2，连接的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质，即可求解； （2）先证明，然后分两种情况：当时；当时，即可求解； （3）过点M作于点Q，可得是等腰直角三角形，从而得到当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时，过点A作于点S，与T，此时是等腰直角三角，再由勾股定理求出，是等腰直角三角形，，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为或； （3）解：如图，过点M作于点Q， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， ∴当最小时，最小，即当最小时，点M到的距离最小，此时， 过点A作于点S，与T，此时是等腰直角三角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质等知识是解题的关键． 29．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质先证明，再根据点为中点可得结论； （2）根据三角形中位线定理可得，，结合平行四边形的性质，证明，，即可得出结论； （3）过点作于点，证明是等边三角形，，求出，再利用勾股定理求出，得到的长，进而可计算四边形的面积． 【详解】（1）解：， ，互相平分， ， ， ， 点为中点， ； （2）， ，， 点，，分别为，，的中点， ，，， ，， 四边形是平行四边形； （3）如图，过点作于点， 矩形，， ， ∴， ∴，是等边三角形， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 四边形的面积． 30．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 期末复习专题：解答题压轴题 目录 【考点一 等腰三角形之压轴题】 1 【考点二 不等式与分式方程之压轴题】 23 【考点三 平行四边形之压轴题】 40 【考点一 等腰三角形之压轴题】 1．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.      (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由. 2．（24-25八年级上·全国·假期作业）【基础巩固】（1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】（3）如图3，与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长． 3．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接、，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系为：_____，______； 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，连接，延长，相交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在和中，，连接，当，E，三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点P从点B出发沿移动，运动到C时停止，点Q在边上随P移动，且始终保持． (1)在中， ， ； (2)点P在边上运动， ①当时， ， ； ②当时，判断与的数量关系，并说明理由； ③当为等腰三角形时，直接写出的长． 5．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 6．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）在中，，，点为上一点，点为上一点，线段，交于点． (1)若为的角平分线． ①如图，已知，求证：； ②如图，已知，求证：； (2)如图，若为的中线，且，，，求的长． 7．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，线段与边垂直且相等，过点作，垂足为点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，请判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在的变化过程中，当点的对应点与点重合时，连接． ①求证：； ②若，，请直接写出的长． 8．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请认真完成下列数学活动． 【例题再现】 （1）如图1，是等边三角形，，分别交，于点． 求证：是等边三角形； 【探究延伸】 （2）如图2，和为等边三角形，点在同一直线上，连接． ①求的度数； ②试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （3）如图3，和为等腰直角三角形，且，点在同一直线上，于点，连接．则的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．（直接写出答案，不需要说明理由） 9．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】 已知等边，过点作的垂线交的延长线于点． 【问题探究】 （1）如图，点为内部一点，连接、、，满足，为延长线上一点，且，连接，求证： ①； ②是等边三角形； 【拓展延伸】 （2）如图2，在（1）的条件下，点是中点，连接并延长交于点，连接，若，，，求的长度．（用含、的式子表示） 10．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期末）【问题背景】 在中，，，点是内一点，连接，直线交边于点，，垂足为，点在直线上，且，连接，，． 【问题初探】 （1）如图1，判断的形状，并说明理由； 【问题拓展】 （2）如图2，当时，直线交线段于点，求证：点为线段的中点； 【问题提升】 （3）当，，三点共线，点，重合，点恰好是的中点时，若，请直接写出的面积． 【考点二 不等式与分式方程之压轴题】 11．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 12．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）定义：若三个代数式满足以下条件，则称这三个代数式构成“和谐不等式”． ①只要其中存在两个代数式的和大于第三个代数式； ②满足上述条件的不等式的解集为大于2的实数． 例如：若三个代数式、和构成关于的不等式满足且解集为，则称，和构成“和谐不等式”． (1)判断代数式，，是否构成“和谐不等式”？请说明理由． (2)若，，构成“和谐不等式”，则______； (3)若，，构成“和谐不等式”，求关于的一元一次不等式组的解集． 13．（23-24七年级下·福建泉州·期末）对x，y定义一种新运算，规定：（其中a，b均为非零常数）．例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2024个整数解，求实数p的取值范围； (2)若不论m，n取何值时，的值都是一个定值，请求出该定值． 14．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：若m，n都是不为0的实数，且满足，则称点为“爱心点”． (1)①在点，，中，是“爱心点”的有______（填字母）； ②若点是“爱心点”．则a，b满足的关系式为______； (2)若是“爱心点”，且s，t分别是不等式组的最大整数解和最小整数解，求k的取值范围； (3)已知p，q为有理数，且以关于x，y的方程组的解为坐标的点是“爱心点”，求的平方根． 15．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 16．（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 17．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：分式，所以分式与互为“3阶分式”． (1)分式与_______互为“4阶分式”； (2)设正数x，y互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求的值． 18．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）《见微知著》中说到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 请观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第7个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并加以证明； (3)应用运算规律，计算： ． 19．（24-25八年级上·福建福州·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想方程的解是 ； (2)利用材料提供的方法解关于x的方程：； (3)已知，利用材料提供的方法解关于x的方程：.（结果保留a） 20．（23-24八年级上·江苏南通·期末）［核心素养］【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． 例如与． 解：， ， 是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，则___________的“关联分式”（填“是”或“不是”）； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法． 解：设分式的“关联分式”为， 则， ， ． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）①观察（1）和（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”___________； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数，的值． 【考点三 平行四边形之压轴题】 21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）【问题初探】 （1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形中，，且，点E是的中点，点F为对角线上的点，且，连接线段，若，求的长． 小鹏同学考虑到点E是的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以想到连接，与交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题． 【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，在中，平分，过点A作延长线的垂线，垂足为点D，，求证：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，点D在上，，点E，F分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，连接，若，求证：． 22．（24-25九年级上·湖北·期末）【提出问题】 如图1，在中，于点E，于点F．求证：； 【问题探究】 如图2，在四边形中，，G是的中点，P是上的一点，连接，．若，．求证：； 【拓展延伸】 如图3，在四边形中，，P是边上的一点，连接，．若，，，，，直接写出PD的长为 ． 23．（24-25八年级上·海南海口·期末）在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 24．（2018·湖北随州·一模）定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系 ； ②如图3，当时，则长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 25．（23-24八年级上·重庆渝北·期末）如图，等腰三角形中，，D为边上一点，E为射线上一点，连． (1)如图1，点F在线段上，连、．若，为等边三角形，，，求的长； (2)如图2，F为线段的垂直平分线上一点，连接、、，M为的中点，连接、．若，求证：； (3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值． 26．（23-24八年级下·广东深圳·期末）在平行四边形中，于E，于F，H为上一动点，连接，交于G，且． (1)如图1，若，求、的长； (2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，若，点H是直线上任一点，将线段绕C点逆时针旋转，得到线段，请直接写出的最小值______． 27．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长． 28．（22-23八年级下·四川成都·期末）在平行四边形中，，将沿对角线翻折，点B的对应点为点E，线段与边交于点F． (1)，求的度数； (2)若是以为腰的等腰三角形，求线段的长； (3)如图2，连接的延长线交于点N，的延长线交于点M，当点M到的距离最小值时，求出此时的面积． 29．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． (3)如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积． 30．（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$