专题07 期末复习专题：选择题和填空题易错压轴题（4大常考题型40题）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

专题07 期末复习专题：选择题和填空题之易错压轴题 目录 【考点一 三角形的证明之选填题】 1 【考点二 一元一次不等式与一元一次不等式组之选填题】 19 【考点三 分式与分式方程之选填题】 26 【考点四 平行四边形之选填题】 32 【考点一 三角形的证明之选填题】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，的平分线交于，过点D作交于点E．若，．下列结论：①是等腰三角形；；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，在的一边上取一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿另一条边运动，设点的运动时间为秒，则当是直角三角形时，的值为 ． 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，为等边三角形，D，E分别是、延长线上的点，，延长交于F点，G是上一点，且则下列结论中：①；②；③；④其中正确的是 写出所有正确结论的序号 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，，，连接．给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，平分； ③点P为直线上一点，当最小时，； ④若，的面积为18，则的面积为； 其中正确的是 ．填写所有正确结论的序号 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【考点二 一元一次不等式与一元一次不等式组之选填题】 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则；②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 17．（24-25八年级上·广西贵港·期末）若关于的不等式组，仅有2个整数解，则的取值范围是 ． 18．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 20．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【考点三 分式与分式方程之选填题】 21．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 22．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 24．（24-25八年级上·浙江台州·期末）规定运算为：，例如：，则当且时，的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 25．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 26．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 27．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 28．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式方程的解为整数，则整数 ． 29．（24-25八年级上·四川泸州·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与 互为“5阶分式”． 30．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）已知关于的不等式组，有且只有两个整数解，若关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【考点四 平行四边形之选填题】 31．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 32．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，若是的中点，是上一动点，连接，，，并延长交于点，设，有以下结论：当时，则；当时，则；若，则．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 34．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 36．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 37．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 38．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 39．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 40．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为 ； （2） ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 期末复习专题：选择题和填空题之易错压轴题 目录 【考点一 三角形的证明之选填题】 1 【考点二 一元一次不等式与一元一次不等式组之选填题】 19 【考点三 分式与分式方程之选填题】 26 【考点四 平行四边形之选填题】 32 【考点一 三角形的证明之选填题】 1．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，的平分线交于，过点D作交于点E．若，．下列结论：①是等腰三角形；；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】由角平分线定义得到、由平行线的性质推出，得到，判定是等腰三角形，设，由勾股定理得到，求出，得到，，作于，由勾股定理得到，可得，由，得到，，因此．，，所以． 【详解】解：作于． 的平分线交于， ． ， ． ． ． 是等腰三角形，故①符合题意； ， ． 设，则． ． ， ，解得． ，． ， ，解得． ， ，解得． ． 在和中， ． ，． ，故符合题意． ， ．故符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积，三角形全等的判定与性质等知识，关键是掌握勾股定理． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．由“”可证，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得；故③正确；分别求出的面积，可得，故④错误；根据，结合对顶角，根据等角对等边证得，设，则，可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ；故③正确； ， 设，， ， ， ， ， ， 过点作于，在中，， ， ， ，故④错误； 如图，， ，为等腰三角形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ，故⑤正确， 故选：． 3．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第2秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，由为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，可判定②正确；分与为直角两种情况求出t的值，即可判定③；当时，求得，从而可证明是等边三角形，，继而证得 ，即可判定④． 【详解】解：设点P、Q运动时间为t秒， 根据题意得：， ∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③错误； 当时，则， ∵ ∴P、Q是边的中点，即是的中线， ∴ ∵为等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④共， 故选：D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，和是等边三角形，，连接、，交于点D．有以下结论：①；②连接，；③连接，；④连接，平分；⑤连接，．其中正确的结论个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】①根据等边三角形的性质得，，，再根据得，由此可得的度数，进而可对结论①进行判断； ②证明，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质可对结论②进行判断； ③根据含有角的直角三角形的性质得当时，则AFEF，此时，则，但是根据已知条件无法判定，由此可对结论③进行判断； ④过点A作于点M，于点N，先证明和全等得，，再根据三角形的面积公式得，然后根据角平分线的性质可对结论④进行判断； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，先证明和全等得，，进而再证明是等边三角形得，由此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ；故结论①正确； ②连接，如图1所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②成立； ③连接，如图2所示： ∵， ∴当时，则， ∴， ∴， 根据已知条件无法判定，故结论③不正确； ④过点A作于点M，于点N，如图3所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点A在的平分线上， ∴平分，故结论④正确； ⑤在上截取，连接，设与交于点H，如图4所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②④⑤，共4个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形是解决问题的关键． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）点为等边三角形内一点，分别以、为边作等边三角形、．如图，与交于点与交于点．则下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据等边三角形的性质证明，，，再结合全等三角形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵等边三角形，等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵等边三角形， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； 同理可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意； 如图，延长交于， ∵为内动点， 根据现有条件无法得到，故C符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练的利用等边三角形的性质确定全等三角形是解本题的关键． 6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知，在的一边上取一点，且，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿另一条边运动，设点的运动时间为秒，则当是直角三角形时，的值为 ． 【答案】2或8 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，两种情况求出剩下的那个内角的度数为30度，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况， 当，如图， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 当，如图， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2或8， 故答案为：2或8． 7．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．证明，推出，再证明，，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，为等边三角形，D，E分别是、延长线上的点，，延长交于F点，G是上一点，且则下列结论中：①；②；③；④其中正确的是 写出所有正确结论的序号 【答案】①③#③① 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．先证，再根据全等的性质逐一分析每一选项即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ∴， 故①正确，符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②错误，不符合题意； ， ， ， ， ， ， ，， ， 故③正确，符合题意； 假设， 为等边三角形， 垂直平分， 此时， 但是题干条件并无法证出， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①③． 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，，，连接．给出下列四个结论： ①当时，； ②当时，平分； ③点P为直线上一点，当最小时，； ④若，的面积为18，则的面积为； 其中正确的是 ．填写所有正确结论的序号 【答案】①②④ 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．①根据已知条件得到，根据平角定义得到，故①正确；②设交于O，过A作于H，得到，求得，由，得到，求得，求得，根据全等三角形的性质得到，求得平分；故②正确；③作点A关于的对称点F，连接交于P，此时的值最小，如图，假设，得到，故不一定，故③错误；④如图，过A作于H，根据三角形的面积公式得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故④正确． 【详解】解：①当时，即， ∵， ， ∴，故①正确； ②设交于O，过A作于H， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分；故②正确； ③作点A关于的对称点F，连接交于P， 此时的值最小， 如图，假设， ∴，故不一定，故③错误； ④如图，过A作于H， ，的面积为18， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， 的面积为，故④正确． 故答案为：①②④． 10．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 根据．且，要构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的． 【详解】解：在中，，中，， 如图，延长至，使，设与交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 故①正确，该选项符合题意； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明， 故②是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， 故③正确，该选项符合题意； ， ， ， ， ， 故④正确，该选项符合题意； 故答案为：①③④． 【考点二 一元一次不等式与一元一次不等式组之选填题】 11．（24-25八年级上·浙江金华·期末）对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 12．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数、根据两条直线的交点求不等式的解集、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 13．（24-25八年级上·四川成都·期末）若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解、解不等式组等知识点，根据在实数范围内有解列出关于a的不等式是解题的关键． 先解关于x的不等式，再根据不等式在实数范围内有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此列出关于a的不等式，进而求得a的范围即可． 【详解】解， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 因为关于x的不等式组在实数范围内有解， ∴，解得：． 故选：B． 14．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故选：A． 15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是，则；②当，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式组有解，则． 其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵若它的解集是，即，解得：， ∴①正确， ∵当，，即不等式组的解为， ∴②正确， ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是 ∴③正确， ∵若不等式组有解，即，则， ∴④错误， 故选：C． 16．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组有3个整数解， ∴，且三个整数解为：， ∴， 解得：； 故答案为：． 17．（24-25八年级上·广西贵港·期末）若关于的不等式组，仅有2个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据不等式组有且仅有2个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得， ∵关于x的不等式组，仅有2个整数解， ∴整数解为3，4，即 解得：． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·广东深圳·期末）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若线段，，能构成三角形，且使关于的不等式组有解的所有整数和为 ． 【答案】3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、构成三角形的条件 【分析】此题考查三角形的三边关系和解一元一次不等式组，根据三角形三边关系得到，再解不等式组得到，进而求出所有整数的值，再相加求解． 【详解】解：线段，，能构成三角形， ． 在中 解不等式得， ， 解得， ， 所有整数有和， 所以所在整数的和为． 故答案为：3． 20．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【答案】5 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法． 根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 【考点三 分式与分式方程之选填题】 21．（24-25八年级上·山东泰安·期末）下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，不可能是整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性，熟练掌握分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性是解决本题的关键． 根据分式的值为0的条件、分式有意义的条件、偶次方的非负性解答此题． 【详解】解：A、当时，无意义，故此选项不符合题意； B、当时，有意义，故此选项不符合题意； C、当时，的值是整数，故此选项不符合题意； D、根据偶次方的非负性，得，即无论x为何值，的值总为正数，故此选项不符合题意； 故选：D． 22．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程．首先解分式方程求出方程的根为，因为分式方程有增根，所以方程的根为，解关于的一元一次方程求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 关于的分式方程有增根， ， 解得：． 故选：A ． 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，易错点是不注意分式方程产生增根时字母参数的取值要排除．先解分式方程得到方程的根为：，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案． 【详解】解：， ， 解得：， ∵关于的方程的解是正数， 且， 解得：且． 故选：A． 24．（24-25八年级上·浙江台州·期末）规定运算为：，例如：，则当且时，的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】异分母分式加减法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，异分母分式加减法，平方差公式等知识点，根据新定义下的运算正确列式计算是解题的关键． 由“且”可得，通分后可得，然后利用平方差公式可得，约分后即可得出答案． 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ， 故选：． 25．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）关于的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数的值的和是（   ） A． B．18 C． D．9 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解和一元一次不等式组的整数解．由题意分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程的解是不小于的整数”，得到a的值进而即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组的解中至少包含三个整数， ∴该不等式组至少有整数解5，6，7， 则有，解得， 解分式方程得： 且， ∵该分式方程的解是不小于的整数， ∴，则a的值为3的倍数，且， ∴，且， ∵， ∴，且a为3的倍数，， 则整数a的值为或或， 即满足条件的所有整数a的值之和为． 故选：A． 26．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式方程无解的方法是解题的关键．先化简分式方程，得，由分式方程无解，则，得，代入求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， ∵分式方程无解， ∴，得， ∴， 解得：， 故答案为：． 27．（22-23八年级下·河南洛阳·期末）已知实数满足并且，则 ． 【答案】/ 【知识点】实数的性质、分式的求值 【分析】本题考查的是已知条件式求解分式的值，由条件可得，，，可得，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 28．（24-25八年级上·广东汕头·期末）若分式方程的解为整数，则整数 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是：化简分式方程，最终用来表示，再根据解为整数来确定的值，易错点，容易忽略对根的检验．直接移项后通分合并同类项，化简、用来表示，再根据解为整数来确定的值． 【详解】解：， 整理得： 若分式方程的解为整数， 为整数， 当时，解得：，经检验：成立； 当时，解得：，经检验：分母为0没有意义，故舍去； 综上:， 故答案是：． 29．（24-25八年级上·四川泸州·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与 互为“5阶分式”． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：， 故答案为： 30．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）已知关于的不等式组，有且只有两个整数解，若关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有两个整数解求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，列出关于的不等式，从而求出满足条件的所有整数的值，最后求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， 关于的不等式组有且只有两个整数解， ，解得:， ， ， ， ， 关于的分式方程有非负数解， 且，解得：且， 且， 满足条件的所有整数的值为：或， 满足条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 【考点四 平行四边形之选填题】 31．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④；成立的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，即可判断①，证明，利用三角形的中位线性质可判断②，由平行四边形面积公式可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形面积公式可判断④． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ， ∵平分， ， ， ∴为等边三角形故①正确； ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴故②正确； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，故④正确； 综上成立的个数是个， 故选：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线性质、等边三角形的判断与性质等知识，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题关键． 32．（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，若是的中点，是上一动点，连接，，，并延长交于点，设，有以下结论：当时，则；当时，则；若，则．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、线段垂直平分线的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴只有当时，，故错误； 当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 若，则， ∵不一定等于， ∴不一定成立，故错误， 故选：． 33．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，为平行四边形的对角线，于点E，于点F，相交于点H，直线交线段的延长线于点G，下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据“”可证明，得到，，可对①进行判断；通过判断为等腰直角三角形，得到，根据等角的余角相等得到，再根据平行四边形的性质得到，则，于是可对②进行判断；因为，，由，推出，可对③进行判断；接着由平行四边形的性质得，则，可对④进行判断． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ，故①错误； ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ，故②正确； ，， ， ，故③错误； ，， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质以及勾股定理，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 34．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④⑤不符合题意． 【详解】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， ∴， 如图，过作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， 而，， ∴， ∴；故⑤不符合题意， 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据题意得到，即可判断①；根据平行四边形的性质即可判断②；根据等边对等角得到，，然后结合平行线的性质得到，，进而求出，然后利用三角形内角和定理求出，即可判定③；若，得到是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形外角的性质得到，然后求出，进而得到，即可判断④； 根据题意得到点F在线段上，进而可判断⑤． 【详解】∵，点E为的中点， ∴ ∴为等腰三角形，故①正确； ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确； 若， 又∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确； ∵将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F， ∴点F在线段上， ∵ ∴为直角三角形，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③④⑤． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 36．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】3或5 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，四边形是平行四边形， ∵P在上运动， 根据题意，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， 分为以下情况：①点Q的运动在上时，方程为， 解得， ②点Q的运动在上时，方程为， 解得：； 故答案为：3或5． 37．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点．连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】连接，过点A作交于点M．即可得，结合图形可得当时最小，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点A作交于点M． ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∵要使线段最小， ∴最小即可， 则当时最小， ∵， ∴， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，含的直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识点，添加辅助线构造中位线是解题的关键． 38．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 39．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，点分别是的中点，分别是，的中点，依次类推．若的周长为1，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，由三角形的中位线定理得：分别等于的一半，所以的周长等于的周长的一半，以此类推可求出的周长． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴分别等于的， ∵分别为的中点， ∴分别为的， ∴以此类推：的周长为的周长的，即的周长的， ∴． 则故答案为：． 40．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和，F为的中点，连接，，，． （1）判断四边形的形状为 ； （2） ． 【答案】 平行四边形 【知识点】二次根式的乘法、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定及性质，含直角三角形的性质等知识． （1）由已知条件可得出，含直角三角形的性质得出，由等边三角形的性质得出，即可得出， ，再得出，，即可得出四边形的形状为平行四边形， （2）设，则，分别求出对应三角形的面积以及四边形的面积即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， （2）设，则， ∴， ∴， 故答案为：平行四边形，． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$